Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 7. Электромагнитная индукция

Проводящий стержень движется без трения по двум параллельным проводящим рельсам в однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно плоскости рисунка (от читателя). Длина стержня равна $l$, его масса $m$, в начальный момент времени скорость стержня была направлена вправо и имела величину $v_0$. Найти зависимость скорости стержня от времени. Сопротивление образовавшейся цепи равно $R$.

По закону Ампера сила, действующая на стержень: $$F=m\frac{dv}{dt}=-IBl.\qquad(1)$$ По законам Ома и Фарадея: $$I=\frac{|\mathcal E|}{R}=\frac{d\Phi/dt}{R}=\frac{Bl\,dx/dt}{R}=\frac{Bl}{R}v.\qquad(2)$$ Подставляя (2) в (1): $$m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2l^2}{R}v.$$ Разделяя переменные и интегрируя: $$\int_{v_0}^v\frac{dv}v=-\frac{B^2l^2}{mR}\int_0^t dt.$$

$v=v_0\,e^{-\frac{B^2l^2}{mR}t}$.

Горизонтальный проводящий стержень массой $m$ и длиной $l$ скользит без трения по двум вертикальным проводящим стержням, соединённым внизу конденсатором ёмкости $C$. Имеется однородное магнитное поле $\vec B$, направленное перпендикулярно плоскости падения стержня. Найти ускорение стержня. Электрическим сопротивлением образованной цепи пренебречь.

Магнитный поток сквозь контур меняется из-за изменения площади: $\Phi=lBy$ (начало координат — на уровне конденсатора), поэтому ЭДС индукции $$\mathcal E=-\frac{d\Phi}{dt}=-lB\frac{dy}{dt}.$$ Падение напряжения на конденсаторе равно ЭДС, значит заряд на нём $Q=C\mathcal E=-ClB\dfrac{dy}{dt}$, а ток в цепи — производная заряда по времени: $$I=-ClB\frac{d^2y}{dt^2}.$$ На стержень действуют сила тяжести (вниз) и сила Ампера (вверх): $$ma=-mg+IBl=-mg+CB^2l^2a,$$ откуда $$a=\frac{g}{1+\dfrac{CB^2l^2}{m}}.$$

$a=\dfrac{g}{1+CB^2l^2/m}$ (направлено вниз).

Квадратная рамка со стороной $a$ и длинный прямой провод с током $I$ находятся в одной плоскости, как показано на рисунке. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью $v$. Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстояния $x$ (от провода до ближней стороны рамки).

Поток через рамку от поля провода: $$d\Phi=B\,ds=\frac{\mu_0I}{2\pi r}a\,dr,\qquad \Phi=\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\int_x^{x+a}\frac{dr}r=\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\ln\frac{x+a}x.$$ По закону Фарадея: $$\mathcal E=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d\Phi}{dx}\frac{dx}{dt}=-\mu_0\frac{Ia}{2\pi}\cdot\frac{x-(x+a)}{x(x+a)}\,v=\frac{\mu_0Ia^2}{2\pi x(x+a)}\,v.$$

$\mathcal E=\dfrac{\mu_0Ia^2v}{2\pi x(x+a)}$.

Вычислить внутреннюю часть самоиндукции единицы длины прямолинейного провода круглого сечения радиуса $a$. Магнитная проницаемость провода равна $\mu$.

По теореме о циркуляции $\vec H$: $\displaystyle\oint H_l\,dl=\int \vec j\,d\vec s$. Циркуляция $\oint H_l\,dl=2\pi rH$, ток через поверхность радиусом $r\le a$ равен $J\,r^2/a^2$ (при равномерном распределении тока $J$ по сечению). Отсюда $$H=\frac{Jr}{2\pi a^2}\quad\text{при } r\le a.$$ Энергия магнитного поля, запасённая внутри единицы длины провода (интегрируя $H^2$ по сечению, $\displaystyle\int_0^aH^2\cdot2\pi r\,dr=\frac{J^2}{8\pi}$): $$W=\frac1{8\pi}\int(\vec B\vec H)\,dv=\frac{\mu\mu_0}{8\pi}\int H^2\,dv=\frac{\mu\mu_0J^2}{64\pi^2}.$$ Сравнивая с $W=LJ^2/2$, получаем внутреннюю индуктивность на единицу длины: $$L'=\frac{\mu\mu_0}{32\pi^2}.$$

$L'=\dfrac{\mu\mu_0}{32\pi^2}$ (на единицу длины провода).

Примечание: в исходных решениях семинара энергия поля считалась по формуле $w=BH/(8\pi)$ (гауссова форма) при этом с подстановкой $B=\mu\mu_0H$ (СИ) — смешение систем единиц, из-за которого в источнике ответ ошибочно получался $L=\mu\mu_0a^2/2$ (зависящим от $a$ и с неверной размерностью). Здесь пересчитано аккуратно: подстановка $H®$ и интегрирование по сечению провода дают интеграл $\int H^2dv=J^2/(8\pi)$, не зависящий от $a$, как и должно быть для внутренней индуктивности провода.

Найти индуктивность соленоида в системе СИ, пренебрегая краевыми эффектами. $l$ — длина соленоида, $N$ — общее число витков, $S$ — площадь одного витка.

