6.106. Показать, что при разрядке плоского цилиндрического и сферического конденсаторов на их обкладках ток проводимости совпадает с током смещения.

-----

Для конденсатора $q=CU$. Для плоского конденсатора $C=\frac{\varepsilon S}{4\pi  d}$, тогда
$$
q=\frac{\varepsilon S U}{4\pi  d} = \frac{ S }{4\pi }D,
$$
где $D=\varepsilon \frac Ed$ --- индукция электрического поля. Продифференцировав по времени обе части придём к равенству
$$
J=\frac d{dt}q=\frac{ S }{4\pi }\frac d{dt}D=\frac{ S }{4\pi }4\pi j_{смещ}=J_{смещ},
$$
где 
$$
j_{смещ}=\frac{1 }{4\pi }\frac{\partial D}{\partial t}
$$
плотность тока смещения.

/* Ёмкость сферического конденсатора (см. [[res2.13|задачу 2.13]]):
\[
C=\frac{q}{\Delta \varphi}=\frac{\varepsilon}{\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}}.
\]
*/

Для сферического и цилиндрического конденсаторов в силу симметрии и по теореме Гаусса по прежнему выполнено
$$
q=\frac{ S }{4\pi }D,
$$
что приводит к всё тому-же равенству
$$
J=J_{смещ}.
$$