1.27. Найти потенциал и напряженность поля диполя с дипольным моментом $\vec{p}$.
-----

{{:electrodynamics:выделение_048.jpg?direct&200 |}}
Рассмотрим два одинаковых по величине и разных по знаку заряда,
находящихся на расстоянии \(a\) друг от друга (как на рисунке). Потенциал такой системы в некоторой точке можно записать (по принципу суперпозиции) как
\[
\varphi   = q\left( {\frac{1}{{r_1 }} - \frac{1}{{r_2 }}} \right) .
\]
Для вычисления этого выражения используем приближение $r_1, r_2  \gg a.$

Используя векторное соотношение, \(\vec a +\vec r_1=\vec r_2\), можно получить
$$
\frac 1{r_2}=\frac 1{\sqrt{(\vec r_2)^2}}=\frac 1{\sqrt{r_1^2+2(\vec r_1 \cdot \vec a) + a^2}}\approx \frac 1{r_1}\left( 1-\frac{(\vec r_1 \cdot \vec a)}{r_1^2}\right),
$$
тогда:

<WRAP center round box 60%>
\[
\varphi = \frac{(\vec r\cdot \vec p)}{r^3},
\]
</WRAP>

где $\vec r= \vec r_1\approx \vec r_2$ и  \(\vec p=q\vec a\). Вектор $\vec{p}$ --- дипольный момент, направлен от $-q$ к $+q$.
/* Для системы зарядов потенциал электростатического поля вдали от области их размещения
<WRAP center round box 60%>
\[
\varphi  = \frac{Q}{R} + \frac{{\vec R\vec d}}{{R^3 }},
\]
</WRAP>

где \(Q=\sum_i q_i\), \(\vec d = \sum {\vec{r}_i q_i }\), а \(\vec R\)  --- вектор из начала координат в точку, наблюдения. Начало координат выбрано где-то внутри системы зарядов. */
Поле в точке \(\vec r\)
<WRAP center round box 60%>
\[
\vec E =  - \nabla \left( {\frac{(\vec r\cdot \vec p)}{{r^3 }}} \right) =  - \frac{{\vec p}}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( \vec r\cdot \vec p \right)}}{{r^5 }}
\]
</WRAP>

При выводе этого соотношения использовались правила обращения с оператором [[nabla|"набла" - \(\nabla\)]]