Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 4.18. Найти электромагнитное поле, угловое распределение и полную интенсивность, а также исследовать поляризацию при равномерном движении по окружности радиуса $a$ с частотой $\omega $ нерелятивистской частицы заряда $q$ ($v \ll c$). ----- {{:optics:выделение_277.png?250 |}} Пусть частица вращается в плоскости $XY$ , а направление на точку $Z$ наблюдения поля выберем в плоскости $YZ.$ Вторую производную от дипольного момента $p=qr_{0}$ вращающейся частицы можно записать в виде $$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t,$$ $$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t,$$ $$\ddot{p}_{z}=0.$$ Тогда интенсивность излучения в телесный угол $$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{cH^{2}}{4\pi}r^{2}=\frac{1}{4\pi c^{3}}\left(\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\right)^{2}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}.$$ $$\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ p_{x} & p_{y} & 0\\ n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{array}\right|=p_{0}\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \cos\omega t & \sin\omega t & 0\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right|=$$ $$ p_{0}\left(\vec{i}\cos\theta\sin\omega t-\vec{j}\cos\theta\cos\omega t+\vec{k}\sin\theta\cos\omega t\right).$$ Для квадрата модуля: $$\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta\sin^{2}\omega t+\cos^{2}\theta\cos^{2}\omega t+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)=$$ $$ p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)$$ Если теперь усреднить по времени за один период, то $$\overline{\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}}=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\overline{\cos^{2}\omega t}\right)=$$ $$ p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right)=\frac{1}{2}p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$ В итоге $$\frac{\overline{dI}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{8\pi c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$ Осталось проинтегрировать $$\overline{I}=\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta=-\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)d\cos\theta=$$ $$-\left.\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\frac{\cos^{3}\theta}{3}+\cos\theta\right)\right|_{0}^{\pi}=\frac{2\omega^{4}q^{2}a^{2}}{3c^{3}}.$$ ===== б) ===== Для определения поляризации необходимо найти значение поля. Магнитное поле в нашем случае выражается формулой $$\vec{H}=\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]$$ $$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t=-\omega^{2}p_{x},$$ $$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t=-\omega^{2}p_{y},$$ $$\ddot{p}_{z}=0.$$ Мы уже вычисляли: $$\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ p_{x} & p_{y} & 0\\ n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{array}\right|=p_{0}\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \cos\omega t & \sin\omega t & 0\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right|=$$ $$p_{0}\left(\vec{i}\cos\theta\sin\omega t-\vec{j}\cos\theta\cos\omega t+\vec{k}\sin\theta\cos\omega t\right),$$ тогда $$H_{x}=-\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\cos\theta\sin\omega t,$$ $$H_{y}=\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\cos\theta\cos\omega t,$$ $$H_{z}=-\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\sin\theta\cos\omega t.$$ Для определения поляризации необходимо вычислить магнитное поле в локальной сферической системе координат, т.е. найти компоненты $H_{r},\,H_{\theta},\,H_{\varphi}$: $$H_{r}=H_{z}\cos\theta+H_{y}\sin\theta=H_0\left(-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\right)=0,$$ $$H_{\theta}=H_{y}\cos\theta-H_{z}\sin\theta=H_0\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right)\cos\omega t=H_0\cos\omega t,$$ $$H_{\varphi}=-H_{x}=H_0\cos\theta\sin\omega t,$$ где $H_0=\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}.$ Тогда эти компоненты связаны соотношением: $$\left(\frac{H_{\theta}}{H_0}\right)^{2}+\left(\frac{H_{\varphi}}{H_0\cos\theta}\right)^{2}=1$$ В общем случае поляризация эллиптическая, но при $\theta=0;\pi$ --- круговая, а при $\theta=\frac{\pi}{2}$ --- линейная.