Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 4.37. Найти сопротивление излучения симметричного полуволнового вибратора. ----- {{:optics:выделение_285.png?250 |}}Рассмотрим излучатель как набор диполей, каждый из которых излучает со своей амплитудой и фазой и будем учитывать, что излучение от каждого элемента антенны будет достигать конечной точки за разное время и с разными фазами. Дипольный точечный излучатель длины $dx$ с указанным током создает векторный потенциал в точке $r_{p}:$ $$d\vec{A}\left(r_{p},t\right)=\frac{\vec{e}_{x}}{cr_{p}}e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)-i\varphi\left(x\right)}I_{0}\cos kx\cdot dx$$ фаза $$\varphi\left(x\right)=kx\cos\theta.$$ Найдём теперь векторный потенциал: $$\vec{A}\left(r_{p},t\right)=\intop_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}\frac{\vec{e}_{x}}{cr_{p}}e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)-i\varphi\left(x\right)}I_{0}\cos kx\cdot dx= $$ $$\frac{\vec{e}_{x}I_{0}}{cr_{p}}e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}\intop_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}e^{-ikx\cos\theta}\cos kx\cdot dx$$ для взятия интеграла распишем косинус $$\frac{1}{2}\intop_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}e^{-ikx\cos\theta}\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)\cdot dx=$$ $$ \frac{1}{2}\left.\left(\frac{e^{ikx\left(1-\cos\theta\right)}}{ik\left(1-\cos\theta\right)}-\frac{e^{-ikx\left(1+\cos\theta\right)}}{ik\left(1+\cos\theta\right)}\right)\right|_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}=$$ $$\frac{1}{2}\left(\frac{e^{i\frac{\pi}{2}\left(1-\cos\theta\right)}}{ik\left(1-\cos\theta\right)}-\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}\left(1+\cos\theta\right)}}{ik\left(1+\cos\theta\right)}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}\left(1-\cos\theta\right)}}{ik\left(1-\cos\theta\right)}-\frac{e^{i\frac{\pi}{2}\left(1+\cos\theta\right)}}{ik\left(1+\cos\theta\right)}\right)=$$ $$\frac{1}{k}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2}\left(1-\cos\theta\right)}{1-\cos\theta}+\frac{\sin\frac{\pi}{2}\left(1+\cos\theta\right)}{1+\cos\theta}\right)=$$ $$ \frac{1}{k}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{1-\cos\theta}+\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{1+\cos\theta}\right)=$$ $$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k}\cdot\frac{2}{1-\cos^{2}\theta}=\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k\sin^{2}\theta}.$$ Итак, окончательно для векторного потенциала: $$\vec{A}\left(r_{p},t\right)=\frac{\vec{e}_{x}I_{0}}{cr_{p}}\cdot\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k\sin^{2}\theta}\cdot e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}$$ Для нахождения поля $\vec{H}$ найдём ротор векторного потенциала, но нам надо рассмотреть только волновой член. С учётом решения задач [[res4.4|4.4.]] и [[res4.6|4.6.]] $$\vec{H}=-\frac{i}{c}\left[\vec{n}\times\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right]=-\frac{\omega}{c}\left[\vec{n}\times\vec{A}\right]=$$ $$ -\left[\vec{n}\times\vec{e}_{x}\right]\frac{I_{0}}{cr_{p}}\cdot\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin^{2}\theta}\cdot e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}$$ с учётом $\vec{E}=\left[\vec{H}\times\vec{n}\right]$ и $|\vec{n}\times\vec{e}_{x}|=\sin\theta$ Для интенсивности $$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{c}{4\pi}r^{2}|H|^{2}=\frac{c}{4\pi}\left(\frac{I_{0}}{c}\cdot\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)\cos\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}{\sin\theta}\right)^{2}$$ после усреднения по периоду: $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{I_{0}^{2}}{2\pi c}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right)^{2}$$ Полный поток найдём интегрированием: $$\left\langle I\right\rangle =\intop_{0}^{\pi}\frac{I_{0}^{2}}{c}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right)^{2}\sin\theta\,d\theta=$$ $$\frac{I_{0}^{2}}{c}\intop_{-1}^{1}\frac{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{1-t^{2}}dt=\frac{1}{2}\left(\gamma-{\it Ci}\left(2\pi\right)+\ln\left(2\pi\right)\right)\frac{I_{0}^{2}}{c}\approx\frac{1,22\cdot I_{0}^{2}}{c}$$ Интеграл взят в программе [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Maple|Maple]]. Таким образом, $$R_{\text{изл}}=\frac{\left\langle P_{\text{изл}}\right\rangle }{\left\langle I^{2}\right\rangle }=\frac{\frac{1,22\cdot I_{0}^{2}}{c}}{\frac{I_{0}^{2}}{2}}=\frac{2,44}{c}$$ переходя в систему СИ $$R_{\text{изл}}=\frac{2,44\cdot9\cdot10^{11}}{3\cdot10^{10}}\approx73 \text{ Ом.}$$