===== Уравнение Шрёдингера =====


====Задача 1.====

Найти среднюю кинетическую энергию частицы массой $m$ в
одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками
$(0<x<a),$ если частица находится в состояниях, описываемых волновыми
функциями:

а) $\Psi (x) = A\sin ^2 \left(\pi \frac xa \right)$;

б) $\Psi (x) = A x\left(x-a \right)$.

-----

$$\left\langle T\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{T}|\Psi\right\rangle =\left\langle \Psi|\frac{\hat{p}^{2}}{2m}|\Psi\right\rangle =\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\hat{p}^{2}}{2m}\Psi dx=$$
$$
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi dx=
-\frac{A^{2}\hbar^{2}}{2m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)\frac{\partial^{2}}{\partial
x^{2}}x\left(x-a\right)dx=$$

$$
-\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)dx=
-\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}\hbar^{2}a^{3}}{6m}.$$
$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=$$

$$A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=A^{2}\intop_{0}^{a}\left(x^{4}-2ax^{3}+a^{2}x^{2}\right)dx=$$

$$A^{2}\left.\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{ax^{4}}{2}+\frac{a^{2}x^{3}}{3}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}a^{5}}{30}.$$

Следовательно, 
$$A=\sqrt{\frac{30}{a^{5}}} \text{ и } \left\langle T\right\rangle =\frac{5\hbar^{2}}{a^{2}m}.$$
====Задача 2====
В одномерном потенциальном поле $U(x),$ таком, что $U(x)=0$ при
$x\to\infty,$ находится частица в стационарном состоянии, описываемом
волновой функцией 
$$
\Psi(x) =
\left\{ \begin{array}{cc}
Axe^{-ax}, & x\geq0\\
0, & x<0
\end{array}\right..$$

Найти вид функции $U(x)$ и константу $A.$
-----

Определим вид функции $U(x),$ подставив волновую функцию в уравнение
Шрёдингера:

$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi.$$

Продифференцируем: 

$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}xe^{-ax}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-ax}-axe^{-ax}\right)=-2ae^{-ax}+a^{2}xe^{-ax},$$
тогда
$$\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(2-ax\right)+U(x)x=Ex$$
так, что
$$U(x)=\left.E+\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(a-\frac{2}{x}\right)\right|_{x\to\infty}=0,$$ 
следовательно, $$E=-\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m},  \ \ U(x)=-\frac{\hbar^{2}a}{mx}.$$


Константу $A$ определим из нормировки:

$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2ax}dx=$$
$$
\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}dt=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=$$
$$
\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{1}{\alpha}\right|_{\alpha=1}=\frac{2A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}.$$
следовательно, $$A=2\sqrt{a^{3}}.$$


=====Ток вероятности.=====

Плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке
определяется выражением:
$$\rho=|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*},$$  тогда плотность вероятности должна удовлетворять уравнению непрерывности:
$$\frac{{\partial}\rho}{\partial t}+\text{div }\vec{j}=0.$$ 
Введём поток вероятности  (или ток вероятности)  $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right).$$

Для плоской волны  (т.е. для частицы, движущейся с определённым импульсом):
$$\Psi=Ae^{ikx}, \ \ \  \rho=|\Psi|^{2}=|A|^{2}=1,$$ \ $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right)=\frac{\hbar\vec{k}}{m}.$$

====Задача 3====

Найти коэффициент отражения частицы с энергией $E$ на барьере
высотой $U_{0}<E.$
{{ ::13-1.png?300 |}}
-----

Запишем уравнение Шрёдингера:
$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi,$$\
потенциал имеет вид: 
$$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
U_{0}, & x\geq0\\
0, & x<0
\end{array}\right..$$
Волновая функция имеет вид:
$$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
Be^{ik_{2}x}, & x\geq0\\
e^{ikx}+Ae^{-ikx}, & x<0
\end{array}\right.,$$
где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(E-U_{0}\right)}{\hbar^{2}}}.$

Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на
границах барьера, т.е. при $x=0:$
$$\left\{ \begin{array}{cc}
1+A=B,\\
k\left(1-A\right)=k_{2}B,
\end{array}\right.$$\
Решая систему двух линейных алгебраических уравнений:
$$A=\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k},\,B=\frac{2k}{k_{2}+k},$$
(как формулы Френеля для нормального падения в оптике).

