===== Уравнение Пуассона и Лапласа =====

$\Delta\varphi=-4\pi\rho$ --- уравнение для потенциала с источниками (зарядами) ---
уравнение Пуассона и $\Delta\varphi=0$ --- уравнение без источников --- уравнение Лапласа


==== Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат ====

\[
\Delta\varphi=\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial
R}\left( R\frac{\partial\varphi}{\partial
R}\right)+\frac{1}{R^2}\frac{\partial ^2\varphi}{\partial
\alpha^2}+\frac{\partial ^2\varphi}{\partial z^2}=-4\pi\rho.
\]

==== Уравнение Пуассона в сферической системе координат ====
\[
\Delta\varphi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial
r}\left( r^2\frac{\partial\varphi}{\partial
r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial }{\partial
\theta}\left(\sin \theta
\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial
^2\varphi}{\partial \alpha^2}=-4\pi\rho.
\]

==== Граничные условия ====
на границе раздела сред 1 -- 2 ($n$ --
нормаль из среды 1 в 2).
\begin{equation}
\varphi_1=\varphi_2\,,\,\, \frac{\partial \varphi_1}{\partial
n}-\frac{\partial \varphi_2}{\partial n}=4\pi \sigma.
\end{equation}

==== Решение уравнения Пуассона ====

для точечного заряда
\begin{equation}
\Delta \varphi_{\text{точ}}=-4\pi q
\delta(\vec{r})\,,\,\,\varphi_{\text{точ}}=\frac{q}{r}+C.
\end{equation}

Общее решение уравнения Пуассона для распределенной
системы зарядов

\begin{equation}\
\varphi(\vec{r})=
        \int\limits_{V}\frac{\rho(\vec{r'})\,dV'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}
        +\int\limits_{S}\frac{\sigma(\vec{r'})\,dS'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}+
        \int\limits_{L}\frac{\varkappa(\vec{r'})\,d\ell'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}.
\end{equation}