====== Задачи 1-4 по квантовой механике ======

===== 1. Конечная прямоугольная яма: коэффициенты отражения и прохождения при инфинитном движении =====

Потенциал:
$$
U(x)=
\begin{cases}
-U_0, & |x|<a,\\
0, & |x|>a.
\end{cases}
$$

Рассматриваем случай $E>0$.

==== Волновые функции по областям ====

Вне ямы:
$$
k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
$$

Внутри ямы:
$$
q=\frac{\sqrt{2m(E+U_0)}}{\hbar}.
$$

Тогда стационарные решения при падении волны слева имеют вид:
$$
\psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad x<-a,
$$
$$
\psi_{II}(x)=Ce^{iqx}+De^{-iqx}, \qquad |x|<a,
$$
$$
\psi_{III}(x)=Fe^{ikx}, \qquad x>a.
$$

Непрерывность $\psi$ и $\psi'$ в точках $x=\pm a$ даёт систему на коэффициенты. После её решения получаем коэффициенты отражения и прохождения.

==== Коэффициенты $R$ и $D$ ====

Плотности потока в областях I и III одинаково выражаются через волновое число $k$, поэтому
$$
R=\frac{|B|^2}{|A|^2}, \qquad D=\frac{|F|^2}{|A|^2}.
$$

В результате:
$$
\boxed{
D=\frac{1}{1+\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)}
}
$$
или
$$
\boxed{
D=\frac{1}{1+\dfrac{(k^2-q^2)^2}{4k^2q^2}\sin^2(2aq)}
}
$$
так как
$$
q^2-k^2=\frac{2mU_0}{\hbar^2}.
$$

Следовательно,
$$
\boxed{
R=1-D=
\frac{\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)}
{1+\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)}
}.
$$

При выполнении условия резонанса
$$
2aq=n\pi, \qquad n=1,2,3,\dots
$$
получаем
$$
D=1, \qquad R=0.
$$

----

===== 2. Основное состояние при $E_1=-U_0/2$ и вероятность обнаружения вне ямы =====

Потенциал тот же:
$$
U(x)=
\begin{cases}
-U_0, & |x|<a,\\
0, & |x|>a.
\end{cases}
$$

Теперь рассматриваем финитное движение, то есть $-U_0<E<0$.

По условию
$$
E_1=-\frac{U_0}{2}.
$$

==== Параметры решения ====

Внутри ямы:
$$
k=\frac{\sqrt{2m(E_1+U_0)}}{\hbar}
=\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar}.
$$

Вне ямы:
$$
\kappa=\frac{\sqrt{2m|E_1|}}{\hbar}
=\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar}.
$$

Следовательно,
$$
k=\kappa\equiv \alpha=\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar}.
$$

Основное состояние чётно, поэтому волновая функция имеет вид
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
A\cos \alpha x, & |x|<a,\\
C e^{-\alpha(|x|-a)}, & |x|>a.
\end{cases}
$$

==== Условия сшивки ====

Непрерывность $\psi$ и $\psi'$ в точке $x=a$:
$$
A\cos \alpha a=C,
$$
$$
-\alpha A\sin \alpha a=-\alpha C.
$$

Отсюда
$$
\sin \alpha a=\cos \alpha a,
$$
то есть
$$
\tan \alpha a=1.
$$

Для основного состояния:
$$
\boxed{\alpha a=\frac{\pi}{4}}.
$$

Тогда
$$
C=A\cos \frac{\pi}{4}=\frac{A}{\sqrt{2}}.
$$

==== Нормировка ====

Нормировочное условие:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx=1.
$$

Вероятность внутри ямы:
$$
P_{\text{in}}=2A^2\int_0^a \cos^2 \alpha x\,dx
=A^2\left(a+\frac{\sin 2\alpha a}{2\alpha}\right).
$$

Так как $2\alpha a=\pi/2$, то
$$
\sin 2\alpha a=1,
$$
и
$$
P_{\text{in}}=A^2\left(a+\frac{1}{2\alpha}\right).
$$

Вероятность вне ямы:
$$
P_{\text{out}}=2C^2\int_0^\infty e^{-2\alpha y}\,dy
=\frac{C^2}{\alpha}
=\frac{A^2}{2\alpha}.
$$

Полная нормировка:
$$
A^2\left(a+\frac{1}{2\alpha}\right)+\frac{A^2}{2\alpha}=1,
$$
откуда
$$
A^2=\frac{1}{a+\dfrac{1}{\alpha}}.
$$

Следовательно,
$$
\boxed{
P_{\text{out}}=\frac{1}{2(\alpha a+1)}
}.
$$

С учётом условия $\alpha a=\pi/4$:
$$
\boxed{
P_{\text{out}}=\frac{1}{2\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right)}
=\frac{2}{4+\pi}.
}
$$

Итак, искомая вероятность обнаружения частицы вне ямы равна
$$
\boxed{\frac{2}{4+\pi}}.
$$

----

===== 3. Поле с центральным барьером и бесконечными стенками: случай $E>U_0$ =====

Потенциал:
$$
U(x)=
\begin{cases}
\infty, & |x|\ge b,\\
U_0, & |x|<a,\\
0, & a<|x|<b.
\end{cases}
$$

Нужно определить волновые функции при $E>U_0$.

Потенциал симметричен, поэтому собственные функции можно выбирать чётными или нечётными.

