====== Решения задач 5-8 ======

===== Задача 5 =====

Барьер задан потенциалом

$$
U(x)=
\begin{cases}
0, & x<0,\\
U_0, & x\ge 0.
\end{cases}
$$

Требуется определить волновые функции при различных значениях энергии $E$ и найти число частиц в забарьерной области при $E<U_0$. Масса частицы равна $m$, плотность потока частиц в падающем пучке равна $\rho$.

Рассматриваем стационарное уравнение Шредингера:

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x).
$$

----

==== 1. Случай $E>U_0$ ====

В области $x<0$ потенциал равен нулю, поэтому

$$
\psi_I(x)=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}, \qquad k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
$$

В области $x\ge 0$:

$$
\psi_{II}(x)=Ce^{ik_2x}, \qquad k_2=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}.
$$

Здесь оставлена только волна, идущая вправо.

Условия непрерывности при $x=0$:

$$
A+B=C,
$$

$$
ik_1(A-B)=ik_2C.
$$

Отсюда получаем

$$
\frac{B}{A}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},
$$

$$
\frac{C}{A}=\frac{2k_1}{k_1+k_2}.
$$

Следовательно, волновая функция имеет вид

$$
\psi(x)=
\begin{cases}
A\left(e^{ik_1x}+\dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}e^{-ik_1x}\right), & x<0,\\[2ex]
A\,\dfrac{2k_1}{k_1+k_2}e^{ik_2x}, & x\ge 0.
\end{cases}
$$

Коэффициенты отражения и прохождения:

$$
R=\left|\frac{B}{A}\right|^2=\left(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)^2,
$$

$$
T=\frac{k_2}{k_1}\left|\frac{C}{A}\right|^2=\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}.
$$

Нетрудно проверить, что $R+T=1$.

----

==== 2. Случай $E=U_0$ ====

В области $x<0$:

$$
\psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad k=\frac{\sqrt{2mU_0}}{\hbar}.
$$

В области $x\ge 0$ уравнение принимает вид

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''=0,
$$

поэтому

$$
\psi_{II}(x)=Cx+D.
$$

Поскольку при $x\to +\infty$ функция не должна неограниченно возрастать, берём $C=0$, то есть

$$
\psi_{II}(x)=D.
$$

Условия сшивки при $x=0$:

$$
A+B=D,
$$

$$
ik(A-B)=0.
$$

Отсюда

$$
A=B,
$$

$$
D=2A.
$$

Следовательно,

$$
\psi(x)=
\begin{cases}
A(e^{ikx}+e^{-ikx})=2A\cos kx, & x<0,\\
2A, & x\ge 0.
\end{cases}
$$

В этом случае имеет место полное отражение:

$$
R=1, \qquad T=0.
$$

----

==== 3. Случай $E<U_0$ ====

Теперь в области $x<0$:

$$
\psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
$$

В области $x\ge 0$ решение экспоненциальное. Вводим обозначение

$$
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}.
$$

Тогда

$$
\psi_{II}(x)=Ce^{-\kappa x},
$$

поскольку экспонента $e^{\kappa x}$ физически неприемлема.

Условия непрерывности при $x=0$:

$$
A+B=C,
$$

$$
ik(A-B)=-\kappa C.
$$

Отсюда

$$
\frac{B}{A}=\frac{ik+\kappa}{ik-\kappa},
$$

$$
\frac{C}{A}=\frac{2ik}{ik-\kappa}.
$$

Следовательно,

$$
\psi(x)=
\begin{cases}
A\left(e^{ikx}+\dfrac{ik+\kappa}{ik-\kappa}e^{-ikx}\right), & x<0,\\[2ex]
A\,\dfrac{2ik}{ik-\kappa}e^{-\kappa x}, & x\ge 0.
\end{cases}
$$

Так как

$$
\left|\frac{B}{A}\right|=1,
$$

получаем полное отражение:

$$
R=1.
$$

----

==== 4. Число частиц в забарьерной области при $E<U_0$ ====

Плотность потока для плоской волны $Ae^{ikx}$ равна

$$
j=\frac{\hbar k}{m}|A|^2.
$$

По условию нормировку выбираем так, чтобы поток падающего пучка имел классический вид:

$$
j_{\text{in}}=\rho v,
$$

где

$$
v=\frac{\hbar k}{m}.
$$

Следовательно,

$$
\frac{\hbar k}{m}|A|^2=\rho\frac{\hbar k}{m},
$$

откуда

$$
|A|^2=\rho.
$$

Модуль коэффициента $C$:

$$
|C|^2=|A|^2\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}=\rho\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}.
$$

