optics:res1.6 [Задачи по физике]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
1.6. Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной частоты распространяются вдоль оси $Z.$ Одна с амплитудой $a$ поляризована по оси $X,$ а другая с амплитудой $b$ --- по оси $Y,$ причем опережает первую по фазе на $\chi .$ Какова поляризация результирующей волны? Рассмотреть случай равных амплитуд.

-----
**Решение:** Запишем итоговый вектор:
	
$$\vec{E}=a\vec{e_{x}}\cos\left(\omega t-kz\right)+b\vec{e_{y}}\cos\left(\omega t-kz+\chi\right).$$

Сдвинем начало отсчета фаз так, чтобы в 2-х взаимно перпендикулярных
направлениях получились колебания, сдвинутые по фазе на $\frac{\pi}{2}$
и в этих сдвинутых координатах поляризация будет эллиптической, а
амплитуда будет в пределах от минимума $E_{min}$ до максимума ---
$E_{max}.$ Найдём сначала сдвиг фаз $\varphi$, а затем и $E_{min}$,
$E_{max}:$
$$E^{2}=a^{2}\cos^{2}\left(\omega t-kz\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\omega t-kz+\chi\right)=a^{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\varphi+\chi\right).$$

Возьмём производную и приравняем нулю:

$$0=\frac{\partial}{\partial\varphi}E^{2}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(a^{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\varphi+\chi\right)\right)=
$$
$$-2\left(a^{2}\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)+b^{2}\cos\left(\varphi+\chi\right)\sin\left(\varphi+\chi\right)\right).$$

Решим уравнение, переписав относительно первого слагаемого:

$$a^{2}\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)=-b^{2}\cos\left(\varphi+\chi\right)\sin\left(\varphi+\chi\right)=$$
$$-b^{2}\left(\cos\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)-\sin\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)\right)\left(\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)+\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)\right)=$$
$$-b^{2}(\cos^{2}\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)\sin\left(\chi\right)-\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\sin^{2}\left(\chi\right)+$$
$$\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)\cos^{2}\left(\chi\right)-\sin^{2}\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)\cos\left(\chi\right))=$$
$$-b^{2}(\cos^{2}\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)\sin\left(\chi\right)-\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\sin^{2}\left(\chi\right)+
$$
$$\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)\cos^{2}\left(\chi\right)-\sin^{2}\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)\cos\left(\chi\right)).$$

Приведём подобные члены и соберём двойные углы

$$a^{2}\sin\left(2\varphi\right)+b^{2}\left(\cos\left(2\varphi\right)\sin\left(2\chi\right)+\sin\left(2\varphi\right)\cos\left(2\chi\right)\right)=0,$$
далее поделив всё на $\cos\left(2\varphi\right)$ получим
$$a^{2}\text{tg}\left(2\varphi\right)+b^{2}\left(\sin\left(2\chi\right)+\text{tg}\left(2\varphi\right)\cos\left(2\chi\right)\right)=0,$$
в итоге получим, что
$$\text{tg}\left(2\varphi\right)=-\frac{b^{2}\sin\left(2\chi\right)}{a^{2}+b^{2}\cos\left(2\chi\right)}.$$

Найдём сдвиг $\varphi$ вторым способом, через комплексные амплитуды
исходных волн: 
$$E_{1}=ae_{x},\ E_{2}=be^{i\chi}e_{y},$$ тогда $E_{0}=ae_{x}+be^{i\chi}e_{y}.$ 

Сдвинем начало отсчета фаз так, чтобы в 2-х взаимно перпендикулярных
направлениях получились колебания, сдвинутые по фазе на $\frac{\pi}{2}$ 
$$E=E_{0}e^{-i\varphi}=E_{3}-iE_{4}$$
и потребуем, чтобы векторы $E_{3}$ и $E_{4}$ были вещественными
и ортогональными. Тогда 
$$\boldsymbol{E}=\left(a\boldsymbol{e}_{x}+be^{i\chi}\boldsymbol{e}_{y}\right)e^{-i\varphi}=ae^{-i\varphi}\boldsymbol{e}_{x}+be^{i(\chi-\varphi)}\boldsymbol{e}_{y}=E_{3}-iE_{4},$$ 

Взяв мнимую и вещественные части
$$\boldsymbol{E}_{3}=a\cos\varphi\cdot\boldsymbol{e}_{x}+b\cos(\varphi+\chi)\cdot\boldsymbol{e}_{y};\ \ \boldsymbol{E}_{4}=a\sin\varphi\cdot\boldsymbol{e}_{x}+b\sin(\varphi+\chi)\cdot\boldsymbol{e}_{y}.$$

Воспользуемся теперь ортогональностью $(\boldsymbol{E}_{3}\cdot\boldsymbol{E}_{4})=0.$
Раскрывая скалярное произведение, получим 
$$a^{2}\cos\varphi\sin\varphi+b^{2}\cos(\varphi+\chi)\sin(\varphi+\chi)=0,$$
т.е. получили тоже самое уравнение, значит придём и к тому же решению:
$$\text{tg}\left(2\varphi\right)=-\frac{b^{2}\sin\left(2\chi\right)}{a^{2}+b^{2}\cos\left(2\chi\right)}.$$ 

Из полученного выражения следует, что в новой системе координат конец
вектора электрического поля описывает в новой системе координат эллипс
с максимумом
$$E_{max}=E_{3}=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\varphi+\chi\right)}$$
и минимумом: 
$$E_{min}=E_{4}=\sqrt{a^{2}\sin^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\sin^{2}\left(\varphi+\chi\right)}.$$