1.48. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов $r_1$ и
$r_2$, разность потенциалов между которыми равна $U$.
-----
Так как между обкладками отсутствует заряд, то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:
\[
\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}} \right) = 0.
\]
Проинтегрируем его один раз:
\[
r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = A,
\]
тогда:
\[
\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r}.
\]
Проинтегрируем его второй раз:
\[
\varphi = A\ln r + B
\]
Константу $A$ можно узнать из имеющейся разности потенциалов между обкладками:
\[
\varphi _2 - \varphi _1 = A\ln r_2 - A\ln r_1 = U,
\]
следовательно:
\[
A = \frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}.
\]
Тогда потенциал:
\[
\varphi =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}\ln r + B,
\]
а поле найдём взяв градиент потенциала:
\[
E_r = -\frac{\partial \varphi }{\partial r} = - \frac{1}{r}\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}.
\]
Или в векторном виде:
\[
\vec E =-\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}.
\]