Индукция поля внутри соленоида $B=\dfrac{IN\mu\mu_0}{l}$. Магнитный поток через один виток — $BS$, через $N$ витков — $BSN$: $$\Phi=\frac{\mu\mu_0IN^2S}{l}.$$

$L=\Phi/I=\dfrac{\mu\mu_0N^2S}{l}$.

В однородном магнитном поле с индукцией $B=0{,}1$ Тл равномерно вращается рамка, содержащая $N=1000$ витков, с частотой $\nu=10$ с$^{-1}$. Площадь рамки $S=150$ см². Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки $30^\circ$.

Мгновенное значение ЭДС индукции: $\mathcal E=-N\dfrac{d\Phi}{dt}$. При вращении рамки поток меняется как $\Phi=NBS\cos\omega t$ (при $t=0$ плоскость рамки перпендикулярна полю, поток максимален), откуда $$\mathcal E=NBS\omega\sin\omega t=2\pi\nu NBS\sin(2\pi\nu t).$$ При угле поворота $\varphi=\omega t=30^\circ$ ($\sin30^\circ=0{,}5$), $\omega=2\pi\nu\approx62{,}8$ с$^{-1}$: $$\mathcal E=NBS\omega\sin30^\circ=1000\cdot0{,}1\cdot0{,}015\cdot62{,}8\cdot0{,}5\approx47{,}1\text{ В}.$$

$\mathcal E\approx47{,}1$ В.

Определить индуктивность $L$ двухпроводной линии на участке длиной $l=1$ км. Радиус $R$ провода равен 1 мм, расстояние $d$ между осевыми линиями равно 0,4 м. Указание. Учесть только внутренний магнитный поток, т.е. поток, пронизывающий контур, ограниченный проводами (внутренней индуктивностью самих проводов, см. задачу 4, пренебречь).

Поток, создаваемый одним из проводов через контур шириной от $R$ до $d-R$: $$\Phi_1=\int_R^{d-R}\frac{\mu\mu_0J}{2\pi r}\,l\,dr=\frac{\mu\mu_0Jl}{2\pi}\ln\frac{d-R}R.$$ Полный поток (складываются вклады от обоих проводов, создающих поле одного знака в контуре): $$\Phi=\frac{\mu\mu_0Jl}\pi\ln\frac{d-R}R.$$ Индуктивность: $$L=\frac\Phi J=\frac{\mu\mu_0l}\pi\ln\frac{d-R}R\approx\frac{\mu\mu_0l}\pi\ln\frac dR\quad(R\ll d).$$ Численно (провода немагнитные, $\mu\approx1$): $L\approx\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1000}\pi\ln\dfrac{0{,}4}{0{,}001}=4\cdot10^{-4}\ln400\approx4\cdot10^{-4}\cdot5{,}99\approx2{,}4\cdot10^{-3}$ Гн.

$L=\dfrac{\mu\mu_0l}\pi\ln\dfrac{d-R}R\approx2{,}4$ мГн (при $\mu=1$).

Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек с радиусами $a,b$ ($a<b$). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью $\mu$. Найти коэффициент самоиндукции на единицу длины линии.

По теореме о циркуляции: $H=0$ при $r\le a$; $H=\dfrac{J}{2\pi r}$ при $a<r<b$; $H=0$ при $r>b$; $B=\mu\mu_0H$. Энергия в зазоре между цилиндрами на единицу длины: $$W=\int\frac{(\vec B\vec H)}{8\pi}\,dV=\frac{2\pi}{8\pi}\mu\mu_0\int_a^b r\,dr\,\frac{J^2}{(2\pi)^2r^2}=\mu\mu_0\frac{J^2}{16\pi^2}\int_a^b\frac{dr}r=\mu\mu_0\frac{J^2}{16\pi^2}\ln\frac ba.$$ С другой стороны $W=LJ^2/2$, откуда $$L=\frac{\mu\mu_0}{8\pi^2}\ln\frac ba.$$

$L=\dfrac{\mu\mu_0}{8\pi^2}\ln\dfrac ba$ (на единицу длины).

В однородном магнитном поле с индукцией $B=0{,}02$ Тл равномерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стержень длиной $l=0{,}5$ м. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. Определите число оборотов в секунду, при котором на концах стержня возникает разность потенциалов $U=0{,}1$ В.

ЭДС индукции $\mathcal E=-d\Phi/dt$, поток через сектор, заметаемый стержнем, $\Phi=BS$ (при $\alpha=0$). За время $dt$ стержень поворачивается на угол $d\varphi=\omega\,dt$, заметая площадь $dS=\dfrac{l^2}2\,d\varphi=\dfrac{l^2}2\omega\,dt$. Тогда $$|\mathcal E|=B\frac{dS}{dt}=B\frac{l^2}2\omega=U.$$ Отсюда $\omega=2\pi n=\dfrac{2U}{Bl^2}$, то есть $$n=\frac{U}{\pi Bl^2}.$$ Численно: $n=\dfrac{0{,}1}{\pi\cdot0{,}02\cdot0{,}25}\approx6{,}37$ с$^{-1}$.

$n=\dfrac{U}{\pi Bl^2}\approx6{,}37$ об/с.