Потенциал: $$ U(x)= \begin{cases} -U_0, & |x|<a,\\ 0, & |x|>a. \end{cases} $$
Рассматриваем случай $E>0$.
Вне ямы: $$ k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$
Внутри ямы: $$ q=\frac{\sqrt{2m(E+U_0)}}{\hbar}. $$
Тогда стационарные решения при падении волны слева имеют вид: $$ \psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad x<-a, $$ $$ \psi_{II}(x)=Ce^{iqx}+De^{-iqx}, \qquad |x|<a, $$ $$ \psi_{III}(x)=Fe^{ikx}, \qquad x>a. $$
Непрерывность $\psi$ и $\psi'$ в точках $x=\pm a$ даёт систему на коэффициенты. После её решения получаем коэффициенты отражения и прохождения.
Плотности потока в областях I и III одинаково выражаются через волновое число $k$, поэтому $$ R=\frac{|B|^2}{|A|^2}, \qquad D=\frac{|F|^2}{|A|^2}. $$
В результате: $$ \boxed{ D=\frac{1}{1+\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)} } $$ или $$ \boxed{ D=\frac{1}{1+\dfrac{(k^2-q^2)^2}{4k^2q^2}\sin^2(2aq)} } $$ так как $$ q^2-k^2=\frac{2mU_0}{\hbar^2}. $$
Следовательно, $$ \boxed{ R=1-D= \frac{\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)} {1+\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)} }. $$
При выполнении условия резонанса $$ 2aq=n\pi, \qquad n=1,2,3,\dots $$ получаем $$ D=1, \qquad R=0. $$
Потенциал тот же: $$ U(x)= \begin{cases} -U_0, & |x|<a,\\ 0, & |x|>a. \end{cases} $$
Теперь рассматриваем финитное движение, то есть $-U_0<E<0$.
По условию $$ E_1=-\frac{U_0}{2}. $$
Внутри ямы: $$ k=\frac{\sqrt{2m(E_1+U_0)}}{\hbar} =\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar}. $$
Вне ямы: $$ \kappa=\frac{\sqrt{2m|E_1|}}{\hbar} =\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar}. $$
Следовательно, $$ k=\kappa\equiv \alpha=\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar}. $$
Основное состояние чётно, поэтому волновая функция имеет вид $$ \psi(x)= \begin{cases} A\cos \alpha x, & |x|<a,\\ C e^{-\alpha(|x|-a)}, & |x|>a. \end{cases} $$
Непрерывность $\psi$ и $\psi'$ в точке $x=a$: $$ A\cos \alpha a=C, $$ $$ -\alpha A\sin \alpha a=-\alpha C. $$
Отсюда $$ \sin \alpha a=\cos \alpha a, $$ то есть $$ \tan \alpha a=1. $$
Для основного состояния: $$ \boxed{\alpha a=\frac{\pi}{4}}. $$
Тогда $$ C=A\cos \frac{\pi}{4}=\frac{A}{\sqrt{2}}. $$
Нормировочное условие: $$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx=1. $$
Вероятность внутри ямы: $$ P_{\text{in}}=2A^2\int_0^a \cos^2 \alpha x\,dx =A^2\left(a+\frac{\sin 2\alpha a}{2\alpha}\right). $$
Так как $2\alpha a=\pi/2$, то $$ \sin 2\alpha a=1, $$ и $$ P_{\text{in}}=A^2\left(a+\frac{1}{2\alpha}\right). $$
Вероятность вне ямы: $$ P_{\text{out}}=2C^2\int_0^\infty e^{-2\alpha y}\,dy =\frac{C^2}{\alpha} =\frac{A^2}{2\alpha}. $$
Полная нормировка: $$ A^2\left(a+\frac{1}{2\alpha}\right)+\frac{A^2}{2\alpha}=1, $$ откуда $$ A^2=\frac{1}{a+\dfrac{1}{\alpha}}. $$
Следовательно, $$ \boxed{ P_{\text{out}}=\frac{1}{2(\alpha a+1)} }. $$
С учётом условия $\alpha a=\pi/4$: $$ \boxed{ P_{\text{out}}=\frac{1}{2\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right)} =\frac{2}{4+\pi}. } $$
Итак, искомая вероятность обнаружения частицы вне ямы равна $$ \boxed{\frac{2}{4+\pi}}. $$
Потенциал: $$ U(x)= \begin{cases} \infty, & |x|\ge b,\\ U_0, & |x|<a,\\ 0, & a<|x|<b. \end{cases} $$
Нужно определить волновые функции при $E>U_0$.
Потенциал симметричен, поэтому собственные функции можно выбирать чётными или нечётными.
