====== Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 3. Электрическая ёмкость. Поле в диэлектрике ======

===== Задача 1. Цилиндрический конденсатор =====
==== Условие ====
Цилиндрический проводник радиуса $a$ имеет заряд $Q$ и коаксиален с тонкой цилиндрической оболочкой радиусом $b>a$ и зарядом $-Q$. Найти ёмкость этого цилиндрического конденсатора, если его длина равна $\ell$.

==== Решение ====
Пренебрегая краевыми эффектами ($\ell\gg a,b$), поле между обкладками радиальное: $E_r=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$, $\lambda=Q/\ell$. Разность потенциалов:
$$V_b-V_a=-\int_a^bE_r\,dr=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac ba.$$
Ёмкость $C=Q/|\Delta V|$:
$$C=\frac{2\pi\varepsilon_0\ell}{\ln(b/a)}.$$

==== Ответ ====
$C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0\ell}{\ln(b/a)}$.

===== Задача 2. Система конденсаторов =====
==== Условие ====
{{ ::ggf3-32.png?300|}}
Найти ёмкость $C$ системы конденсаторов (см. рисунок), если ёмкость каждого конденсатора $0{,}5$ мкФ.

==== Решение ====
Последовательно упрощаем схему, объединяя параллельные и последовательные группы конденсаторов одинаковой ёмкости $0{,}5$ мкФ.

==== Ответ ====
$C=0{,}33$ мкФ.

===== Задача 3. Эквивалентная ёмкость =====
==== Условие ====
{{ ::ggf3-33.png?350|}}
Найти эквивалентную ёмкость между точками $a$ и $b$ для комбинации конденсаторов на рисунке (все ёмкости в мкФ).

==== Решение ====
Последовательно заменяем фрагменты схемы эквивалентными: сначала объединяем параллельные пары конденсаторов (получаются эквивалентные ёмкости 4 мкФ и 8 мкФ), затем полученные последовательные пары (2 мкФ и 4 мкФ), после чего остаются два параллельных конденсатора.

==== Ответ ====
$C_{ab}=6$ мкФ.

===== Задача 4. Переключение заряженных конденсаторов =====
==== Условие ====
Два конденсатора $C_1$ и $C_2$ ($C_1>C_2$) зарядили до одинаковой разности потенциалов $\Delta V_i$. Затем их соединили ключами, причём обкладки были соединены с противоположной полярностью. Найти напряжение и энергию конденсаторов после замыкания ключей.

==== Решение ====
После замыкания оба конденсатора соединены параллельно с общим напряжением $\Delta V_f$, а заряд сохраняется (система изолирована):
$$Q_i=(C_1-C_2)\Delta V_i\ (\text{заряды противоположной полярности вычитаются}),\qquad Q_f=(C_1+C_2)\Delta V_f.$$
Из $Q_i=Q_f$:
$$\Delta V_f=\frac{C_1-C_2}{C_1+C_2}\Delta V_i.$$
Энергии: $U_i=\frac12(C_1+C_2)(\Delta V_i)^2$, $U_f=\frac12(C_1+C_2)(\Delta V_f)^2=\dfrac{(C_1-C_2)^2(\Delta V_i)^2}{2(C_1+C_2)}$, так что
$$\frac{U_f}{U_i}=\left(\frac{C_1-C_2}{C_1+C_2}\right)^2<1$$
— энергия убывает (излучается в виде электромагнитных волн при перезарядке через соединительные провода).

==== Ответ ====
$\Delta V_f=\dfrac{C_1-C_2}{C_1+C_2}\Delta V_i$, $\ U_f/U_i=\left(\dfrac{C_1-C_2}{C_1+C_2}\right)^2$.

===== Задача 5. Конденсатор с металлической пластиной =====
==== Условие ====
В середину плоского конденсатора с расстоянием между пластинами $d$ и площадью пластин $S$ вставили незаряженную металлическую пластину толщиной $a$. Определите ёмкость этой системы.

==== Решение ====
Металлическая пластина исключает поле на своей толщине $a$, не меняя поля в оставшемся зазоре $d-a$ (пластина — эквипотенциальный проводник, действует как «укорачивание» межэлектродного расстояния):
$$C=\frac{\varepsilon_0S}{d-a}.$$

==== Ответ ====
$C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d-a}$.

===== Задача 6. Конденсатор со слоем диэлектрика =====
==== Условие ====
В плоский воздушный конденсатор с расстоянием между пластинами $d$ и ёмкостью $C_0$ вставили слой диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ и толщиной $fd$ ($0<f<1$). Найти ёмкость получившегося конденсатора.

==== Решение ====
Система эквивалентна последовательному соединению конденсатора с диэлектриком (толщина $fd$) и воздушного зазора (толщина $(1-f)d$):
$$C_1=\frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{fd},\qquad C_2=\frac{\varepsilon_0S}{(1-f)d},\qquad \frac1C=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}.$$
Отсюда
$$C=\frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{[f+\varepsilon(1-f)]d}=\frac{C_0}{f+\varepsilon(1-f)},\qquad C_0=\frac{\varepsilon_0S}{d}.$$

==== Ответ ====
$C=\dfrac{C_0}{f+\varepsilon(1-f)}$.

