Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 10. Электромагнитные волны

Скорость распространения электромагнитных волн в некоторой среде составляет $v=250$ Мм/с. Определите длину волны электромагнитных волн в этой среде, если их частота в вакууме $\nu_0=1$ МГц.

Частота волны при переходе в среду не меняется: $\nu=\nu_0$. Длина волны в среде: $$\lambda=vT=\frac{v}{\nu}=\frac{v}{\nu_0}.$$

$\lambda=250$ м.

Электромагнитная волна с частотой $\nu=5$ МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$ в вакуум. Определите приращение её длины волны.

Длина волны в вакууме и в среде: $$\lambda_0=\frac{c}{\nu},\qquad \lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{c}{n\nu}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}\,\nu}.$$ Приращение длины волны: $$\Delta\lambda=\lambda_0-\lambda=\frac{c}{\nu}\left(1-\frac1{\sqrt{\varepsilon\mu}}\right).$$

$\Delta\lambda=17{,}6$ м.

Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отражённый сигнал от которой дошёл до него за $t=36$ мкс. Учитывая, что диэлектрическая проницаемость воды $\varepsilon=81$, определите расстояние от локатора до подводной лодки.

Сигнал проходит путь туда и обратно: $2s=vt$, где скорость волны в воде $v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$. Отсюда $$s=\frac{ct}{2\sqrt{\varepsilon\mu}}.$$

$s=600$ м.

Определите длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конденсатора $Q_m=50$ нКл, а максимальная сила тока в контуре $I_m=1{,}5$ А. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Заряд и ток в контуре: $Q=Q_m\cos\omega t$, $I=\dfrac{dQ}{dt}=-\omega Q_m\sin\omega t$, откуда амплитуда тока $I_m=\omega Q_m$, $\omega=2\pi\nu$. Тогда $$\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{2\pi c}{\omega}=\frac{2\pi cQ_m}{I_m}.$$

$\lambda=62{,}8$ м.

Длина $\lambda$ электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определите максимальный заряд $Q_m$ на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в контуре $I_m=1$ А.

Из $\lambda=cT$ и формулы Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$, а также из равенства энергий $\dfrac{Q_m^2}{2C}=\dfrac{LI_m^2}{2}$ находим $LC=\dfrac{Q_m^2}{I_m^2}$, так что $$T=2\pi\frac{Q_m}{I_m},\qquad \lambda=c\cdot2\pi\frac{Q_m}{I_m}\ \Longrightarrow\ Q_m=\frac{\lambda I_m}{2\pi c}.$$

$Q_m=6{,}37$ нКл.

Два тонких изолированных стержня погружены в трансформаторное масло и индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний. При частоте колебаний $\nu=505$ МГц в системе возникают стоячие волны, расстояние между соседними пучностями которых равно $l=20$ см. Принимая магнитную проницаемость масла равной единице, определите его диэлектрическую проницаемость.

Расстояние между соседними пучностями равно половине длины волны: $l=\lambda/2$, а $\lambda=v/\nu$, где $v=\dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$. Отсюда $$l=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}\cdot2\nu}\ \Longrightarrow\ \varepsilon=\frac{c^2}{4l^2\nu^2}\quad(\mu=1).$$

$\varepsilon=2{,}2$.

В вакууме вдоль оси $x$ распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряжённости электрического поля волны $E_0=10$ В/м. Определите амплитуду напряжённости магнитного поля волны.

Для плоской волны выполняется соотношение $\sqrt{\varepsilon_0\varepsilon}E=\sqrt{\mu_0\mu}H$, где $E=E_0\cos(\omega t-kx)$, $H=H_0\cos(\omega t-kx)$. В вакууме $\varepsilon=\mu=1$, поэтому $\sqrt{\varepsilon_0}E_0=\sqrt{\mu_0}H_0$, откуда $$H_0=\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}\cdot E_0.$$

$H_0=26{,}5$ мА/м.

