6.103. Найти энергию, которую несет с собой электромагнитное поле, распространяющееся вдоль воздушного коаксиального кабеля без потерь. Показать, что энергия, протекающая за единицу времени через сечение кабеля, равна мощности, которую отдает источник, питающий кабель.

-----

Если коаксиальный кабель без потерь, то будем считать, что его проводимость бесконечная, а значит падения напряжения по длине кабеля нет. Внутренний и внешний кабель находятся под разными потенциалами. Их разность --- $U$. В [[res1.48|задаче 1.48.]] мы находили поле в коаксиальном кабеле:
\[
\vec E =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}.
\]
Магнитное  поле в промежутке
$$
\vec H=\frac{2J}{cr}.
$$
Проинтегрировав поток энергии
$$
\vec S=\frac{c}{4\pi}[\vec E\times \vec H]
$$
по площади $dA$, найдём мощность
$$
P=\int (\vec S\cdot d\vec A)=\int \limits_{r_1}^{r_2} \frac{c}{4\pi}EH\ dA=
\int \limits_{r_1}^{r_2} \frac{c}{4\pi}\frac{U}{r \ln \frac{r_2 }{r_1}}\ \frac{2J}{cr} \ 2\pi rdr=UJ.
$$