Семинар 6. Теорема о циркуляции. Магнетики. Граничные условия

Определить напряжённость магнитного поля:

а) ток $I$ течёт по длинному прямолинейному цилиндрическому проводнику радиусом $R$; по толстостенной трубе с радиусами $R_1$ и $R_2$;

б) ток $I$ течёт по тонкой ленте шириной $a$ с плотностью тока $j=I/a$;

в) ток с плотностью $j$ течёт по плоскости $xoz$ в положительном направлении оси $oz$;

г) ток течёт по соленоиду бесконечно большой длины с количеством витков на единицу длины $n$ и силой тока в каждом витке $i$ (поле внутри и снаружи соленоида);

д) ток течёт по обмотке тора с радиусами $R_1$ и $R_2$ (полное число витков равно $N$). Найти поле внутри обмотки.

Всюду применяется теорема о циркуляции $\oint\vec H\,d\vec l=\dfrac{4\pi}{c}I_{\text{охв}}$ с контуром, согласованным с симметрией задачи.

а) Сплошной цилиндр. При $r\le R$ охваченный ток $I_{\text{охв}}=I\,r^2/R^2$ (однородная плотность тока), $H(r)2\pi r=\dfrac{4\pi}{c}I\dfrac{r^2}{R^2}$: $$H(r)=\frac{2Ir}{cR^2}\ (r\le R),\qquad H(r)=\frac{2I}{cr}\ (r\ge R).$$ Труба. При $r\le R_1$: $H=0$. При $R_1\le r\le R_2$: $I_{\text{охв}}=I\dfrac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}$, значит $$H(r)=\frac{2I}{cr}\cdot\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}.$$ При $r\ge R_2$: $H(r)=2I/(cr)$ — как для тонкого провода на оси.

б) Лента шириной $a$. Разбивая ленту на нити $di=(I/a)\,dx'$ и интегрируя вклады от каждой (поле бесконечной нити на перпендикулярном расстоянии $s$ равно $2\,di/(cs)$), для точки на перпендикуляре к центру ленты на расстоянии $h$ получаем (в направлении, параллельном ленте, перпендикулярно току): $$H(h)=\int_{-a/2}^{a/2}\frac{2(I/a)h}{c(x'^2+h^2)}dx'=\frac{4I}{ca}\arctan\frac{a}{2h}.$$ (Проверка: при $a\to\infty$ $H\to2\pi I/(ca)=2\pi j/c$ — поле бесконечного слоя тока; при $a\to0$ $H\to2I/(ch)$ — поле тонкого провода.)

в) Бесконечная плоскость тока. Предельный случай (б) при $a\to\infty$: поле не зависит от расстояния до плоскости, $$H=\frac{2\pi j}{c}\quad(\text{с общей формулой }\vec H=\frac{2\pi}{c}\vec j_s\times\hat n),$$ где $\hat n$ — нормаль от плоскости к точке наблюдения. Для тока вдоль $+z$ в плоскости $xoz$: при $y>0$ поле направлено вдоль $-x$, при $y<0$ — вдоль $+x$, всюду с модулем $2\pi j/c$.

г) Соленоид. Прямоугольный контур Ампера, одна сторона внутри, другая снаружи: снаружи бесконечного соленоида $H=0$, внутри — однородное поле $$H=\frac{4\pi n i}{c}.$$

д) Тор. Круговой контур радиуса $\rho$ ($R_1<\rho<R_2$), концентричный оси тора, охватывает полный ток всех витков $Ni$: $$H(\rho)=\frac{2Ni}{c\rho}\quad(R_1<\rho<R_2),\qquad H=0\ \text{вне тора}.$$

См. формулы по каждому пункту в решении.

Из участка длинного прямолинейного провода сформирована кольцевая петля радиусом $r_0$ (угол $2\pi-2\alpha$) и линейный участок (угол $2\alpha$). Определить магнитное поле $\vec B$ в центре этой петли, если по проводнику течёт ток $I$.

