Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 7. Электромагнитная индукция ====== ===== Задача 1. Стержень на рельсах ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-7-1.png?280|}} Проводящий стержень движется без трения по двум параллельным проводящим рельсам в однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно плоскости рисунка (от читателя). Длина стержня равна $l$, его масса $m$, в начальный момент времени скорость стержня была направлена вправо и имела величину $v_0$. Найти зависимость скорости стержня от времени. Сопротивление образовавшейся цепи равно $R$. ==== Решение ==== По закону Ампера сила, действующая на стержень: $$F=m\frac{dv}{dt}=-IBl.\qquad(1)$$ По законам Ома и Фарадея: $$I=\frac{|\mathcal E|}{R}=\frac{d\Phi/dt}{R}=\frac{Bl\,dx/dt}{R}=\frac{Bl}{R}v.\qquad(2)$$ Подставляя (2) в (1): $$m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2l^2}{R}v.$$ Разделяя переменные и интегрируя: $$\int_{v_0}^v\frac{dv}v=-\frac{B^2l^2}{mR}\int_0^t dt.$$ ==== Ответ ==== $v=v_0\,e^{-\frac{B^2l^2}{mR}t}$. ===== Задача 2. Стержень на вертикальных рельсах с конденсатором ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-7-2.png?180|}} Горизонтальный проводящий стержень массой $m$ и длиной $l$ скользит без трения по двум вертикальным проводящим стержням, соединённым внизу конденсатором ёмкости $C$. Имеется однородное магнитное поле $\vec B$, направленное перпендикулярно плоскости падения стержня. Найти ускорение стержня. Электрическим сопротивлением образованной цепи пренебречь. ==== Решение ==== Магнитный поток сквозь контур меняется из-за изменения площади: $\Phi=lBy$ (начало координат — на уровне конденсатора), поэтому ЭДС индукции $$\mathcal E=-\frac{d\Phi}{dt}=-lB\frac{dy}{dt}.$$ Падение напряжения на конденсаторе равно ЭДС, значит заряд на нём $Q=C\mathcal E=-ClB\dfrac{dy}{dt}$, а ток в цепи — производная заряда по времени: $$I=-ClB\frac{d^2y}{dt^2}.$$ На стержень действуют сила тяжести (вниз) и сила Ампера (вверх): $$ma=-mg+IBl=-mg+CB^2l^2a,$$ откуда $$a=\frac{g}{1+\dfrac{CB^2l^2}{m}}.$$ ==== Ответ ==== $a=\dfrac{g}{1+CB^2l^2/m}$ (направлено вниз). ===== Задача 3. Рамка и прямой провод ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-7-3.png?180|}} Квадратная рамка со стороной $a$ и длинный прямой провод с током $I$ находятся в одной плоскости, как показано на рисунке. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью $v$. Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстояния $x$ (от провода до ближней стороны рамки). ==== Решение ==== Поток через рамку от поля провода: $$d\Phi=B\,ds=\frac{\mu_0I}{2\pi r}a\,dr,\qquad \Phi=\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\int_x^{x+a}\frac{dr}r=\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\ln\frac{x+a}x.$$ По закону Фарадея: $$\mathcal E=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d\Phi}{dx}\frac{dx}{dt}=-\mu_0\frac{Ia}{2\pi}\cdot\frac{x-(x+a)}{x(x+a)}\,v=\frac{\mu_0Ia^2}{2\pi x(x+a)}\,v.