====Задача 4====

Коэффициент (надбарьерного) отражения равен отношению тока вероятности
отражённой волны к току вероятности падающей:

$$R=|A|^{2}=\left(\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k}\right)^{2}=\left(\frac{1-\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}\right)^{2}.$$

Найти коэффициент туннелирования частицы с энергией $E$ сквозь
барьер высотой $U_{0}>E$ и шириной $a.$
{{ ::13-2.png?300 |}}
Запишем уравнение Шрёдингера:
$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi$$
потенциал имеет вид: 
$$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
U_{0}, & 0\leq x\leq a\\
0, & x<0\text{ и }x>a
\end{array}\right..$$
Таким образом, волновая функция имеет вид:
$$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
e^{ikx}+Ae^{-ikx} & x<0\\
Be^{k_{2}x}+Ce^{-k_{2}x} & 0\leq x\leq a\\
De^{ikx} & x>a
\end{array}\right.$$
где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(U_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}}.$

Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на
границах барьера, т.е. при $x=0$ и $x=a:$

$1+A=B+C;$

$ik\left(1-A\right)=k_{2}\left(B-C\right);$

$Be^{k_{2}a}+Ce^{-k_{2}a}=De^{ika};$

$k_{2}\left(Be^{k_{2}a}-Ce^{-k_{2}a}\right)=ikDe^{ika}.$

Решая систему, получим:

$$A=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)+i2kk_{2}\left(e^{2k_{2}a}+1\right)}$$
так как $R=|A|^{2},$ то 
$$R=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)+4k^{2}k_{2}^{2}\text{ch}^{2}\left(k_{2}a\right)}.$$

Коэффициент прохождения равен: $T=1-R.$

Ответ напоминает соотношение, полученное при изучении прохождения
волны через зазор при полном внутреннем отражении.

Туннельный эффект используется в: 

1) Туннелирование носителей зарядов через потенциальный барьер p-n
перехода, получившее практическое применение в туннельном диоде, где
наблюдается отрицательное дифференциальное сопротивление. 

2) Туннельный микроскоп. Основан на, том, что если между поверхностью
проводящего материала и атомно-острой проводящей иглой (зондом) подать
напряжение и подвести на очень малое расстояние, то между ними будет
течь туннельный ток. Если поддерживать ток постоянным при сканировании
зондом вдоль поверхности, можно получить картину поверхности с атомным
разрешением. 

3) $\alpha$--распад --- туннелирование через
потенциальный барьер. Теорию альфа--распада, основанную
на туннельном эффекте, разработал в 1928 Георгий Гамов. 

4) авто-- и термоэмиссия 


5) Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную плёнку,
имеющую диэлектрические свойства, покрывающую ряд металлов (в частности,
алюминия) и обеспечивающее проводимость точек механического соединения
проводников. и т.д.

==== Задача 5.====

Пользуясь формулой для нахождения коэффициента туннелирования $T=exp\left(-\frac{2}{\hbar}\intop_{a}^{b}\sqrt{2m\left(U(x)-E\right)}dx\right),$
где $a,b$  классические точки поворота для потенциального
барьера, найти вероятность прохождения электрона с энергией $E$ сквозь
потенциальный треугольной формы высотой $U_{0}$ и шириной $d$.
{{ ::13-3.png?300 |}}
Потенциальная энергия имеет вид:
$$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right), & 0\leq x\leq d\\
0, & x<0\text{ и }x>d
\end{array}\right..$$


Определим точки поворота:
$a=0,$  а вторая точка поворота определяется из равенства: $$U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)=E,$$
следовательно, $$b=\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d.$$
Итак:
$$T=exp\left(-\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar}\intop_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\sqrt{U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)-E}dx\right)=$$
$$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left.\left(U_{0}-U_{0}\frac{x}{d}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\right)=$$

$$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(\left(U_{0}-U_{0}\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)-E\right)^{\frac{3}{2}}-\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right) \Rightarrow$$
$$T= exp\left(-\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right).$$