Условие. Система состоит из $N$ частиц, каждая из которых может иметь энергию $\varepsilon_0 = 0$, $\varepsilon_1 = kT$ и $\varepsilon_2 = 2kT$. Определить число частиц $N$, если в равновесном состоянии энергия системы равна $E = 1000\,kT$.

Решение. В равновесном состоянии населённости уровней подчиняются распределению Гиббса (Больцмана). Если уровни невырождены, то $$ \frac{n_i}{n_0} = e^{-\varepsilon_i/kT}, \qquad i=1,2. $$ Таким образом, $$ n_1 = n_0 e^{-1}, \qquad n_2 = n_0 e^{-2}. $$ Полное число частиц $$ N = n_0 + n_1 + n_2 = n_0\bigl(1 + e^{-1} + e^{-2}\bigr). $$ Энергия системы $$ E = 0\cdot n_0 + kT\,n_1 + 2kT\,n_2 = kT\,n_0\bigl(e^{-1} + 2e^{-2}\bigr) = 1000\,kT. $$ Отсюда $$ n_0 = \frac{1000}{e^{-1} + 2e^{-2}}. $$ Тогда $$ N = \frac{1000\bigl(1 + e^{-1} + e^{-2}\bigr)}{e^{-1} + 2e^{-2}}. $$ Подставляя численные значения $e^{-1}\approx0{,}3679$, $e^{-2}\approx0{,}1353$, имеем $e^{-1}+2e^{-2} \approx 0{,}6385$, $1+e^{-1}+e^{-2} \approx 1{,}5032$, $$ N \approx \frac{1000 \times 1{,}5032}{0{,}6385} \approx 2354. $$ 'Ответ:' $N = 1000\,\dfrac{1+e^{-1}+e^{-2}}{e^{-1}+2e^{-2}} \approx 2{,}35\times10^3$.

—

'Условие.' Используя распределение Максвелла для кинетической энергии частиц, определить среднюю и наиболее вероятную энергию. Сравнить со значениями энергии, рассчитанными по соответствующим скоростям.

'Решение.' Распределение Максвелла по модулю скорости в трёхмерном случае: $$ f(v)\,dv = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/(2kT)}\,dv. $$ Для кинетической энергии $E = \frac{mv^2}{2}$ распределение записывается заменой переменных: $$ f(E)\,dE = \frac{2}{\sqrt{\pi}}(kT)^{-3/2} \sqrt{E}\,e^{-E/kT}\,dE. $$

*Средняя энергия:* $$ \langle E \rangle = \int_0^\infty E\,f(E)\,dE = \frac{3}{2}kT. $$ Это совпадает с величиной $\frac{m}{2}\langle v^2 \rangle$, так как $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$.

*Наиболее вероятная энергия* $E_p$ находится из условия $\frac{df}{dE}=0$: $$ \frac{d}{dE}\bigl(\sqrt{E}\,e^{-E/kT}\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\sqrt{E}}e^{-E/kT} - \frac{\sqrt{E}}{kT}e^{-E/kT}=0 \;\Longrightarrow\; E_p = \frac{kT}{2}. $$

Сравнение с характерными скоростями: * Наиболее вероятная скорость: $v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$, соответствующая кинетическая энергия $E(v_p) = \frac{m}{2}v_p^2 = kT$. Видим, что $E_p = \frac{kT}{2} \neq kT$. * Средняя скорость: $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$, энергия $E(\langle v \rangle) = \frac{4}{\pi}kT \approx 1{,}27\,kT$. * Средняя квадратичная скорость: $\sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$, энергия $E(\sqrt{\langle v^2 \rangle}) = \frac{3}{2}kT = \langle E \rangle$.

Таким образом, средняя энергия совпадает с энергией средней квадратичной скорости, а наиболее вероятная энергия меньше энергии наиболее вероятной скорости ($kT/2$ против $kT$).

'Ответ:' $\langle E \rangle = \frac{3}{2}kT$, $E_p = \frac{1}{2}kT$.

—

'Условие.' Определить среднюю потенциальную энергию молекул воздуха в поле тяготения Земли. На какой высоте от поверхности Земли потенциальная энергия молекул равна средней потенциальной энергии? Считать $t_0 = 0^\circ\mathrm{C}$.

