1.23. Используя теорему Гаусса, найти поля равномерно заряженных:
а) шарика радиуса $a$ с объемной плотностью $\rho$;
б) бесконечного цилиндра радиуса $a$ с линейной плотностью $\eta$;
в) бесконечного плоского слоя толщины $2a$ с объемной плотностью заряда $\rho$.
-----
==== а) ====
Совместим начало сферической системы координат с центром шара.
{{ :electrodynamics:выделение_028.jpg?direct&200 |}}
Ввиду сферической симметрии
распределения заряда ясно, что вектор $\vec{E}$ может
быть направлен только вдоль радиуса и
зависеть только от величины радиуса. Поток
вектора $\vec{E}$ через сферическую поверхность
радиуса $R$ независимо от величины радиуса
запишется так:
$$
\Phi=\oint\limits_{S}(\vec{E}\,d\vec{s})=
E\oint\limits_{S}ds=E\cdot4\pi R^2,
$$
если $\vec{E}$ параллелен радиус-вектору $\vec{R}$ и
$\Phi=-E\cdot 4\pi R^2,$
если $\vec{E}$ антипараллелен $\vec{R}$, поскольку косинус
угла между $\vec{E}$ и $d\vec{s}$ будет равен (-1).
С другой стороны,
$$
4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3
\qquad\mbox{при}\qquad R\le a
$$
и
$$
4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\pi a^3
\qquad\mbox{при}\qquad R>a.
$$
Поэтому
$$
\vec{E}=\frac{4}{3}\pi\rho\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R\le a,
$$
$$
\vec{E}=\frac{4}{3}\pi\rho a^3\frac{\vec{R}}{R^3}=
\frac{Q}{R^3}\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R>a,
$$
где $Q=\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ --- полный заряд шара.
Таким образом, равномерно заряженный шар создает во
внешнем пространстве такое поле, как если бы весь заряд был
сосредоточен в его центре. Этот результат остается справедливым
при любом сферически симметричном распределении заряда по
объему шара.
==== б) ====
Для бесконечного равномерно заряженного цилиндра вектор
напряженности
{{ :electrodynamics:выделение_029.jpg?direct&200 |}}
электрического поля лежит в плоскостях,
пердендикулярных оси цилиндра, и может зависеть только от
расстояния от точки наблюдения до оси цилиндра. В цилиндрической системе
координат с осью $Z$ вдоль оси цилиндра вектор напряженности
$\vec{E}$ направлен вдоль $\vec{r}$. Построим два коаксиальных
цилиндра длины $\ell$ с радиусами $ra$. Поток вектора
$\vec{E}$ через поверхность каждого из цилиндров запишется так:
$$
\Phi=\oint\limits_{S}(\vec{E}d\vec{s})=
E\oint\limits_{S}ds=E\cdot2\pi r\ell.
$$
При вычислении потока мы считали, что
$\rho>0$, и, значит, вектор $d\vec{s}$ направлен по~$\vec{r}$.
Поток вектора $\vec{E}$ через торцы цилиндров равен нулю,
поскольку на них $\vec{E}$ и $\vec{r}$ перпендикулярны.
С другой стороны,
$$
4\pi\int\limits_{V}\rho\,dv=4\pi\frac{\eta}{\pi a^2}\int\limits_{V}dv=
\frac{4\eta}{a^2}\pi r^2\ell \qquad
\;\mbox{при}\qquad r
$$
\vec{E}=\frac{2\eta}{a^2}\,\vec{r}
\qquad\mbox{при}\qquad r\le a,
$$
$$
\vec{E}=\frac{2\eta}{r^2}\,\vec{r}
\qquad\;\mbox{при}\qquad r> a.
$$
==== в) ====
Пусть средняя плоскость пластинки занимает положение
плоскости ($x, y$). В силу симметрии распределения заряда
относительно плоскости ($x, y$), вектор $\vec{E}$ может
зависеть только от координаты $z$ и направлен от плоскости,
если пластина заряжена положительно, и к плоскости, если ее
заряд отрицателен.
Построим куб с основаниями, симметрично
расположенными по разные стороны от средней плоскости.
Если $S$ --- площадь каждого основания, то поток вектора
$\vec{E}$
{{ :electrodynamics:выделение_030.jpg?direct&200 |}}
через оба основания равен $2ES$. Поток через боковую поверхность
куба равен нулю, так как на ней векторы $\vec{E}$ и $d\vec{s}$
взаимно перпендикулярны. Значит, поток через поверхность куба
равен $2ES$. С другой стороны, правая сторона выражения (1) будет
равна: $4\pi\sigma S\cdot|z|$, если $z\le a$, и $4\pi\sigma S\cdot2a$,
если $z>a$. Поэтому
$$
\vec{E}=4\pi\sigma\vec{z}
\;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|\le a\;,
$$
$$
\vec{E}=4\pi\sigma a\,\frac{\vec z}{z}
\;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|> a\;.
$$