===== Оператор "набла", определение =====
Оператор "набла" в декартовых координатах:
$$
\nabla=\vec{e}_{x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_{y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial}{\partial z}.
$$
Через оператор "набла" записывается градиент:
$$
\text{grad } u = \nabla u = \vec{e}_{x}\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e}_{y}\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial u}{\partial z},
$$
дивергенция, через скалярное произведение оператора и вектора:
$$
\text{div } \vec a = (\nabla \cdot \vec a) = \frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z},
$$
ротор, через векторное произведение оператора и вектора:
$$
\text{rot } \vec a = [\nabla \times \vec a] =
\left|\begin{array}{ccc}
\vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
a_x & a_y & a_z
\end{array}\right|
.
$$
==== Градиент ====
Легко вычисляется действие оператора набла на координаты вектора $\vec r$, т.е. когда в качестве скалярной функции рассматривается координата:
$$
\nabla x=\vec{e}_{x}, \, \nabla y=\vec{e}_{y}, \, \nabla z=\vec{e}_{z},
$$
это приводит к выделению
соответствующих орт. Тогда действие на модуль радиус вектора $r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
должен приводить к выделению $\vec{n}$ --- направления
по этому вектору $\vec{r}$, так как мы всегда можем выбрать соответствующую
систему координат, когда некоторая орта будет направлена по $\vec{r}=\vec{n}\cdot r$.
Прямой проверкой это подтверждается:
$$
\nabla r=\nabla\sqrt{r^{2}}=\left(\frac{d}{d\left(r^{2}\right)}\sqrt{r^{2}}\right)\nabla r^{2}=
$$
$$
\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{r^{2}}}\cdot\left(\vec{e}_{x}2x+\vec{e}_{y}2y+\vec{e}_{z}2z\right)=\frac{\vec{r}}{r}=\vec{n}.
$$
Итак:
$$
\nabla r=
\frac{\vec{r}}{r}.
$$
=== Градиент от сложной функции ===
Если рассмотреть вместо скалярной функции --- произведение двух функций $u\,v, $
тогда действие градиента:
\[
\nabla uv = u \nabla v + v\nabla u.
\]
Рассмотрим, теперь, скалярную функцию, полученную из скалярного произведения двух векторов:
$$
\nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\nabla(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}).
$$
Пусть вектор $\vec{a}$ --- постоянный, тогда
$$
\nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{i}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial x}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial x}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial x}b_{z}\right)+
$$
$$
\vec{j}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial y}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial y}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial y}b_{z}\right)+\vec{k}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial z}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial z}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial z}b_{z}\right).
$$
Давайте выделим слагаемые выражения $(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}=\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\vec{b}$,
тогда
$$
\nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{i}\left(a_{y}\frac{\partial}{\partial x}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial x}b_{z}-a_{y}\frac{\partial}{\partial y}b_{x}-a_{z}\frac{\partial}{\partial z}b_{x}\right)+
$$
$$
\vec{j}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial y}b_{x}+a_{z}\frac{\partial}{\partial y}b_{z}-a_{x}\frac{\partial}{\partial x}b_{y}-a_{z}\frac{\partial}{\partial z}b_{y}\right)+
$$
$$\vec{k}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial z}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial z}b_{y}-a_{x}\frac{\partial}{\partial x}b_{z}-a_{y}\frac{\partial}{\partial y}b_{z}\right)=
$$
$$
(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{i}\left(a_{y}\left(\frac{\partial}{\partial x}b_{y}-\frac{\partial}{\partial y}b_{x}\right)+a_{z}\left(\frac{\partial}{\partial x}b_{z}-\frac{\partial}{\partial z}b_{x}\right)\right)+
$$
$$
\vec{j}\left(a_{x}\left(\frac{\partial}{\partial y}b_{x}-\frac{\partial}{\partial x}b_{y}\right)+a_{z}\left(\frac{\partial}{\partial y}b_{z}-\frac{\partial}{\partial z}b_{y}\right)\right)+
$$
$$
\vec{k}\left(a_{x}\left(\frac{\partial}{\partial z}b_{x}-\frac{\partial}{\partial x}b_{z}\right)+a_{y}\left(\frac{\partial}{\partial z}b_{y}-\frac{\partial}{\partial y}b_{z}\right)\right)=
$$
$$
(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{i}\left(a_{y}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{z}-a_{z}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{y}\right)+
$$
$$
\vec{j}\left(-a_{x}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{z}+a_{z}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{x}\right)+\vec{k}\left(a_{x}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{y}-a_{y}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{x}\right)=
$$
$$
(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\left[\vec{a}\times\text{rot }\vec{b}\right],
$$
таким образом, если вектор $\vec a$ постоянный, то:
$$
\nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=
(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\left[\vec{a}\times\text{rot }\vec{b}\right].
$$
Если $\vec b = \vec r$, то получим
$$
\nabla ( \vec r\cdot \vec a ) = \vec a,
$$
но в этом можно убедиться и проще --- прямым вычислением.
Если, теперь, в выражении $\nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})$ оба вектора
$\vec{a}$ и $\vec{b}$ зависят от координат, то действие оператора
набла сводится к поочерёдному действию на скалярное произведение $(\vec{a}\cdot\vec{b})$
так, что сначала один вектор $\vec{a}$ постоянный , а потом второй
--- $\vec{b}$. Тогда:
$$
\nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\left[\vec{a}\times\text{rot }\vec{b}\right]+(\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}+\left[\vec{b}\times\text{rot }\vec{a}\right].
$$
==== Дивергенция ====
Рассмотрим дивергенцию от произведения вектора $\vec a$ на скаляр $u$:
$$
\text{div } \, u \vec a=(\nabla\cdot u \, \vec a)=
\frac{\partial}{\partial x}(u \, a_x)+\frac{\partial}{\partial y} (u \, a_y)+\frac{\partial }{\partial z} (u \, a_z)=
$$
$$
u \, \frac{\partial}{\partial x} a_x+ u \, \frac{\partial}{\partial y} a_y+ u \, \frac{\partial }{\partial z} a_z
+
a_x \frac{\partial}{\partial x}u + a_y \frac{\partial}{\partial y} u + a_z \frac{\partial }{\partial z} u=
$$
$$
u \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla \, u)
=
u \, \text{div } \vec a + (\vec a \cdot \text{grad } u)
.
$$
Итак:
$$
\bigl(\nabla \cdot (u \,\vec a) \bigr) = u \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla \, u).
$$
Давайте вычислим и остальные действия оператора $\nabla$ на вектор
$\vec{r}$:
$$
\text{div } \vec r=(\nabla\cdot\vec{r})=\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z=3
$$
==== Ротор ====
$$
\text{rot }\vec{r}=
\left|\begin{array}{ccc}
\vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
x & y & z
\end{array}\right|
=0,
$$
так как производная берётся всегда не по своей координате, например,
$$
\left(\text{rot }\vec{r}\right)_{x}=\frac{\partial}{\partial y}z-\frac{\partial}{\partial z}y=0-0=0.
$$
Итак:
$$
\text{rot }\vec{r}=0.
$$
Ещё одно важное тождество:
$$
\text{rot }(\text{rot }\vec{A})=\text{grad }(\text{div }\vec{A}) - \Delta \vec{A}.
$$