1.3. Три одинаковых частицы имеют массу $m$ и заряд $-q$ каждая. Расстояние между каждой парой $a$. Они движутся
на неизменном расстоянии вокруг центральной частицы, заряд которой равен $+q$. При какой скорости частиц система находится в
равновесии? Какова энергия полной <<ионизации>> системы?

-----

\(m\)-- масса, \(q\)-- заряд, \(a\) -- расстояние. Высота $h$ в правильном
треугольнике \( h  = \sqrt{a^2  - \frac{{a^2 }}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
\). Суммарная сила, действующая на каждую частицу в вершинах треугольника:
{{ :electrodynamics:pic13.jpg?300 |}}
\[
\vec{F}_{\Sigma}=\vec{F}_1+\vec{F}_2-\vec{F}_3=\left[2F_1\cos(\pi/6)-F_3\right]\vec{e}_r,
\]
где вектор $\vec{e}_r$ направлен от центра треугольника к каждому заряду.
\[
F_1=\frac{q^2}{a^2},\;\;F_3=\frac{q^2}{(2/3h)^2}
\]
\[
F_\Sigma   = \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3  - \frac{{3q^2 }}{{a^2 }} =  - \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  - 1} \right).
\]
Поскольку получилось отрицательное значение силы, значит она направлена к центру и, следовательно, возможно вращение частиц вокруг центра со скоростью, определяемой из условия равновесия -- равенства суммарной силы, действующей на каждую частицу, центробежной силе, т.е.
\[
\frac{{mv^2 }}{r} = F_\Sigma.
\]

\[
\frac{{mv^2 \sqrt 3 }}{a} = \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)
\]
<WRAP center round box 60%>
\[
v = \sqrt {\frac{{q^2 }}{{ma}}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}.
\]
</WRAP>

Полная энергия системы в этом равновесном состоянии равна
\[
E = T + U = 3\frac{{mv^2 }}{2} + \frac{1}{2}(3U_1+U_0),
\]
где первый член -- это утроенная кинетическая энергия одной движущейся частицы, второе слагаемое -- это вклад каждой движущейся частицы в общую энергию взаимодействия за счет взаимодействия с другими, а третье слагаемое - вклад покоящейся частицы в общую энергию за счет взаимодействия с движущимися. Точнее, это будет выглядеть так. Полная энергия взаимодействия имеет вид
\[
U=\frac{1}{2}\sum_{i,j,i\neq j}q_i\varphi_{ji},
\]
где $\varphi_{ji}$ -- потенциал, который создает $j$-й заряд в точке, где находится заряд $i$. Для примера рассмотрим чему равен член $U_1$ в выражении для полной энергии
\[
U_1=q\left(\varphi_{21}+\varphi_{31}+\varphi_{01}\right)=
q\left(\frac{q}{a}+\frac{q}{a}-\frac{q}{2/3h}\right)=\frac{q^2}{a}\left(2-\sqrt{3}\right).
\]
Выражение для $U_0$ запишем аналогично в виде
\[
U_0=-q3\frac{q}{2/3h}=-3\frac{q^2}{a}\sqrt{3}.
\]
Собирая все члены потенциальной энергии получим
\[
U=\frac{1}{2}\left[3U_1+U_0\right]=-3\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right).
\]
Используя ранее полученное выражение для скорости, полную энергию можно переписать в виде
\[
E=T+U=3\left[\frac{mv^2}{2}-\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right)\right]=-\frac{3}{2}\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right).
\]
Для того, чтобы "ионизовать" систему, т.е. чтобы частицы разлетелись на бесконечность с нулевой скоростью, необходимо чтобы полная энергия системы стала равной нулю. Тогда очевидно, что необходимо "добавить" в систему энергию
<WRAP center round box 60%>
\[E_0=-E=\frac{3}{2}\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right).\]
</WRAP>