$\Delta\varphi=-4\pi\rho$ — уравнение для потенциала с источниками (зарядами) — уравнение Пуассона и $\Delta\varphi=0$ — уравнение без источников — уравнение Лапласа

\[ \Delta\varphi=\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}\left( R\frac{\partial\varphi}{\partial R}\right)+\frac{1}{R^2}\frac{\partial ^2\varphi}{\partial \alpha^2}+\frac{\partial ^2\varphi}{\partial z^2}=-4\pi\rho. \]

\[ \Delta\varphi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial ^2\varphi}{\partial \alpha^2}=-4\pi\rho. \]

на границе раздела сред 1 – 2 ($n$ – нормаль из среды 1 в 2). \begin{equation} \varphi_1=\varphi_2\,,\,\, \frac{\partial \varphi_1}{\partial n}-\frac{\partial \varphi_2}{\partial n}=4\pi \sigma. \end{equation}

для точечного заряда \begin{equation} \Delta \varphi_{\text{точ}}=-4\pi q \delta(\vec{r})\,,\,\,\varphi_{\text{точ}}=\frac{q}{r}+C. \end{equation}

Общее решение уравнения Пуассона для распределенной системы зарядов

\begin{equation}\ \varphi(\vec{r})= \int\limits_{V}\frac{\rho(\vec{r'})\,dV'}{|\vec{r}-\vec{r'}|} +\int\limits_{S}\frac{\sigma(\vec{r'})\,dS'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}+ \int\limits_{L}\frac{\varkappa(\vec{r'})\,d\ell'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}. \end{equation}