6.22. Найти коэффициент взаимной индукции двух катушек трансформатора
с Ш–образным сердечником, если зазор $d\ll a$ (см. рисунок). Справедливо ли равенство $M_{12}=M_{21}$.
Для решения этой задачи можно воспользоваться аналогией между электрическими цепями и магнитными цепями. Выключим ток во второй катушке и рассмотрим эквивалентную схему:
Расставим токи (как и при решении задач об обычных токах) и выберем для них направления. В соответствие с законами Кирхгофа для показанной цепи
\[
\left\{ \begin{array}{l}
U = 3R\Phi _1 + R\Phi _2 \\
0 = 3R\Phi _3 + r \Phi _3 - R\Phi _2 \\
0 = - \Phi _1 + \Phi _2 + \Phi _3 \\
\end{array} \right.
\]
Решая эту систему уравнений, получим для потока через катушку 2
\[
\Phi _3 = \frac{U}{{15R + 4r }} = \frac{{\frac{{4\pi }}{c}N_1 I_1 }}{{15R + 4r }},
\]
а потокосцепление через эту катушку
\[
N_2 \Phi _3 = \frac{{L_{22} I_2 + L_{21} I_1 }}{c}
\]
при разомкнутой второй катушке ток через нее не течет \(I_2 = 0\) и, следовательно
\[
\frac{{L_{21} I_1 }}{c} = N_2 \Phi _3 = \frac{{\frac{{4\pi }}{c}N_1 N_2 I_1 }}{{15R + 4r }},
\]
\[
L_{21} = \frac{{4\pi N_1 N_2 }}{{15R + 4r }}.
\]
Аналогично, установив источник в цепи справа, т.е. разомкнув катушку 1 и пропустив ток \(I_2\) по второй катушке, получим для потоков выражения
\[
\Phi _2 = - \frac{{3\frac{{4\pi }}{c}N_2 I_2 }}{{15R + 4r}}
\]
\[
\Phi _1 = \Phi _2 + \Phi _3 = \frac{{\frac{{4\pi }}{c}N_2 I_2 }}{{15R + 4r }}\left( {4 - 3} \right)
\]
\[
N_1 \Phi _1 = L_{11} I_1 + L_{12} I_2,
\]
но при \(I_1=0\)
\[
\frac{{L_{12} I_2 }}{c} = \frac{{\frac{{4\pi }}{c}N_1 N_2 I_2 }}{{15R + 4r }} = \frac{{4\pi N_1 N_2 }}{{15R + 4r }},
\]
откуда получаем
\[
L_{12} = L_{21}.
\]