====== Решение задач по квантовой механике ====== ===== 1. Оценка ширины световой полосы за щелью ===== Плоская волна падает на щель шириной $d$ под углом $\theta$ к нормали к экрану. Второй экран расположен на расстоянии $\ell$ от первого. Требуется с помощью соотношения неопределённостей оценить ширину световой полосы на втором экране. ---- ==== Идея решения ==== При прохождении через щель фотон локализуется по координате вдоль экрана с точностью порядка $$ \Delta x \sim d. $$ Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга, $$ \Delta x \, \Delta p_x \sim \hbar, $$ поэтому неопределённость поперечной компоненты импульса оценивается как $$ \Delta p_x \sim \frac{\hbar}{d}. $$ Импульс фотона по модулю равен $$ p = \frac{h}{\lambda} = \frac{2\pi \hbar}{\lambda}. $$ Если центральное направление распространения после щели задаётся углом $\theta$, то $$ p_x = p \sin\theta, \qquad p_z = p \cos\theta. $$ Координата точки попадания на второй экран: $$ x = \ell \tan\varphi, $$ где $\varphi$ — угол распространения луча после щели. Из-за неопределённости $\Delta p_x$ возникает неопределённость угла $\Delta \varphi$. ---- ==== Связь между $\Delta p_x$ и $\Delta \varphi$ ==== Так как $$ p_x = p \sin\varphi, $$ то при малом изменении угла: $$ \Delta p_x = p \cos\theta \, \Delta \varphi. $$ Отсюда $$ \Delta \varphi \sim \frac{\Delta p_x}{p \cos\theta}. $$ Подставляя $\Delta p_x \sim \hbar/d$ и $p = 2\pi\hbar/\lambda$, получаем $$ \Delta \varphi \sim \frac{\lambda}{2\pi d \cos\theta}. $$ ---- ==== Ширина полосы на втором экране ==== Так как $$ x = \ell \tan\varphi, $$ то $$ \Delta x_{\text{экр}} \sim \ell \frac{d}{d\varphi}(\tan\varphi)\,\Delta \varphi = \ell \sec^2\theta \,\Delta \varphi. $$ Следовательно, $$ \Delta x_{\text{экр}} \sim \ell \sec^2\theta \cdot \frac{\lambda}{2\pi d \cos\theta}. $$ Итак, $$ \Delta x_{\text{экр}} \sim \frac{\ell \lambda}{2\pi d \cos^3\theta}. $$ Так как задача требует только оценки порядка величины, численный множитель $2\pi$ можно опустить: $$ \Delta x_{\text{экр}} \sim \frac{\ell \lambda}{d \cos^3\theta}. $$ ---- ==== Ответ ==== Ширина световой полосы по порядку величины: $$ \boxed{ \Delta x_{\text{экр}} \sim \frac{\ell \lambda}{d \cos^3\theta} } $$ При нормальном падении ($\theta=0$): $$ \boxed{ \Delta x_{\text{экр}} \sim \frac{\ell \lambda}{d} } $$ ---- ===== 2. Расплывание волнового пакета свободного электрона ===== Свободный электрон в начальный момент локализован в области размера $$ \ell = 10^{-8}\,\text{см} = 10^{-10}\,\text{м}. $$ Оценить время, за которое ширина волнового пакета увеличится в $$ \mu = 100 $$ раз. ---- ==== Идея решения ==== Если частица локализована в области $\ell$, то неопределённость координаты: $$ \Delta x \sim \ell. $$ Тогда по соотношению неопределённостей $$ \Delta x \, \Delta p \sim \hbar $$ имеем $$ \Delta p \sim \frac{\hbar}{\ell}. $$ Для свободного электрона разброс скоростей: $$ \Delta v \sim \frac{\Delta p}{m_e} \sim \frac{\hbar}{m_e \ell}. $$ За время $t$ этот разброс скоростей приведёт к расплыванию пакета на величину порядка $$ \Delta x_{\text{доп}} \sim \Delta v \, t. $$ Когда ширина пакета станет в $\mu$ раз больше начальной: $$ \mu \ell \sim \Delta v \, t. $$ Следовательно, $$ t \sim \frac{\mu \ell}{\Delta v} = \frac{\mu \ell}{\hbar/(m_e\ell)} = \frac{\mu m_e \ell^2}{\hbar}. $$ ---- ==== Подстановка чисел ==== Берём: $$ m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}\,\text{кг}, \qquad \hbar = 1.05 \cdot 10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}, \qquad \ell = 10^{-10}\,\text{м}, \qquad \mu = 100. $$ Тогда $$ t \sim \frac{100 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \cdot (10^{-10})^2}{1.05 \cdot 10^{-34}}. $$ $$ t \sim \frac{100 \cdot 9.1 \cdot 10^{-51}}{1.05 \cdot 10^{-34}} \approx 8.7 \cdot 10^{-15}\,\text{с}. $$ ---- ==== Ответ ==== $$ \boxed{ t \sim 10^{-14}\,\text{с} } $$ Более точно: $$ \boxed{ t \approx 8.7 \cdot 10^{-15}\,\text{с} } $$ ---- ===== 3. Давление электрона на стенки сферической ямы ===== Внутри сферы радиусом $R$ с очень высоким потенциальным барьером находится электрон. Найти давление $P$, оказываемое на поверхность сферы. ---- ==== Энергия электрона в сферической потенциальной яме ==== Потенциал бесконечен при $r>R$, поэтому электрон заперт внутри сферы. Для основного состояния сферической ямы условие на волновое число: $$ kR = \pi. $$ Отсюда $$ k = \frac{\pi}{R}. $$ Энергия частицы: $$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m_e} = \frac{\hbar^2}{2m_e}\frac{\pi^2}{R^2}. $$ То есть $$ E(R) = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m_e R^2}. $$ ---- ==== Связь давления с энергией ==== Давление определяется как $$ P = -\frac{dE}{dV}, $$ где объём сферы $$ V = \frac{4}{3}\pi R^3. $$ Тогда $$ \frac{dV}{dR} = 4\pi R^2. $$ Сначала найдём производную энергии: $$ \frac{dE}{dR} = -\frac{\pi^2 \hbar^2}{m_e R^3}. $$ Следовательно, $$ P = -\frac{dE/dR}{dV/dR} = -\frac{-\pi^2 \hbar^2/(m_e R^3)}{4\pi R^2}. $$ После упрощения: $$ P = \frac{\pi \hbar^2}{4m_e R^5}. $$ ---- ==== Ответ ==== $$ \boxed{ P = \frac{\pi \hbar^2}{4m_e R^5} } $$ По порядку величины: $$ P \sim \frac{\hbar^2}{m_e R^5}. $$ ---- ===== 4. Средние значения координаты и импульса. Неопределённости ===== Дана волновая функция: $$ \psi(x,0) = A \exp\!\left(-\frac{x^2}{a^2} + i k_0 x\right). $$ Требуется найти: * средние значения координаты и импульса; * $\left\langle \Delta x^2 \right\rangle$; * $\left\langle \Delta p^2 \right\rangle$; * проверить соотношение неопределённости. ---- ==== Нормировка волновой функции ==== Условие нормировки: $$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 \, dx = 1. $$ Так как $$ |\psi|^2 = |A|^2 \exp\!\left(-\frac{2x^2}{a^2}\right), $$ то $$ |A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2/a^2}\,dx = 1. $$ Используем стандартный интеграл: $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}. $$ Здесь $$ \alpha = \frac{2}{a^2}, $$ поэтому $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2/a^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{\pi}{2}}. $$ Следовательно, $$ |A|^2 a\sqrt{\frac{\pi}{2}} = 1, $$ откуда $$ |A|^2 = \frac{1}{a}\sqrt{\frac{2}{\pi}}. $$ Можно взять $$ A = \left(\frac{2}{\pi a^2}\right)^{1/4}. $$ ---- ==== Среднее значение координаты $\langle x \rangle$ ==== По определению: $$ \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x |\psi|^2 dx. $$ Функция $|\psi|^2$ чётная, а $x$ — нечётная функция, поэтому интеграл равен нулю: $$ \boxed{ \langle x \rangle = 0 } $$ ---- ==== Среднее значение импульса $\langle p \rangle$ ==== Оператор импульса: $$ \hat p = -i\hbar \frac{d}{dx}. $$ Найдём производную: $$ \frac{d\psi}{dx} = \left(-\frac{2x}{a^2} + i k_0\right)\psi. $$ Тогда $$ \hat p \psi = -i\hbar \frac{d\psi}{dx} = \left(\frac{2i\hbar