===== Задача 7. Связанные заряды при заполнении диэлектриком =====
==== Условие ====
На пластины плоского конденсатора с расстоянием $d=3$ см подана разность потенциалов $U=1$ кВ. Пространство между пластинами заполняется диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon=7$. Найти поверхностную плотность связанных зарядов $\sigma_{\text{св}}$ и изменение поверхностной плотности заряда на пластинах: а) до отключения конденсатора от источника; б) после отключения.

==== Решение ====
Связанный заряд определяется полем в диэлектрике: $\sigma_{\text{св}}=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E_2$, где $E_2=U_2/d$.

**а) До отключения** ($U$ остаётся неизменным, $U_2=U$):
$$\sigma_{\text{св}}=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\frac{U}{d}.$$
Это же равно приросту плотности свободного заряда на пластинах $\sigma_{\text д}-\sigma_0$ — источник подкачивает дополнительный заряд, компенсируя поляризацию.

**б) После отключения** ($q=\text{const}$, поэтому $U_2=U/\varepsilon$):
$$\sigma_{\text{св}}=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\frac{U}{\varepsilon d}.$$
Поскольку заряд на пластинах не меняется, $\sigma_{\text д}-\sigma_0=0$.

==== Ответ ====
а) $\sigma_{\text{св}}=\varepsilon_0(\varepsilon-1)U/d\approx17{,}7$ мкКл/м² (заряд на пластинах растёт на столько же);
б) $\sigma_{\text{св}}=\varepsilon_0(\varepsilon-1)U/(\varepsilon d)\approx2{,}53$ мкКл/м² (заряд на пластинах не меняется).

===== Задача 8. Батарея из двух конденсаторов =====
==== Условие ====
Два плоских конденсатора одинаковой ёмкости $C_1=C_2=C$ соединены последовательно и подключены к источнику с ЭДС $\mathcal E$. Как изменится разность потенциалов $U_1$ на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго (не отключая источник) заполнить диэлектриком с $\varepsilon=7$?

==== Решение ====
До заполнения: $U_1=U_2=\mathcal E/2$. После заполнения $C_2'=\varepsilon C$, $C_1'=C$, источник не отключён, поэтому заряд батареи $Q=C'_{\text{бат}}\mathcal E$, где $C'_{\text{бат}}=\dfrac{C\cdot\varepsilon C}{C+\varepsilon C}=\dfrac{\varepsilon C}{1+\varepsilon}$. Тогда
$$U_1'=\frac{Q}{C_1'}=\frac{Q}{C}=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\mathcal E,\qquad \frac{U_1'}{U_1}=\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}.$$
При $\varepsilon=7$: $U_1'/U_1=14/8=1{,}75$.

==== Ответ ====
$U_1$ увеличивается в $\dfrac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}=1{,}75$ раза.

===== Задача 9. Работа при раздвижении пластин =====
==== Условие ====
Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины $S=500$ см² подключён к источнику с ЭДС $\mathcal E=300$ В. Определить работу $A$ внешних сил по раздвижению пластин от $d_1=1$ см до $d_2=3$ см: 1) пластины отключены от источника перед раздвижением; 2) пластины остаются подключёнными.

==== Решение ====
**1) Отключённый конденсатор** (заряд $Q=C_1\mathcal E$ постоянен, система изолирована, $A=\Delta W$):
$$A=\frac{Q^2}{2C_2}-\frac{Q^2}{2C_1}=\frac{C_1^2\mathcal E^2}2\left(\frac1{C_2}-\frac1{C_1}\right)=\frac{\varepsilon_0S\mathcal E^2}{2d_1^2}(d_2-d_1).$$

**2) Подключённый конденсатор** ($U=\mathcal E=\text{const}$, заряд и ёмкость меняются при раздвижении, работа находится интегрированием $dA=QE_1\,dx$ с $E_1=\mathcal E/(2x)$, $Q=\varepsilon_0S\mathcal E/x$):
$$A=\frac12\varepsilon_0S\mathcal E^2\int_{d_1}^{d_2}\frac{dx}{x^2}=\frac12\varepsilon_0S\mathcal E^2\left(\frac1{d_1}-\frac1{d_2}\right).$$

==== Ответ ====
1) $A=\dfrac{\varepsilon_0S\mathcal E^2}{2d_1^2}(d_2-d_1)\approx3{,}98$ мкДж;
2) $A=\dfrac12\varepsilon_0S\mathcal E^2\left(\dfrac1{d_1}-\dfrac1{d_2}\right)\approx1{,}33$ мкДж.

===== Задача 10. Энергия поля в слое диэлектрика =====
==== Условие ====
Металлический шар радиусом $R=3$ см несёт заряд $Q=20$ нКл. Шар окружён слоем парафина ($\varepsilon\approx2$) толщиной $d=2$ см. Определить энергию $W$ электрического поля, заключённого в слое диэлектрика.

==== Решение ====
Объёмная плотность энергии $w=\frac12\varepsilon_0\varepsilon E^2$, где $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2}$ в слое диэлектрика, так что $w=\dfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon r^4}$. Энергия в сферическом слое от $R$ до $R+d$:
$$W=\int_R^{R+d}w\,4\pi r^2\,dr=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon}\int_R^{R+d}\frac{dr}{r^2}=\frac{Q^2d}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+d)}.$$

==== Ответ ====
$W=\dfrac{Q^2d}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+d)}\approx12$ мкДж.