Расстояние между обкладками конденсатора изменяется по гармоническому закону $d=d_0+D\cos\omega t$, $d_0\gg D$. Конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения $\mathcal E$. Площадь пластин конденсатора $S$. Пренебрегая омическим сопротивлением цепи, определите силу тока, текущего в ней.
Ёмкость конденсатора меняется по закону $$C=\frac{\varepsilon_0S}{d_0+D\cos\omega t}.$$ Заряд на конденсаторе (напряжение поддерживается постоянным, $\mathcal E=\text{const}$): $$q=C\mathcal E=\frac{\varepsilon_0S\mathcal E}{d_0+D\cos\omega t}.$$ Ток: $$I=\frac{dq}{dt}=\frac{\varepsilon_0S\mathcal E\omega}{(d_0+D\cos\omega t)^2}\sin\omega t.$$ При $d_0\gg D$ знаменатель можно заменить на $d_0^2$: $$I\approx\frac{\varepsilon_0S\mathcal E\omega}{d_0^2}\sin\omega t.$$
$I=\dfrac{\varepsilon_0S\mathcal E\omega}{d_0^2}\sin\omega t$.
Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкости $C$, катушки индуктивности $L$ с пренебрежимо малым сопротивлением и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения $U_m$ и в момент $t=0$ замкнули ключ. Найти: а) ток в контуре как функцию времени $I(t)$; б) ЭДС самоиндукции в катушке в моменты, когда энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки.
Процессы в контуре описываются дифференциальным уравнением $$L\frac{dI}{dt}+\frac qC=0\ \Longrightarrow\ L\ddot q+\frac qC=0,$$ с начальными условиями $q(0)=CU_m$, $I(0)=0$. Решение: $$q(t)=CU_m\cos(\omega t),\qquad \omega=\frac1{\sqrt{LC}}.$$ Отсюда ток $$I=\dot q=-CU_m\omega\sin(\omega t)=-U_m\sqrt{\frac CL}\sin(\omega t)$$ (знак зависит от выбора направления обхода контура; по модулю $I=U_m\sqrt{C/L}\,|\sin\omega t|$).
б) Энергии равны, когда $\dfrac{LI^2}2=\dfrac{CU_m^2}2\sin^2(\omega t)=\dfrac{CU_m^2}2\cos^2(\omega t)$, то есть при $\sin^2(\omega t)=\cos^2(\omega t)$, откуда $\omega t=\pi/4$. ЭДС самоиндукции по закону Фарадея: $$\mathcal E_{si}=-L\frac{dI}{dt}=U_m\cos(\omega t)=\frac{U_m}{\sqrt2}.$$
а) $I(t)=U_m\sqrt{C/L}\,\sin(\omega t)$, $\omega=1/\sqrt{LC}$; б) $\mathcal E_{si}=U_m/\sqrt2$ в моменты равенства энергий.
Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкости $C=4{,}0$ мкФ и катушки с индуктивностью $L=2{,}0$ мГн и активным сопротивлением $R=10$ Ом. Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.
Энергии полей: $W_m=\dfrac{LI^2}2$, $W_e=\dfrac{CU^2}2$. Амплитуды тока и напряжения в цепи переменного тока связаны законом Ома: $$U_0=I_0\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)^2},$$ а сдвиг фаз между током и напряжением — соотношением $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\omega L-1/(\omega C)}{R}$.
Мгновенный ток $I=I_0\sin\omega t$, напряжение $U=U_0\sin(\omega t+\varphi)$. Когда ток максимален ($\omega t=\pi/2$), напряжение равно $$U=-U_0\cos\varphi=-U_0\frac1{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\varphi}}=-U_0\frac{R}{\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C))^2}}=-I_0R.$$ Тогда $$\frac{W_m}{W_e}=\frac{LI_0^2}{CU^2}=\frac{LI_0^2}{C(I_0R)^2}=\frac{L}{CR^2}.$$
$\dfrac{W_m}{W_e}=\dfrac{L}{CR^2}=\dfrac{2{,}0\cdot10^{-3}}{4{,}0\cdot10^{-6}\cdot10^2}=5$.
В контуре с ёмкостью $C$ и индуктивностью $L$ происходят свободные затухающие колебания, ток при которых меняется по закону $I=I_me^{-\beta t}\sin\omega t$. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и, в частности, в момент $t=0$.
Коэффициент затухания связан с сопротивлением контура как $\beta=\dfrac{R}{2L}$, откуда $R=2\beta L$. Сумма падений напряжения в контуре (закон Фарадея для самоиндукции): $$-L\frac{dI}{dt}=U_C(t)+IR\ \Longrightarrow\ U_C(t)=-L\frac{dI}{dt}-2\beta L I.$$ Подставляя $I=I_me^{-\beta t}\sin\omega t$ и его производную $\dfrac{dI}{dt}=I_me^{-\beta t}(\omega\cos\omega t-\beta\sin\omega t)$: $$U_C(t)=-LI_me^{-\beta t}(\omega\cos\omega t-\beta\sin\omega t)-2\beta LI_me^{-\beta t}\sin\omega t=-I_mLe^{-\beta t}\bigl(\omega\cos\omega t+\beta\sin\omega t\bigr).$$ В момент $t=0$: $\cos0=1$, $\sin0=0$, поэтому $$U_C(0)=-I_mL\omega.$$
$U_C(t)=-I_mLe^{-\beta t}(\omega\cos\omega t+\beta\sin\omega t)$; $U_C(0)=-I_mL\omega$.
