Семинар 4. Постоянный ток. Проводимость, сопротивление, ЭДС. Мощность тока. Законы Ома и Кирхгофа

Мостовая схема имеет сопротивления $R_1\div R_4$ в плечах квадрата и $R_5$, включённое в диагональ. Схема подключена концами второй диагонали к источнику с ЭДС $E$. При каком условии через диагональное сопротивление $R_5$ ток течь не будет? Каково общее сопротивление мостовой схемы?

Условие баланса. Обозначим узлы: $L$ и $R$ — точки подключения ЭДС, $T$ — узел между $R_1,R_2$, $B$ — узел между $R_3,R_4$; $R_5$ соединяет $T$ и $B$. Если ток через $R_5$ отсутствует, то через $R_1,R_2$ течёт один и тот же ток $I_a=E/(R_1+R_2)$, а через $R_3,R_4$ — ток $I_b=E/(R_3+R_4)$. Отсутствие тока в $R_5$ означает равенство потенциалов узлов $T$ и $B$: $I_aR_1=I_bR_3$, откуда $$\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{R_3}{R_3+R_4}\ \Longrightarrow\ R_1R_4=R_2R_3.$$

Общее сопротивление (произвольный случай) — по правилам Кирхгофа. Заземлим узел $R$ ($\varphi_R=0$) и зафиксируем $\varphi_L=E$ (источник с нулевым внутренним сопротивлением). Узлы $T$ и $B$ — свободные; для них первый закон Кирхгофа (сумма токов, втекающих в узел, равна нулю; каждый ток по закону Ома — разность потенциалов, делённая на сопротивление ветви) даёт: $$\text{узел }T:\quad \frac{E-\varphi_T}{R_1}=\frac{\varphi_T}{R_2}+\frac{\varphi_T-\varphi_B}{R_5},$$ $$\text{узел }B:\quad \frac{E-\varphi_B}{R_3}+\frac{\varphi_T-\varphi_B}{R_5}=\frac{\varphi_B}{R_4}.$$ Вводя обозначения $a=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}+\dfrac1{R_5}$, $c=\dfrac1{R_3}+\dfrac1{R_4}+\dfrac1{R_5}$, $b=\dfrac1{R_5}$, перепишем систему как $$a\varphi_T-b\varphi_B=\frac E{R_1},\qquad -b\varphi_T+c\varphi_B=\frac E{R_3}.$$ Решая (определитель $D=ac-b^2$): $$\varphi_T=\frac{E}{D}\left(\frac c{R_1}+\frac b{R_3}\right),\qquad \varphi_B=\frac{E}{D}\left(\frac a{R_3}+\frac b{R_1}\right).$$ Полный ток от источника — сумма токов, вытекающих из узла $L$ по двум ветвям ($R_1$ и $R_3$): $$I_0=\frac{E-\varphi_T}{R_1}+\frac{E-\varphi_B}{R_3},\qquad R_{\text{общ}}=\frac E{I_0}.$$ Ток через диагональ: $I_5=(\varphi_T-\varphi_B)/R_5$ — при выполнении условия баланса $R_1R_4=R_2R_3$ отсюда автоматически получается $\varphi_T=\varphi_B$, т.е. $I_5=0$, что согласуется с первой частью решения.

*Проверка (преобразованием треугольник–звезда).* Тот же результат получается, если треугольник $L,T,B$ (стороны $R_1$ между $L,T$; $R_5$ между $T,B$; $R_3$ между $B,L$) заменить эквивалентной звездой с центром $O$ ($S=R_1+R_3+R_5$, $R_L=R_1R_3/S$, $R_T=R_1R_5/S$, $R_B=R_3R_5/S$): $$R_{\text{общ}}=R_L+\frac{(R_T+R_2)(R_B+R_4)}{(R_T+R_2)+(R_B+R_4)}.$$ (Например, при $R_1=1,R_2=3,R_3=2,R_4=4,R_5=5$ оба метода дают $R_{\text{общ}}=170/71\approx2{,}394$.)

Баланс моста: $R_1R_4=R_2R_3$ (ток через $R_5$ отсутствует). Общее сопротивление в общем случае — из узловых уравнений Кирхгофа: $R_{\text{общ}}=E/I_0$ с $\varphi_T,\varphi_B,I_0$ по формулам выше.

Элемент с импедансом $Z_1/2$ и множество последующих элементов $Z_1$ включены в один из проводов двухпроводной линии. К каждому соединению $Z_1$ и второму проводу подключены элементы с импедансом $Z_2$. Найти комплексный импеданс $Z$ бесконечной цепочки из таких элементов. Что будет, если все импедансы будут чисто мнимые (конденсаторы, катушки индуктивности)?