$$ ==== Ответ ==== $\mathcal E=\dfrac{\mu_0Ia^2v}{2\pi x(x+a)}$. ===== Задача 4. Внутренняя индуктивность провода ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-7-4.png?160|}} Вычислить внутреннюю часть самоиндукции единицы длины прямолинейного провода круглого сечения радиуса $a$. Магнитная проницаемость провода равна $\mu$. ==== Решение ==== По теореме о циркуляции $\vec H$: $\displaystyle\oint H_l\,dl=\int \vec j\,d\vec s$. Циркуляция $\oint H_l\,dl=2\pi rH$, ток через поверхность радиусом $r\le a$ равен $J\,r^2/a^2$ (при равномерном распределении тока $J$ по сечению). Отсюда $$H=\frac{Jr}{2\pi a^2}\quad\text{при } r\le a.$$ Энергия магнитного поля, запасённая внутри единицы длины провода (интегрируя $H^2$ по сечению, $\displaystyle\int_0^aH^2\cdot2\pi r\,dr=\frac{J^2}{8\pi}$): $$W=\frac1{8\pi}\int(\vec B\vec H)\,dv=\frac{\mu\mu_0}{8\pi}\int H^2\,dv=\frac{\mu\mu_0J^2}{64\pi^2}.$$ Сравнивая с $W=LJ^2/2$, получаем внутреннюю индуктивность на единицу длины: $$L'=\frac{\mu\mu_0}{32\pi^2}.$$ ==== Ответ ==== $L'=\dfrac{\mu\mu_0}{32\pi^2}$ (на единицу длины провода). //Примечание: в исходных решениях семинара энергия поля считалась по формуле $w=BH/(8\pi)$ (гауссова форма) при этом с подстановкой $B=\mu\mu_0H$ (СИ) — смешение систем единиц, из-за которого в источнике ответ ошибочно получался $L=\mu\mu_0a^2/2$ (зависящим от $a$ и с неверной размерностью). Здесь пересчитано аккуратно: подстановка $H(r)$ и интегрирование по сечению провода дают интеграл $\int H^2dv=J^2/(8\pi)$, не зависящий от $a$, как и должно быть для внутренней индуктивности провода.// ===== Задача 5. Индуктивность соленоида ===== ==== Условие ==== Найти индуктивность соленоида в системе СИ, пренебрегая краевыми эффектами. $l$ — длина соленоида, $N$ — общее число витков, $S$ — площадь одного витка. ==== Решение ==== Индукция поля внутри соленоида $B=\dfrac{IN\mu\mu_0}{l}$. Магнитный поток через один виток — $BS$, через $N$ витков — $BSN$: $$\Phi=\frac{\mu\mu_0IN^2S}{l}.$$ ==== Ответ ==== $L=\Phi/I=\dfrac{\mu\mu_0N^2S}{l}$. ===== Задача 6. Вращающаяся рамка ===== ==== Условие ==== В однородном магнитном поле с индукцией $B=0{,}1$ Тл равномерно вращается рамка, содержащая $N=1000$ витков, с частотой $\nu=10$ с$^{-1}$. Площадь рамки $S=150$ см². Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки $30^\circ$. ==== Решение ==== Мгновенное значение ЭДС индукции: $\mathcal E=-N\dfrac{d\Phi}{dt}$. При вращении рамки поток меняется как $\Phi=NBS\cos\omega t$ (при $t=0$ плоскость рамки перпендикулярна полю, поток максимален), откуда $$\mathcal E=NBS\omega\sin\omega t=2\pi\nu NBS\sin(2\pi\nu t).$$ При угле поворота $\varphi=\omega t=30^\circ$ ($\sin30^\circ=0{,}5$), $\omega=2\pi\nu\approx62{,}8$ с$^{-1}$: $$\mathcal E=NBS\omega\sin30^\circ=1000\cdot0{,}1\cdot0{,}015\cdot62{,}8\cdot0{,}5\approx47{,}1\text{ В}.