'Решение.' Потенциальная энергия молекулы массы $m$ в однородном поле тяжести: $U(z) = mgz$ ($z=0$ на поверхности). В изотермической атмосфере концентрация меняется по барометрическому закону $$ n(z) = n_0 e^{-mgz/kT}. $$ Средняя потенциальная энергия в столбе воздуха (распределение нормировано на $\int_0^\infty n(z)\,dz$): $$ \langle U \rangle = \frac{\int_0^\infty mgz\,e^{-mgz/kT}\,dz}{\int_0^\infty e^{-mgz/kT}\,dz}. $$ Знаменатель — $kT/(mg)$, числитель — $mg \cdot (kT/(mg))^2$. Поэтому $$ \langle U \rangle = kT. $$ Высота $h$, на которой $mgh = \langle U \rangle = kT$, есть $$ h = \frac{kT}{mg}. $$ При $T = 273\,\mathrm{K}$ для воздуха ($M \approx 29\times10^{-3}\,\mathrm{кг/моль}$, $m = M/N_A$, $N_A = 6{,}02\times10^{23}\,\mathrm{моль^{-1}}$): $$ mg = \frac{Mg}{N_A} \approx \frac{29\times10^{-3}\cdot 9{,}81}{6{,}02\times10^{23}} \approx 4{,}72\times10^{-25}\,\mathrm{Н}. $$ $$ h = \frac{1{,}38\times10^{-23}\,\mathrm{Дж/К}\cdot 273\,\mathrm{К}}{4{,}72\times10^{-25}\,\mathrm{Н}} \approx 7{,}99\times10^3\,\mathrm{м} \approx 8{,}0\,\mathrm{км}. $$

'Ответ:' $\langle U \rangle = kT \approx 3{,}77\times10^{-21}\,\mathrm{Дж}$; высота $h = \frac{kT}{mg} \approx 8{,}0\,\mathrm{км}$.

—

'Условие.' В сосуде, содержащем идеальный газ, проделано небольшое круглое отверстие сечением $S$. Найти число частиц, попадающих на круглый диск радиусом $R$, расположенный на расстоянии $h$ от щели. Плоскость диска параллельна плоскости сечения. Центры отверстия и диска лежат на прямой, перпендикулярной плоскости сечения. Указание: молекулы газа подчиняются максвелловскому распределению по скоростям.

'Решение.' Из отверстия площадью $S$ в тонкой стенке происходит эффузия. Полное число частиц, покидающих сосуд в единицу времени (поток): $$ \Phi = \frac{1}{4} n \langle v \rangle S, $$ где $n$ — концентрация, $\langle v \rangle = \sqrt{8kT/(\pi m)}$.

Угловое распределение вылетающих частиц подчиняется закону Ламберта: вероятность вылета в телесный угол $d\Omega$ под углом $\theta$ к нормали равна $$ dP = \frac{\cos\theta}{\pi}\,d\Omega. $$ Здесь $\theta$ — угол между направлением вылета и нормалью.

Диск радиуса $R$ виден из центра отверстия под телесным углом, соответствующим предельному углу $\theta_{\max}$, где $\sin\theta_{\max} = \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}$. Число частиц, попадающих на диск в единицу времени: $$ \Phi_{\text{диск}} = \Phi \cdot \int_{\text{диск}} \frac{\cos\theta}{\pi}\,d\Omega. $$ В сферических координатах $d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi$, $\cos\theta$ остаётся. Интеграл по азимуту даёт $2\pi$, по углу $\theta$ от $0$ до $\theta_{\max}$: $$ \int_0^{\theta_{\max}} \frac{\cos\theta}{\pi} \cdot 2\pi\sin\theta\,d\theta = 2\int_0^{\theta_{\max}} \sin\theta\cos\theta\,d\theta = \sin^2\theta_{\max}. $$ Таким образом, $$ \sin^2\theta_{\max} = \frac{R^2}{R^2+h^2}. $$ Искомое число частиц: $$ \Phi_{\text{диск}} = \frac{1}{4} n \langle v \rangle S \cdot \frac{R^2}{R^2+h^2}. $$

'Ответ:' $\displaystyle \Phi_{\text{диск}} = \frac{n S}{4} \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\; \frac{R^2}{R^2+h^2}$.

—

'Условие.' Определить, при какой ширине потенциального ящика $a$ дискретность энергии становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре $T$.

'Решение.' Для частицы массы $m$ в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме ширины $a$ стационарные уровни энергии: $$ E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2ma^2}, \qquad n = 1,2,3,\dots $$ Дискретность (характерное расстояние между соседними уровнями) определяется разностью энергий, например, $$ \Delta E = E_2 - E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}(4 - 1) = \frac{3\pi^2\hbar^2}{2ma^2}. $$ Квантовые эффекты становятся существенны, когда $\Delta E$ сравнима с энергией теплового движения $kT$. Приравнивая: $$ \frac{3\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \sim kT, $$ получаем $$ a \sim \sqrt{\frac{3\pi^2\hbar^2}{2mkT}}. $$ Вводя тепловую длину волны де Бройля $\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi m kT}}$ ($h = 2\pi\hbar$), получаем оценку $$ a \sim \sqrt{\frac{3\pi}{4}}\,\lambda_T \approx 1{,}5\,\lambda_T. $$

'Ответ:' $\displaystyle a \sim \pi\hbar\sqrt{\frac{3}{2mkT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{4}}\,\lambda_T$.