Пусть $Z_T$ — импеданс полубесконечной цепочки «$Z_1$, затем узел с шунтом $Z_2$, затем снова такая же цепочка», начинающейся сразу за первым узлом. В силу самоподобия $$Z_T=Z_1+\frac{Z_2Z_T}{Z_2+Z_T}\ \Longrightarrow\ Z_T^2-Z_1Z_T-Z_1Z_2=0\ \Longrightarrow\ Z_T=\frac{Z_1}2\left(1+\sqrt{1+\frac{4Z_2}{Z_1}}\right).$$ Полный входной импеданс с учётом начального полуэлемента: $Z=\dfrac{Z_1}2+(Z_2\parallel Z_T)$. Выражая $Z_2$ через $Z_T$ из квадратного уравнения ($Z_1Z_2=Z_T(Z_T-Z_1)$), получаем $Z_2+Z_T=Z_T^2/Z_1$ и $Z_2Z_T=Z_T^2(Z_T-Z_1)/Z_1$, откуда $Z_2\parallel Z_T=Z_T-Z_1$. Значит $$Z=\frac{Z_1}2+(Z_T-Z_1)=Z_T-\frac{Z_1}2=\frac12\sqrt{Z_1^2+4Z_1Z_2}.$$

Чисто мнимые импедансы. Пусть $Z_1=iX_1$, $Z_2=iX_2$. Тогда $Z_1^2+4Z_1Z_2=-(X_1^2+4X_1X_2)$. Если $X_1,X_2$ одного знака (обе катушки или оба конденсатора), $X_1^2+4X_1X_2>0$, и $Z$ оказывается чисто мнимым — цепочка ведёт себя как реактивность, ток не переносит энергию в среднем (типичная полоса заграждения). Если же $X_1,X_2$ разных знаков и $|4X_1X_2|>X_1^2$ (например, $Z_1$ — индуктивность, $Z_2$ — ёмкость, типичный $LC$-фильтр нижних частот), то $X_1^2+4X_1X_2<0$ и $Z$ становится вещественным — цепочка ведёт себя как чисто активная нагрузка, несмотря на отсутствие резисторов: это полоса пропускания фильтра, в которой энергия реально распространяется вдоль бесконечной цепочки в виде бегущей волны.

$$Z=\frac12\sqrt{Z_1^2+4Z_1Z_2}.$$ При чисто мнимых $Z_1,Z_2$ одного знака — $Z$ мнимый (заграждение), разных знаков (и $4|X_1X_2|>X_1^2$) — $Z$ вещественный (пропускание).

На контакты 1–2 $RC$-цепочки из последовательно соединённых сопротивления $R$ и конденсатора $C$ подаётся напряжение в виде ступеньки с амплитудой $U_0$. Какова форма сигнала, регистрируемого на $R$ и $C$ соответственно (контакты 3–4 и 4–5)?

Уравнение цепи: $iR+q/C=U_0$, $i=\dot q$, при $q(0)=0$. Решение стандартного линейного уравнения: $$q(t)=CU_0\left(1-e^{-t/RC}\right)\ \Longrightarrow\ U_C(t)=U_0\left(1-e^{-t/RC}\right),$$ $$U_R(t)=U_0-U_C(t)=U_0e^{-t/RC}.$$

На $R$ (контакты 3–4) — экспоненциально спадающий импульс $U_0e^{-t/RC}$ (скачок в момент $t=0$ и последующий спад до нуля); на $C$ (контакты 4–5) — плавно нарастающая до $U_0$ экспонента заряда $U_0(1-e^{-t/RC})$.

Батарея с ЭДС $E$, сопротивление $R_1$ и параллельно соединённые между собой сопротивления $R_2$ и $R_3$ составляют замкнутую цепь. При каком значении $R_3$ мощность, рассеиваемая на этом сопротивлении, не зависит от величины $R_3$ (т.е. достигает экстремума по $R_3$)?

Ток через $R_3$: используя формулу для тока в одной из параллельных ветвей, $$I_3=\frac{ER_2}{R_1R_2+R_3(R_1+R_2)}.$$ Мощность $P_3=I_3^2R_3=\dfrac{E^2R_2^2\,R_3}{[R_1R_2+R_3(R_1+R_2)]^2}$. Дифференцируя по $R_3$ и приравнивая нулю числитель производной, получаем (обозначив $D=R_1R_2+R_3(R_1+R_2)$): $D=2R_3(R_1+R_2)$, откуда $R_1R_2=R_3(R_1+R_2)$, то есть $$R_3=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$ — сопротивление $R_3$ равно сопротивлению Тевенина, видимому со стороны его зажимов (это стандартная теорема о максимальной передаче мощности). При этом $$P_{3,\max}=\frac{E^2R_2}{4R_1(R_1+R_2)}.$$

$$R_3=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2},\qquad P_{3,\max}=\frac{E^2R_2}{4R_1(R_1+R_2)}.$$