Условие: Тонкий однородный стержень длиной \(\ell = 60\) см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии \(x = 15\) см от его середины. Определить период малых колебаний стержня.

Дано:

• Длина стержня: \(\ell = 0{,}6\) м
• Расстояние от оси до середины стержня: \(d = 0{,}15\) м (так как ось отстоит на \(x\) от середины, то \(d = x\))
• Ускорение свободного падения: \(g = 9{,}8\ \text{м/с}^2\)

Найти: Период \(T\) малых колебаний.

—

Стержень совершает малые колебания как физический маятник. Период колебаний физического маятника определяется формулой: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}},$$ где \(I\) — момент инерции стержня относительно оси вращения, \(m\) — масса стержня, \(d\) — расстояние от оси вращения до центра масс (середины стержня).

Для тонкого однородного стержня момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно стержню, равен: $$I_c = \frac{1}{12} m \ell^2.$$ По теореме Штейнера момент инерции относительно оси, находящейся на расстоянии \(d\) от центра масс: $$I = I_c + m d^2 = m\left(\frac{\ell^2}{12} + d^2\right).$$

Подставляем выражение для \(I\) в формулу периода: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m\left(\frac{\ell^2}{12} + d^2\right)}{m g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{\ell^2}{12} + d^2}{g d}}.$$

Преобразуем числитель: $$\frac{\ell^2}{12} + d^2 = \frac{\ell^2 + 12 d^2}{12}.$$ Тогда $$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell^2 + 12 d^2}{12 g d}}.$$