$$ ==== Ответ ==== $\mathcal E\approx47{,}1$ В. ===== Задача 7. Индуктивность двухпроводной линии ===== ==== Условие ==== Определить индуктивность $L$ двухпроводной линии на участке длиной $l=1$ км. Радиус $R$ провода равен 1 мм, расстояние $d$ между осевыми линиями равно 0,4 м. //Указание.// Учесть только внутренний магнитный поток, т.е. поток, пронизывающий контур, ограниченный проводами (внутренней индуктивностью самих проводов, см. задачу 4, пренебречь). ==== Решение ==== Поток, создаваемый одним из проводов через контур шириной от $R$ до $d-R$: $$\Phi_1=\int_R^{d-R}\frac{\mu\mu_0J}{2\pi r}\,l\,dr=\frac{\mu\mu_0Jl}{2\pi}\ln\frac{d-R}R.$$ Полный поток (складываются вклады от обоих проводов, создающих поле одного знака в контуре): $$\Phi=\frac{\mu\mu_0Jl}\pi\ln\frac{d-R}R.$$ Индуктивность: $$L=\frac\Phi J=\frac{\mu\mu_0l}\pi\ln\frac{d-R}R\approx\frac{\mu\mu_0l}\pi\ln\frac dR\quad(R\ll d).$$ Численно (провода немагнитные, $\mu\approx1$): $L\approx\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1000}\pi\ln\dfrac{0{,}4}{0{,}001}=4\cdot10^{-4}\ln400\approx4\cdot10^{-4}\cdot5{,}99\approx2{,}4\cdot10^{-3}$ Гн. ==== Ответ ==== $L=\dfrac{\mu\mu_0l}\pi\ln\dfrac{d-R}R\approx2{,}4$ мГн (при $\mu=1$). ===== Задача 8. Коаксиальная линия ===== ==== Условие ==== Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек с радиусами $a,b$ ($a<b$). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью $\mu$. Найти коэффициент самоиндукции на единицу длины линии. ==== Решение ==== По теореме о циркуляции: $H=0$ при $r\le a$; $H=\dfrac{J}{2\pi r}$ при $a<r<b$; $H=0$ при $r>b$; $B=\mu\mu_0H$. Энергия в зазоре между цилиндрами на единицу длины: $$W=\int\frac{(\vec B\vec H)}{8\pi}\,dV=\frac{2\pi}{8\pi}\mu\mu_0\int_a^b r\,dr\,\frac{J^2}{(2\pi)^2r^2}=\mu\mu_0\frac{J^2}{16\pi^2}\int_a^b\frac{dr}r=\mu\mu_0\frac{J^2}{16\pi^2}\ln\frac ba.$$ С другой стороны $W=LJ^2/2$, откуда $$L=\frac{\mu\mu_0}{8\pi^2}\ln\frac ba.$$ ==== Ответ ==== $L=\dfrac{\mu\mu_0}{8\pi^2}\ln\dfrac ba$ (на единицу длины). ===== Задача 9. Вращающийся стержень ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-7-9.png?260|}} В однородном магнитном поле с индукцией $B=0{,}02$ Тл равномерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стержень длиной $l=0{,}5$ м. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. Определите число оборотов в секунду, при котором на концах стержня возникает разность потенциалов $U=0{,}1$ В. ==== Решение ==== ЭДС индукции $\mathcal E=-d\Phi/dt$, поток через сектор, заметаемый стержнем, $\Phi=BS$ (при $\alpha=0$). За время $dt$ стержень поворачивается на угол $d\varphi=\omega\,dt$, заметая площадь $dS=\dfrac{l^2}2\,d\varphi=\dfrac{l^2}2\omega\,dt$. Тогда $$|\mathcal E|=B\frac{dS}{dt}=B\frac{l^2}2\omega=U.$$ Отсюда $\omega=2\pi n=\dfrac{2U}{Bl^2}$, то есть $$n=\frac{U}{\pi Bl^2}.$$ Численно: $n=\dfrac{0{,}1}{\pi\cdot0{,}02\cdot0{,}25}\approx6{,}37$ с$^{-1}$. ==== Ответ ==== $n=\dfrac{U}{\pi Bl^2}\approx6{,}37$ об/с.