Колебательный контур имеет ёмкость $C=10$ мкФ, индуктивность $L=25$ мГн и активное сопротивление $R=1{,}0$ Ом. Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в $e$ раз?
Амплитуда тока убывает как $e^{-\beta t}$ с $\beta=R/(2L)$, поэтому время уменьшения в $e$ раз — это время релаксации $\tau=1/\beta=2L/R$. Период затухающих колебаний $$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{\dfrac1{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}}}.$$ Число колебаний $N=\tau/T$: $$N=\frac{2L}{R}\cdot\frac1{2\pi}\sqrt{\frac1{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{4L}{R^2C}-1}.$$
$N=\dfrac1{2\pi}\sqrt{\dfrac{4L}{R^2C}-1}\approx\dfrac1{2\pi}\sqrt{\dfrac{4\cdot0{,}025}{1^2\cdot10^{-5}}-1}\approx16$.
На сколько процентов отличается частота $\omega$ свободных колебаний контура с добротностью $Q=5{,}0$ от собственной частоты $\omega_0$ этого контура?
Добротность связана с коэффициентом затухания как $Q=\dfrac{\omega_0}{2\beta}$, откуда $\beta=\dfrac{\omega_0}{2Q}$. Частота затухающих колебаний: $$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\ \Longrightarrow\ \frac{\omega_0}{\omega}=\frac1{\sqrt{1-\beta^2/\omega_0^2}}=\frac1{\sqrt{1-\dfrac1{4Q^2}}}.$$ Относительное отличие в процентах: $$\left(1-\frac1{\sqrt{1-\dfrac1{4Q^2}}}\right)\cdot100\%.$$
$\left(1-\dfrac1{\sqrt{1-1/(4Q^2)}}\right)\cdot100\%\approx-0{,}50\%$ (частота $\omega$ чуть ниже $\omega_0$).
Цепь из последовательно соединённых конденсатора ёмкости $C$, сопротивления $R$ и катушки индуктивности $L$ (с пренебрежимо малым активным сопротивлением) подключена к генератору синусоидального напряжения регулируемой частоты при постоянной амплитуде $U_0$. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения: а) на катушке; б) на конденсаторе.
а) Амплитуда напряжения на катушке: $$U_L=\frac{U_0}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac1{\omega C}\right)^2}}\,\omega L.$$ Дифференцируя по $\omega$ и приравнивая производную нулю, после преобразований получаем уравнение $$R^2+\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)^2-(\omega L)^2+\frac1{(\omega C)^2}=R^2-\frac{2L}C+\frac2{(\omega C)^2}=0,$$ откуда, вводя $\omega_0^2=1/(LC)$ и $\gamma=R/(2L)$, $$\omega^2=\frac{(1/(LC))^2}{1/(LC)-R^2/(2L)^2}=\frac{\omega_0^4}{\omega_0^2-\gamma^2}\ \Longrightarrow\ \omega_L=\frac{\omega_0^2}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}.$$
б) Аналогично для напряжения на конденсаторе $U_C=\dfrac{U_0}{\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C))^2}}\cdot\dfrac1{\omega C}$; минимизируя знаменатель $r^2C^2\omega^2+(LC\omega^2-1)^2$ по $u=\omega^2$, получаем $$\omega_C=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}.$$
а) $\omega_L=\dfrac{\omega_0^2}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}$; б) $\omega_C=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$, где $\omega_0=1/\sqrt{LC}$, $\gamma=R/(2L)$ (обе частоты $\ne\omega_0$ при $R\ne0$; $\omega_L>\omega_0>\omega_C$).
Цепь переменного тока из последовательно соединённых катушки, конденсатора и резистора подключена к источнику переменной ЭДС $\mathcal E_0$; индуктивность подобрана так, что ток в цепи максимален (резонанс). Найти добротность системы, если известно, что при увеличении индуктивности в $n$ раз (частота генератора не меняется) ток в цепи уменьшается в $\eta$ раз.
В резонансе $\omega L=1/(\omega C)$, ток максимален и равен $I_0=\mathcal E_0/R$. Обозначим $X_0=\omega L=1/(\omega C)$ (реактивное сопротивление на резонансной частоте), тогда $Q=X_0/R$. После увеличения индуктивности в $n$ раз реактивное сопротивление контура становится $$X=\omega(nL)-\frac1{\omega C}=nX_0-X_0=(n-1)X_0,$$ а новый ток $$I=\frac{\mathcal E_0}{\sqrt{R^2+(n-1)^2X_0^2}}=\frac{I_0}{\sqrt{1+(n-1)^2Q^2}}.$$ По условию $I_0/I=\eta$, откуда $1+(n-1)^2Q^2=\eta^2$ и $$Q=\frac{\sqrt{\eta^2-1}}{n-1}.$$
$Q=\dfrac{\sqrt{\eta^2-1}}{n-1}$.
Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью $C=7$ мкФ и катушки с индуктивностью $L=0{,}23$ Гн и сопротивлением $R=40$ Ом. Найти период колебаний контура и логарифмический декремент затухания.
Период затухающих колебаний: $$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\dfrac1{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}}}.$$ Логарифмический декремент затухания $\delta=\beta T$, где $\beta=R/(2L)$: $$\delta=\frac{R}{2L}\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{\dfrac1{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{4L}{R^2C}-1}}.$$
$T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{1/(LC)-R^2/(4L^2)}}\approx8{,}0\cdot10^{-3}$ с; $\delta=\dfrac{2\pi}{\sqrt{4L/(R^2C)-1}}\approx0{,}70$.