Дуга. Поле в центре от дуги радиуса $r_0$, стягивающей угол $\phi$, равно $B_{\text{дуга}}=\dfrac{I\phi}{cr_0}$ (при $\phi=2\pi$ это переходит в поле полного кольца $2\pi I/(cr_0)$). Здесь $\phi=2\pi-2\alpha$: $$B_{\text{дуга}}=\frac{I(2\pi-2\alpha)}{cr_0}.$$

Хорда. Хорда стягивает угол $2\alpha$, перпендикулярное расстояние от центра до хорды равно $d=r_0\cos\alpha$, а каждая половина хорды видна из центра под углом $\alpha$ к перпендикуляру. Поле конечного прямого провода $B=\dfrac{I}{cd}(\sin\theta_1+\sin\theta_2)$ даёт $$B_{\text{хорда}}=\frac{I}{c\,r_0\cos\alpha}\cdot2\sin\alpha=\frac{2I\tan\alpha}{cr_0}.$$ Ток течёт по замкнутому контуру непрерывно, поэтому оба вклада направлены в одну сторону (перпендикулярно плоскости петли).

$$B=B_{\text{дуга}}+B_{\text{хорда}}=\frac{2I}{cr_0}\Bigl[(\pi-\alpha)+\tan\alpha\Bigr].$$

При какой напряжённости магнитного поля $B$ кольцо радиусом $r_0$ с током $I$ разорвётся, если кольцо имеет прочность на разрыв $F_0$? Поле $B$ перпендикулярно плоскости кольца.

На элемент кольца $dl=r_0\,d\varphi$ действует радиально направленная наружу сила Ампера $dF=\dfrac Ic B\,dl$, то есть распределённая нагрузка (сила на единицу длины) $f=IB/c$, направленная радиально наружу и однородная по кольцу.

Это классическая задача о кольцевом напряжении (аналог тонкостенного сосуда под давлением). Рассматривая равновесие половины кольца (разрез по диаметру) и проецируя на направление разреза, находим натяжение $$T=f\,r_0=\frac{IBr_0}{c}$$ (стандартный результат: для распределённой радиальной нагрузки $f$ на кольцо радиуса $r_0$ натяжение равно $f r_0$).

Кольцо разрывается, когда $T$ достигает предела прочности $F_0$: $$\frac{IBr_0}{c}=F_0\ \Longrightarrow\ B=\frac{cF_0}{Ir_0}.$$

$$B=\frac{cF_0}{Ir_0}.$$

На границе раздела магнетик-вакуум поле в вакууме равно $\vec B_0$ и составляет угол $\alpha$ с нормалью. Определить поле в магнетике (проницаемость $\mu$) вблизи этой границы.

Нормальная составляющая $B$ непрерывна, а тангенциальная составляющая $H$ непрерывна (свободных поверхностных токов нет, см. (6.1)): $$B_{2n}=B_{0n}=B_0\cos\alpha,\qquad H_{2t}=H_{0t}=B_{0t}=B_0\sin\alpha\ (\text{в вакууме }\mu=1).$$ В магнетике $B_{2t}=\mu H_{2t}=\mu B_0\sin\alpha$. Модуль поля и угол $\beta$ к нормали в магнетике: $$B_2=\sqrt{B_{2n}^2+B_{2t}^2}=B_0\sqrt{\cos^2\alpha+\mu^2\sin^2\alpha},\qquad \tan\beta=\frac{B_{2t}}{B_{2n}}=\mu\tan\alpha.$$ При $\mu>1$ линии поля в магнетике отклоняются от нормали (стремятся «лечь» вдоль границы) — эффект концентрации силовых линий в магнитомягком материале.

$$B_2=B_0\sqrt{\cos^2\alpha+\mu^2\sin^2\alpha},\qquad \tan\beta=\mu\tan\alpha.$$