==== Волновые числа ====

В центральной области $|x|<a$:
$$
q=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}.
$$

В боковых областях $a<|x|<b$:
$$
k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
$$

Из-за бесконечных стенок при $x=\pm b$ должно быть
$$
\psi(\pm b)=0.
$$

----

==== Чётные состояния ====

Для $x>0$ удобно писать:
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
C\cos qx, & 0\le x<a,\\
A\sin k(b-x), & a<x<b.
\end{cases}
$$

По чётности:
$$
\psi(-x)=\psi(x).
$$

Условия сшивки при $x=a$:
$$
C\cos qa=A\sin k(b-a),
$$
$$
-qC\sin qa=-kA\cos k(b-a).
$$

Деля второе уравнение на первое, получаем уравнение для уровней:
$$
\boxed{
q\tan qa=k\cot k(b-a).
}
$$

Итак, чётная волновая функция:
$$
\boxed{
\psi_{+}(x)=
\begin{cases}
C\cos qx, & |x|<a,\\
A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\
0, & |x|\ge b.
\end{cases}
}
$$

----

==== Нечётные состояния ====

Для $x>0$:
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
C\sin qx, & 0\le x<a,\\
A\sin k(b-x), & a<x<b.
\end{cases}
$$

По нечётности:
$$
\psi(-x)=-\psi(x).
$$

Условия сшивки при $x=a$:
$$
C\sin qa=A\sin k(b-a),
$$
$$
qC\cos qa=-kA\cos k(b-a).
$$

Отсюда:
$$
\boxed{
q\cot qa=-k\cot k(b-a).
}
$$

Следовательно,
$$
\boxed{
\psi_{-}(x)=
\begin{cases}
C\sin qx, & |x|<a,\\
\operatorname{sgn}(x)\,A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\
0, & |x|\ge b.
\end{cases}
}
$$

Это и есть искомые волновые функции при $E>U_0$.

----

===== 4. Та же задача при $E<U_0$. Приближённые уровни при $E\ll U_0$ =====

Теперь в центральной области $|x|<a$ энергия меньше высоты барьера, поэтому решение там экспоненциальное.

==== Параметры ====

В боковых областях $a<|x|<b$:
$$
k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
$$

В центральной области $|x|<a$:
$$
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}.
$$

----

==== Чётные состояния ====

Для $x>0$:
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
C\cosh \kappa x, & 0\le x<a,\\
A\sin k(b-x), & a<x<b.
\end{cases}
$$

По чётности:
$$
\psi(-x)=\psi(x).
$$

Условия сшивки при $x=a$:
$$
C\cosh \kappa a=A\sin k(b-a),
$$
$$
\kappa C\sinh \kappa a=-kA\cos k(b-a).
$$

Отсюда:
$$
\boxed{
\kappa\tanh \kappa a=-k\cot k(b-a).
}
$$

Следовательно,
$$
\boxed{
\psi_{+}(x)=
\begin{cases}
C\cosh \kappa x, & |x|<a,\\
A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\
0, & |x|\ge b.
\end{cases}
}
$$

----

==== Нечётные состояния ====

Для $x>0$:
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
C\sinh \kappa x, & 0\le x<a,\\
A\sin k(b-x), & a<x<b.
\end{cases}
$$

По нечётности:
$$
\psi(-x)=-\psi(x).
$$

Условия сшивки:
$$
C\sinh \kappa a=A\sin k(b-a),
$$
$$
\kappa C\cosh \kappa a=-kA\cos k(b-a).
$$

Отсюда:
$$
\boxed{
\kappa\coth \kappa a=-k\cot k(b-a).
}
$$

Следовательно,
$$
\boxed{
\psi_{-}(x)=
\begin{cases}
C\sinh \kappa x, & |x|<a,\\
\operatorname{sgn}(x)\,A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\
0, & |x|\ge b.
\end{cases}
}
$$

----

==== Приближённые уровни при $E\ll U_0$ ====

Если $E\ll U_0$, то
$$
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}
$$
велико, и центральный барьер почти непроницаем.

Тогда связь между левой и правой частями слаба, и каждая боковая область фактически ведёт себя как отдельная бесконечная яма ширины
$$
l=b-a.
$$

В этом пределе на границе $x=\pm a$ волновая функция почти равна нулю, поэтому получаем приближённое условие
$$
\sin k(b-a)\approx 0,
$$
то есть
$$
k(b-a)\approx n\pi, \qquad n=1,2,3,\dots
$$

Отсюда
$$
\boxed{
E_n\approx \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m(b-a)^2}, \qquad n=1,2,3,\dots
}
$$

Каждому такому уровню соответствуют почти чётное и почти нечётное состояния; их расщепление мало и экспоненциально по величине:
$$
\Delta E_n \sim e^{-2\kappa a}.
$$

То есть при $E\ll U_0$ уровни практически двукратно вырождены.

----

===== Ответы в кратком виде =====

  * **Задача 1**
$$
D=\frac{1}{1+\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)}, \qquad
R=1-D,
$$
$$
q=\frac{\sqrt{2m(E+U_0)}}{\hbar}.
$$

  * **Задача 2**
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
A\cos \alpha x, & |x|<a,\\
\dfrac{A}{\sqrt{2}}e^{-\alpha(|x|-a)}, & |x|>a,
\end{cases}
\qquad
\alpha=\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar},
$$
$$
\alpha a=\frac{\pi}{4},
\qquad
P_{\text{out}}=\frac{2}{4+\pi}.
$$

  * **Задача 3**
При $E>U_0$:
$$
q\tan qa=k\cot k(b-a) \quad \text{(чётные)},
$$
$$
q\cot qa=-k\cot k(b-a) \quad \text{(нечётные)}.
$$

  * **Задача 4**
При $E<U_0$:
$$
\kappa\tanh \kappa a=-k\cot k(b-a) \quad \text{(чётные)},
$$
$$
\kappa\coth \kappa a=-k\cot k(b-a) \quad \text{(нечётные)}.
$$
При $E\ll U_0$:
$$
E_n\approx \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m(b-a)^2}.
$$