В центральной области $|x|<a$: $$ q=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}. $$
В боковых областях $a<|x|<b$: $$ k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$
Из-за бесконечных стенок при $x=\pm b$ должно быть $$ \psi(\pm b)=0. $$
Для $x>0$ удобно писать: $$ \psi(x)= \begin{cases} C\cos qx, & 0\le x<a,\\ A\sin k(b-x), & a<x<b. \end{cases} $$
По чётности: $$ \psi(-x)=\psi(x). $$
Условия сшивки при $x=a$: $$ C\cos qa=A\sin k(b-a), $$ $$ -qC\sin qa=-kA\cos k(b-a). $$
Деля второе уравнение на первое, получаем уравнение для уровней: $$ \boxed{ q\tan qa=k\cot k(b-a). } $$
Итак, чётная волновая функция: $$ \boxed{ \psi_{+}(x)= \begin{cases} C\cos qx, & |x|<a,\\ A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\ 0, & |x|\ge b. \end{cases} } $$
Для $x>0$: $$ \psi(x)= \begin{cases} C\sin qx, & 0\le x<a,\\ A\sin k(b-x), & a<x<b. \end{cases} $$
По нечётности: $$ \psi(-x)=-\psi(x). $$
Условия сшивки при $x=a$: $$ C\sin qa=A\sin k(b-a), $$ $$ qC\cos qa=-kA\cos k(b-a). $$
Отсюда: $$ \boxed{ q\cot qa=-k\cot k(b-a). } $$
Следовательно, $$ \boxed{ \psi_{-}(x)= \begin{cases} C\sin qx, & |x|<a,\\ \operatorname{sgn}(x)\,A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\ 0, & |x|\ge b. \end{cases} } $$
Это и есть искомые волновые функции при $E>U_0$.
Теперь в центральной области $|x|<a$ энергия меньше высоты барьера, поэтому решение там экспоненциальное.
В боковых областях $a<|x|<b$: $$ k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$
В центральной области $|x|<a$: $$ \kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. $$
Для $x>0$: $$ \psi(x)= \begin{cases} C\cosh \kappa x, & 0\le x<a,\\ A\sin k(b-x), & a<x<b. \end{cases} $$
По чётности: $$ \psi(-x)=\psi(x). $$
Условия сшивки при $x=a$: $$ C\cosh \kappa a=A\sin k(b-a), $$ $$ \kappa C\sinh \kappa a=-kA\cos k(b-a). $$
Отсюда: $$ \boxed{ \kappa\tanh \kappa a=-k\cot k(b-a). } $$
Следовательно, $$ \boxed{ \psi_{+}(x)= \begin{cases} C\cosh \kappa x, & |x|<a,\\ A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\ 0, & |x|\ge b. \end{cases} } $$
Для $x>0$: $$ \psi(x)= \begin{cases} C\sinh \kappa x, & 0\le x<a,\\ A\sin k(b-x), & a<x<b. \end{cases} $$
По нечётности: $$ \psi(-x)=-\psi(x). $$
Условия сшивки: $$ C\sinh \kappa a=A\sin k(b-a), $$ $$ \kappa C\cosh \kappa a=-kA\cos k(b-a). $$
Отсюда: $$ \boxed{ \kappa\coth \kappa a=-k\cot k(b-a). } $$
Следовательно, $$ \boxed{ \psi_{-}(x)= \begin{cases} C\sinh \kappa x, & |x|<a,\\ \operatorname{sgn}(x)\,A\sin k(b-|x|), & a<|x|<b,\\ 0, & |x|\ge b. \end{cases} } $$
Если $E\ll U_0$, то $$ \kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar} $$ велико, и центральный барьер почти непроницаем.
Тогда связь между левой и правой частями слаба, и каждая боковая область фактически ведёт себя как отдельная бесконечная яма ширины $$ l=b-a. $$
В этом пределе на границе $x=\pm a$ волновая функция почти равна нулю, поэтому получаем приближённое условие $$ \sin k(b-a)\approx 0, $$ то есть $$ k(b-a)\approx n\pi, \qquad n=1,2,3,\dots $$
Отсюда $$ \boxed{ E_n\approx \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m(b-a)^2}, \qquad n=1,2,3,\dots } $$
Каждому такому уровню соответствуют почти чётное и почти нечётное состояния; их расщепление мало и экспоненциально по величине: $$ \Delta E_n \sim e^{-2\kappa a}. $$
То есть при $E\ll U_0$ уровни практически двукратно вырождены.
$$ D=\frac{1}{1+\dfrac{U_0^2}{4E(E+U_0)}\sin^2(2aq)}, \qquad R=1-D, $$ $$ q=\frac{\sqrt{2m(E+U_0)}}{\hbar}. $$
$$ \psi(x)= \begin{cases} A\cos \alpha x, & |x|<a,\\ \dfrac{A}{\sqrt{2}}e^{-\alpha(|x|-a)}, & |x|>a, \end{cases} \qquad \alpha=\frac{\sqrt{mU_0}}{\hbar}, $$ $$ \alpha a=\frac{\pi}{4}, \qquad P_{\text{out}}=\frac{2}{4+\pi}. $$
При $E>U_0$: $$ q\tan qa=k\cot k(b-a) \quad \text{(чётные)}, $$ $$ q\cot qa=-k\cot k(b-a) \quad \text{(нечётные)}. $$
При $E<U_0$: $$ \kappa\tanh \kappa a=-k\cot k(b-a) \quad \text{(чётные)}, $$ $$ \kappa\coth \kappa a=-k\cot k(b-a) \quad \text{(нечётные)}. $$ При $E\ll U_0$: $$ E_n\approx \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m(b-a)^2}. $$