2.32. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы радиуса $a$. Центр полусферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы на расстоянии $b>a$ от плоскости находится точечный заряд $q$. Найти потенциал электрического поля, а также заряд $Q,$ индуцированный на выступе?
-----
{{:electrodynamics:выделение_065.jpg?direct&200 |}}

Для того чтобы вся сфера была эквипотенциальной с $\varphi =0$ поместим заряд $q'=-q\frac ab$ как в задаче [[res2.27|2.27]] в точку $x=b'=\frac{a^2}{b}.$ Теперь, что бы добиться эквипотенциальности плоской границы, как в задаче [[res2.22|2.22]], поместим заряды $-q$ и $-q'$ в точки $x=-b$ и $x=-b'$. Теперь поверхность плоскости с выступом у нас будет иметь потенциал $\varphi =0$, тогда приходим к тому, что в полупространстве потенциал описывается решением уравнения $\Delta \varphi = -4\pi q\delta(\vec r - \vec b)$, где $\vec b$ --- вектор проведённый из начала координат к точке с зарядом $q$, с нулевым граничным условием на плоскости с выступом. В силу единственности решения, такое решение можно получить добавив три виртуальных заряда в соответствующие точки, тогда
$$\varphi  = \frac q{r_1} - \frac q{r_2} + \frac{q'}{r_3} - \frac{q'}{r_4},$$
где 
$r_i$ показаны на рисунке. 

Расписав  расстояния $r_i$ через расстояние $r$ и угол $\theta :$
$$
r_1=\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt} r_2=\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)},
$$
$$
r_3=\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt} 
r_4=\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}
$$
и [[res2.32-1|взяв производную]] по $r$ --- найдём нормальную составляющую электрического поля и поверхностную плотность зарядов:
$$
\sigma=q\frac{b^{2}-a^{2}}{4\pi a}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)
$$
Что бы получить заряд осталось проинтегрировать
$$
Q=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma\,dS=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma2\pi a^{2}\sin\theta\,d\theta .
$$
Подставив полученную поверхностную плотность зарядов, [[res2.32-2|проинтегрируем]] и придём к выражению:
$$
Q=-q\left(1-\frac{b^{2}-a^{2}}{b\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\right).
$$