x}{a^2} + \hbar k_0\right)\psi. $$ Следовательно, $$ \langle p \rangle = \int \psi^* \hat p \psi \, dx = \hbar k_0 \int |\psi|^2 dx + \frac{2i\hbar}{a^2}\int x |\psi|^2 dx. $$ Первый интеграл равен $1$, второй равен $0$, значит $$ \boxed{ \langle p \rangle = \hbar k_0 } $$ ---- ==== Вычисление $\langle x^2 \rangle$ ==== Имеем $$ \langle x^2 \rangle = \int x^2 |\psi|^2 dx = |A|^2 \int x^2 e^{-2x^2/a^2} dx. $$ Для гауссова распределения $$ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\alpha x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha^{3/2}}. $$ Подставляя $\alpha = 2/a^2$, получаем $$ \langle x^2 \rangle = \frac{a^2}{4}. $$ Так как $\langle x \rangle = 0$, дисперсия координаты: $$ \langle \Delta x^2 \rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 = \frac{a^2}{4}. $$ Следовательно, $$ \boxed{ \langle \Delta x^2 \rangle = \frac{a^2}{4} } $$ и $$ \Delta x = \frac{a}{2}. $$ ---- ==== Вычисление $\langle p^2 \rangle$ ==== Нужно применить оператор $$ \hat p^2 = -\hbar^2 \frac{d^2}{dx^2}. $$ Мы уже знаем: $$ \frac{d\psi}{dx} = \left(-\frac{2x}{a^2} + ik_0\right)\psi. $$ Тогда $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} = \left[ -\frac{2}{a^2} + \left(-\frac{2x}{a^2} + ik_0\right)^2 \right]\psi. $$ Раскрываем квадрат: $$ \left(-\frac{2x}{a^2} + ik_0\right)^2 = \frac{4x^2}{a^4} - \frac{4ik_0x}{a^2} - k_0^2. $$ Следовательно, $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} = \left( -\frac{2}{a^2} + \frac{4x^2}{a^4} - \frac{4ik_0x}{a^2} - k_0^2 \right)\psi. $$ Тогда $$ \langle p^2 \rangle = -\hbar^2 \int \psi^* \frac{d^2\psi}{dx^2} dx. $$ После интегрирования нечётные по $x$ члены исчезают, и остаётся: $$ \langle p^2 \rangle = \hbar^2\left( k_0^2 + \frac{1}{a^2} \right). $$ Значит, $$ \boxed{ \langle p^2 \rangle = \hbar^2\left(k_0^2 + \frac{1}{a^2}\right) } $$ ---- ==== Дисперсия импульса ==== По определению: $$ \langle \Delta p^2 \rangle = \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2. $$ Так как $$ \langle p \rangle = \hbar k_0, $$ то $$ \langle p \rangle^2 = \hbar^2 k_0^2. $$ Следовательно, $$ \langle \Delta p^2 \rangle = \hbar^2\left(k_0^2 + \frac{1}{a^2}\right) - \hbar^2 k_0^2 = \frac{\hbar^2}{a^2}. $$ Итак, $$ \boxed{ \langle \Delta p^2 \rangle = \frac{\hbar^2}{a^2} } $$ и $$ \Delta p = \frac{\hbar}{a}. $$ ---- ==== Проверка соотношения неопределённости ==== Имеем: $$ \Delta x = \frac{a}{2}, \qquad \Delta p = \frac{\hbar}{a}. $$ Тогда $$ \Delta x \, \Delta p = \frac{a}{2}\cdot \frac{\hbar}{a} = \frac{\hbar}{2}. $$ Следовательно, соотношение неопределённости выполняется как равенство: $$ \boxed{ \Delta x \, \Delta p = \frac{\hbar}{2} } $$ Это означает, что данная гауссова волновая функция соответствует минимальному волновому пакету. ---- ====== Итоговые ответы ====== * 1) Ширина световой полосы: $$ \boxed{ \Delta x_{\text{экр}} \sim \frac{\ell \lambda}{d \cos^3\theta} } $$ * 2) Время расплывания пакета: $$ \boxed{ t \sim 10^{-14}\,\text{с} } $$ * 3) Давление электрона на стенку сферической ямы: $$ \boxed{ P = \frac{\pi \hbar^2}{4m_e R^5} } $$ * 4) Для волновой функции $\psi(x,0)=A e^{-x^2/a^2 + i k_0 x}$: $$ \boxed{ \langle x \rangle = 0 } $$ $$ \boxed{ \langle p \rangle = \hbar k_0 } $$ $$ \boxed{ \langle \Delta x^2 \rangle = \frac{a^2}{4} } $$ $$ \boxed{ \langle \Delta p^2 \rangle = \frac{\hbar^2}{a^2} } $$ $$ \boxed{ \Delta x \, \Delta p = \frac{\hbar}{2} } $$ ----