1.15. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического поля:
а) на оси $Z$ круглого тонкого диска радиуса $R$;
б) равномерно заряженной бесконечной плоскости;
в) на оси $Z$ круглого отверстия радиуса $R$, сделанного в плоскости $z=0$. Плоскость и диск равномерно заряжены с плотностью $\sigma$.
-----
==== а) ====
Для вычислении потенциала выделим на диске кольцо
{{ :electrodynamics:выделение_025.jpg?direct&200 |}}
радиуса $r$ ширины $dr$. На элементе длины
кольца $d\ell~=~r\,d\alpha$ находится количество заряда
$$dq=\sigma d\ell\,dr=\sigma r\,dr\,d\alpha.$$
Потенциал, создаваемый этим зарядом на оси на расстоянии $z$ от
диска, равен $\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}$. Потенциал, создаваемый кольцом
радиуса $r$ ширины $dr$,
$$
d\varphi=\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}.
$$
Тогда
$$
\varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}
=2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big),
$$
откуда
$$
E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}=
2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr).
$$
==== б) ====
Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает
положение плоскости ($x, y$).
В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического
поля может зависеть только от координаты $z$ и должен
быть перпендикулярен плоскости. Он направлен к плоскости,
если ее заряд отрицателен. Поэтому напряженность электрического
поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно
найти предельным переходом при $R\to\infty$ в формуле для поля,
создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем
$$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$
Заметим, что предельный переход в формуле для потенциала приводит к бесконечности, что, в общем то, и следовало ожидать, т.к. случай не совсем физический и связан с бесконечным зарядом на бесконечной плоскости. Для нахождения распределение потенциала используем интеграл:
$$
\varphi=-\int \limits_0^z E_z dz=-2\pi\sigma \int \limits_0^z dz=-2\pi\sigma z.
$$
При этом мы выбрали потенциал равным нулю на плоскости. Поле в нижнем полупространстве будет таким же (знак не поменяется), следовательно,
$$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$
Напряженность электрического поля на заряженной
плоскости терпит скачок, равный $4\pi\sigma$, как и следует из
граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$
==== в) ====
Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать
как суперпозицию двух полей: поля плоскости без
отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса
$R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$.
Поэтому
$$
E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}-
2\pi\sigma\,\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr)=
2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
$$
Распределение потенциала на оси отверстия
$$
\varphi=\int E_z\,dz+\text{const}=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\text{const}.
$$
Константу можно выбрать равной нулю, это будет означать, что
потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$.