Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.13. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета с гауссовской амплитудной кривой $a(k)=a_{0}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}\right),$ учитывая и квадратичные члены в дисперсии. ----- Рассмотрим дисперсию --- зависимость частоты от волнового вектора, разлагая в ряд: $$\omega\left(k\right)\approx\omega_{0}+\left.\frac{\partial\omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2}\left.\frac{\partial^{2}\omega}{\partial k^{2}}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)^{2}=\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}.$$ Волновой пакет выразится интегралом $$ E\left(z,t\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}a(k)e^{i\left(kz-\omega t\right)}\,dk=a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}+i\left(kz-\omega t\right)\right)\,dk= $$ $$ a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\Delta k^{2}+ikz-i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t\right)\,dk. $$ Как и в [[res2.10|задаче 2.10]] сделаем замену переменных переходя к полному квадрату: $$ \alpha\Delta k^{2}-ikz+i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t= $$ $$\left(\alpha+i\beta t\right)\Delta k^{2}+i\left(ut-z\right)\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t= $$ $$ \gamma^{2}\Delta k^{2}+i\delta\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t=\left(\gamma\Delta k+i\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t= $$ $$ \lambda^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t, $$ тогда, с учётом $dk=\frac{1}{\gamma}\,d\lambda$ перепишем интеграл $$ E\left(z,t\right)=\frac{a_{0}}{\gamma}\exp\left(-\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+ik_{0}z-i\omega_{0}t\right)\,\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-\lambda^{2}}\,d\lambda $$ тогда $$ E\left(z,t\right)=a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}+i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)\right) .$$ Таким образом можно представить, что пакет с одной стороны имеет фазовую скорость $v=\frac{\omega_{0}}{k_{0}}$, за это отвечает множитель $e^{i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)}$ и, при этом, у волны имеется комплексная амплитуда $$ a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}\right) .$$ Модуль амплитуды: $$ |E\left(z,t\right)|=a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}}\exp\left(-\frac{\left(ut-z\right)^{2}}{2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)}\right) $$ передвигается уже с групповой скоростью $u$, так как экспонента в модуле имеет максимум при $ut-z=0.$ В итоге мы видим, что амплитуда максимума падает со временем как $$a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}},$$ а полуширина кривой Гаусса увеличивается как $$\sqrt{2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)}$$ --- происходит размывание пакета.