Но

$$
k^2+\kappa^2=\frac{2mE}{\hbar^2}+\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}=\frac{2mU_0}{\hbar^2},
$$

поэтому

$$
|C|^2=\rho\,\frac{4E}{U_0}.
$$

Плотность вероятности в забарьерной области:

$$
|\psi_{II}(x)|^2=|C|^2e^{-2\kappa x}.
$$

Число частиц в забарьерной области на единицу площади фронта пучка равно

$$
N=\int_0^{\infty}|\psi_{II}(x)|^2\,dx=|C|^2\int_0^{\infty}e^{-2\kappa x}\,dx=\frac{|C|^2}{2\kappa}.
$$

Отсюда

$$
N=\frac{\rho}{2\kappa}\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}=\frac{2\rho k^2}{\kappa(k^2+\kappa^2)}.
$$

Или, выражая через энергию,

$$
N=\frac{2\rho E}{U_0\kappa}=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}.
$$

Итак,

$$
\boxed{N=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}}.
$$

===== Задача 6 =====

Потенциал задан так:

$$
U(x)=
\begin{cases}
\infty, & x<0,\\
\dfrac12 m\omega^2x^2, & x\ge 0.
\end{cases}
$$

Это задача о гармоническом осцилляторе на полуоси.

Из-за бесконечной стенки при $x<0$ необходимо выполнение условия

$$
\psi(0)=0.
$$

Для обычного одномерного гармонического осциллятора уровни энергии равны

$$
E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right), \qquad n=0,1,2,\dots
$$

Но условию $\psi(0)=0$ удовлетворяют только нечётные собственные функции полного осциллятора. Следовательно, допустимы только нечётные значения $n$:

$$
n=1,3,5,\dots
$$

Положим

$$
n=2s+1, \qquad s=0,1,2,\dots
$$

Тогда

$$
E_s=\hbar\omega\left(2s+1+\frac12\right)=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right).
$$

Следовательно, энергетические уровни равны

$$
\boxed{E_s=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right), \qquad s=0,1,2,\dots}
$$

Первые несколько уровней:

$$
\frac32\hbar\omega, \qquad \frac72\hbar\omega, \qquad \frac{11}{2}\hbar\omega, \dots
$$

Собственные функции на полуоси $x\ge 0$ совпадают с нечётными функциями обычного гармонического осциллятора, но должны быть перенормированы:

$$
\psi_s(x)=\sqrt{2}\,\psi^{(osc)}_{2s+1}(x), \qquad x\ge 0,
$$

а при $x<0$:

$$
\psi_s(x)=0.
$$

===== Задача 7 =====

Рассматривается периодический потенциал, образованный последовательностью прямоугольных барьеров высоты $U_0$ и ширины $b$, разделённых промежутками ширины $a$, в которых потенциал равен нулю.

Период структуры равен

$$
d=a+b.
$$

Нужно получить общие соотношения для волновых функций и энергетического спектра.

----

==== 1. Теорема Блоха ====

Для периодического потенциала собственные функции можно искать в виде функций Блоха:

$$
\psi(x+d)=e^{iKd}\psi(x),
$$

где $K$ — квазиволновое число.

Аналогично,

$$
\psi'(x+d)=e^{iKd}\psi'(x).
$$

----

==== 2. Вид волновых функций в пределах одной ячейки ====

Выберем одну элементарную ячейку:

$$
0<x<a \qquad (U=0),
$$

$$
a<x<a+b \qquad (U=U_0).
$$

=== Область I: $0<x<a$ ===

Здесь

$$
\psi_1(x)=Ae^{i\alpha x}+Be^{-i\alpha x},
$$

где

$$
\alpha=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
$$

=== Область II: $a<x<a+b$ ===

Если $E<U_0$, то решение в барьере экспоненциальное:

$$
\psi_2(x)=Ce^{\beta(x-a)}+De^{-\beta(x-a)},
$$

где

$$
\beta=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}.
$$

Если $E>U_0$, то решение в барьере волновое:

$$
\psi_2(x)=Ce^{i\gamma(x-a)}+De^{-i\gamma(x-a)},
$$

где

$$
\gamma=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}.
$$

----

==== 3. Условия сшивки ====

На границе $x=a$ должны выполняться условия непрерывности функции и её производной:

$$
\psi_1(a)=\psi_2(a),
$$

$$
\psi_1'(a)=\psi_2'(a).
$$

Кроме того, из условия Блоха на границах ячейки имеем:

$$
\psi(a+b)=e^{iKd}\psi(0),
$$

$$
\psi'(a+b)=e^{iKd}\psi'(0).
$$

Эти четыре уравнения дают систему для коэффициентов $A,B,C,D$. Нетривиальное решение существует, если определитель системы равен нулю. Это условие и определяет спектр.