Рассмотрите суперпозицию двух плоских монохроматических электромагнитных волн с одинаковыми амплитудами $E_0$ и $H_0$, распространяющихся вдоль оси $x$ в противоположных направлениях. Начальную фазу прямой и обратной волн примите равной нулю. Определите координаты пучностей и узлов для: 1) электрического вектора $E$; 2) магнитного вектора $H$ стоячей волны.

1) Прямая волна $E_1=E_0\cos(\omega t-kx)$, отражённая $E_2=E_0\cos(\omega t+kx)$ (без изменения фазы). Сумма: $$E=E_1+E_2=E_0\bigl[\cos(\omega t-kx)+\cos(\omega t+kx)\bigr]=2E_0\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\cos\omega t.$$ Пучности (максимум амплитуды) там, где $\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}=\pm1$, узлы — где $\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}=0$: $$x_{\text п}=\pm m\frac{\lambda}2,\qquad x_{\text у}=\pm\left(m+\frac12\right)\frac{\lambda}2,\qquad m=0,1,2,\dots$$

2) Прямая волна $H_1=H_0\cos(\omega t-kx)$, отражённая волна магнитного поля испытывает при отражении дополнительный сдвиг фазы на $\pi$: $H_2=H_0\cos(\omega t+kx+\pi)$. Сумма: $$H=H_1+H_2=H_0\bigl[\cos(\omega t-kx)-\cos(\omega t+kx)\bigr]=2H_0\sin\frac{2\pi x}{\lambda}\sin\omega t.$$ Здесь пучности и узлы меняются местами: $$x_{\text п}=\pm\left(m+\frac12\right)\frac{\lambda}2,\qquad x_{\text у}=\pm m\frac{\lambda}2,\qquad m=0,1,2,\dots$$

Пучности вектора $E$ совпадают с узлами вектора $H$, и наоборот: $x_{\text п}^E=x_{\text у}^H=\pm m\lambda/2$, $x_{\text у}^E=x_{\text п}^H=\pm(m+\tfrac12)\lambda/2$.

В вакууме вдоль оси $x$ распространяется плоская электромагнитная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью её поглощающего. Амплитуда напряжённости магнитного поля волны равна $H_0=0{,}15$ А/м. Определите давление, оказываемое волной на тело. Воспользуйтесь результатом теории Максвелла: при полном поглощении давление равно среднему значению объёмной плотности энергии падающей волны.

Из $\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}E=\sqrt{\mu\mu_0}H$ и $E=E_0\cos(\omega t-kx)$, $H=H_0\cos(\omega t-kx)$ плотности энергии электрического и магнитного полей равны: $$w_{\text э}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon E^2}2,\qquad w_{\text м}=\frac{\mu_0\mu H^2}2,\qquad w_{\text э}=w_{\text м}.$$ Полная плотность энергии $w=w_{\text э}+w_{\text м}=2w_{\text м}=\mu_0\mu H_0^2\cos^2(\omega t-kx)$. Усредняя по времени ($\langle\cos^2\rangle=1/2$): $$p=\langle w\rangle=\frac{\mu_0\mu H_0^2}2.$$

$p=14{,}1$ нПа.

В вакууме вдоль оси $x$ распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряжённости электрического поля волны составляет $E_0=50$ мВ/м. Определите интенсивность волны $I$, т.е. среднюю энергию, проходящую через единицу поверхности в единицу времени.

Плотность потока энергии (модуль вектора Пойнтинга) $S=EH=E_0H_0\cos^2(\omega t-kx)$, так что $$I=\langle S\rangle=\frac12E_0H_0,\qquad \langle\cos^2(\omega t-kx)\rangle=\frac12.$$ Из соотношения $\sqrt{\varepsilon_0\varepsilon}E_0=\sqrt{\mu_0\mu}H_0$ находим $H_0=\sqrt{\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon}{\mu_0\mu}}\cdot E_0$, и в вакууме ($\varepsilon=\mu=1$): $$I=\langle S\rangle=\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}\cdot E_0^2.$$

$I=3{,}32$ мкВт/м².