----

==== 4. Дисперсионное соотношение ====

После стандартных вычислений получается уравнение Кронига--Пенни.

=== Случай $E<U_0$ ===

$$
\boxed{
\cos Kd=
\cos(\alpha a)\cosh(\beta b)
+\frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b)}
$$

или эквивалентно

$$
\boxed{
\cos Kd=
\cos(\alpha a)\cosh(\beta b)
-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b)}
$$

=== Случай $E>U_0$ ===

$$
\boxed{
\cos Kd=
\cos(\alpha a)\cos(\gamma b)
-\frac{\alpha^2+\gamma^2}{2\alpha\gamma}\sin(\alpha a)\sin(\gamma b)}
$$

----

==== 5. Разрешённые и запрещённые зоны ====

Так как $K$ должно быть действительным для распространяющихся состояний, разрешённые значения энергии определяются условием

$$
\boxed{|\cos Kd|\le 1.}
$$

Это означает, что разрешённые зоны соответствуют тем энергиям, для которых правая часть дисперсионного уравнения лежит в пределах от $-1$ до $1$.

Если же правая часть по модулю больше единицы, то $K$ становится комплексным, и такая энергия относится к запрещённой зоне.

===== Задача 8 =====

Рассматривается предельный случай предыдущей задачи:

$$
b\to 0, \qquad U_0\to \infty,
$$

причём произведение

$$
bU_0=P
$$

остаётся постоянным.

В этом пределе последовательность прямоугольных барьеров переходит в периодическую последовательность $\delta$-барьеров:

$$
U(x)=P\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-na).
$$

Это и есть упрощённая модель Кронига--Пенни.

----

==== 1. Предельный переход в дисперсионном уравнении ====

Берём формулу из задачи 7 для случая $E<U_0$:

$$
\cos K(a+b)=\cos(\alpha a)\cosh(\beta b)
+\frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b),
$$

где

$$
\alpha=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},
\qquad
\beta=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}.
$$

При предельном переходе имеем:

$$
b\to 0, \qquad \beta\to \infty, \qquad \beta b\to 0,
$$

причём

$$
\beta^2b \to \frac{2mP}{\hbar^2}.
$$

Используем разложения при малых $b$:

$$
\cosh(\beta b)\approx 1,
$$

$$
\sinh(\beta b)\approx \beta b.
$$

Кроме того, $a+b\to a$. Тогда получаем

$$
\cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a).
$$

Следовательно, дисперсионное уравнение имеет вид

$$
\boxed{
\cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a)}.
$$

Если обозначить

$$
P_0=\frac{mP}{\hbar^2},
$$

то формулу можно записать так:

$$
\cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{P_0}{\alpha}\sin(\alpha a).
$$

----

==== 2. Разрешённые зоны энергии ====

Разрешённые значения энергии определяются условием существования действительного $K$, то есть

$$
\boxed{\left|\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a)\right|\le 1.}
$$

Это и есть условие разрешённых энергетических зон.

Удобно ввести безразмерную переменную

$$
z=\alpha a=\frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar}
$$

и параметр

$$
\lambda=\frac{mPa}{\hbar^2}.
$$

Тогда условие принимает вид

$$
\boxed{\left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1.}
$$

Энергия выражается через $z$:

$$
E=\frac{\hbar^2z^2}{2ma^2}.
$$

Границы разрешённых зон определяются уравнениями

$$
\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}=\pm 1.
$$

----

==== Ответ к задаче 8 ====

Разрешённые зоны энергии задаются неравенством

$$
\boxed{\left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1,}
$$

где

$$
z=\frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar},
\qquad
\lambda=\frac{mPa}{\hbar^2}.
$$

Соответственно,

$$
E=\frac{\hbar^2z^2}{2ma^2}.
$$

===== Краткие ответы =====

  * **Задача 5:** волновые функции получаются сшивкой плоских волн слева и плоской/затухающей волны справа; при $E<U_0$ число частиц в забарьерной области

$$
N=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}.
$$

  * **Задача 6:**

$$
E_s=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right), \qquad s=0,1,2,\dots
$$

  * **Задача 7:** для прямоугольного периодического потенциала спектр задаётся уравнениями Кронига--Пенни.

  * **Задача 8:** в $\delta$-пределе разрешённые зоны определяются условием

$$
\left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1.
$$