Это старая версия документа!

Металлическая труба, бесконечная вдоль оси \(z\), имеет прямоугольное сечение \(a\times b\). Одна из сторон имеет потенциал \(U\), а остальные — потенциал \(0\). Найти распределение потенциала внутри трубы.

Расположим сечение \(z=0\) по отношению к осям как показано на рисунке. Поскольку труба бесконечна вдоль \(z\), то зависимость от \(z\) отсутствует и мы имеем задачу с двумя переменными. Поскольку внутри трубы зарядов нет, потенциал внутри удовлетворяет уравнению Лапласа \begin{equation} \triangle \psi=\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0 \end{equation} и граничным условиям \(\psi(0,y)=\psi(x,0)=\psi(x,b)\), \(\psi(a,y)=U.\) Предположим, что решение уравнения (1) (или, хотя бы частное его решение) можно представить в виде \begin{equation} \psi(x,y)=X(x)\cdot Y(y). \end{equation} Тогда, разделив уравнение~(1) на \(X(x)Y(y)\), его можно переписать в виде \begin{equation} \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=0. \end{equation} Перенеся одно из слагаемых в правую часть уравнения, получим, что функция от \(x\) равна во всей области определения функции от \(y\), что возможно только в случае когда обе эти функции – константы, причем \begin{equation} \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}=- \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=\lambda^2. \end{equation} Можно было бы просто в правой части записать константу и не определять ее знак. Впрочем приведенная запись не гарантирует положительность правой части (например, если \(\lambda\) – мнимая). На самом деле далее будет показано, что только такой выбор знака для нашей задачи позволяет получить нетривиальное решение. Очевидно, что вместо 1 уравнения с частными производными мы получили систему двух уравнений, каждое из которых - обыкновенное дифференциальное уравнение. \begin{equation} \begin{split} &Y''+\lambda^2 Y=0,\\ &X''-\lambda^2 X=0. \end{split} \end{equation} Общее решение первого уравнения имеет вид \[ Y(y)=A\sin (\lambda y)+B\cos (\lambda y). \] Граничные уравнения для этого уравнения получаются из общих граничных условий \[ \psi(x,0)=\psi(x,b)=0, \Rightarrow X(x)Y(0)=0, X(x)Y(b)=0, \] откуда получаем требуемые два условия \begin{equation} Y(0)=0,Y(b)=0. \end{equation} Из уравнения для \(Y\) и приведенных выше граничных условий следует, что если бы в первом уравнении системы (5) знак у константы был противоположным, то полученные в этом случае экспоненциальные решения не смогли бы одновременно удовлетворить граничным условиям (6). Используя граничные условия можно получить следующий набор (бесконечный) частных решений, удовлетворяющих и уравнению и граничным условиям \[ Y_n(y)=A_n\sin\left(\frac{n\pi }{b}y\right),\;\;\lambda_n=\frac{n\pi}{b},\;\;n=1,2,... \] Подставив значение \(\lambda_n\) во второе уравнение системы (5), получим решение этого уравнения \[ X(x)=A\sh \frac{n\pi}{b}x+B\ch \frac{n\pi}{b}x. \] Из граничного условия на границе \(x=0\) следует, что \(X(0)=0\), откуда получается, что частные решения этого уравнения, удовлетворяющее условию на левой границе имеют вид \begin{equation} X_n=B_n\sh \frac{n\pi}{b}x. \end{equation} Используя полученные частные решения для \(X\) и \(Y\), а также принцип суперпозиции, можно записать общее решение всей задачи (удовлетворяющее только 3 граничным условиям) в виде \begin{equation} \varphi(x,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty A_n \sh\frac{n\pi}{b}x\sin\frac{n\pi}{b}y. \end{equation} Теперь можно использовать четвертое граничное условие (\(\varphi(a,y)=U\)) для определения коэффициентов \(A_n\). Это граничное условие переписывается в виде \begin{equation} \varphi(a,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty A_n \sh\frac{n\pi a}{b} \sin\frac{n\pi}{b}y=U. \end{equation} Для определения коэффициентов этого ряда можно воспользоваться формулами для определения коэффициентов ряда Фурье, поскольку именно ряд Фурье по \(y\) записан в выражении для граничного условия. А можно явно домножить правую и левую часть уравнения (9) на \(\sin \frac{m\pi}{b}y\) ипроинтегрировать обе стороны полученного равенства по \(y\) от \(0\) до \(b\)/ Поскольку на этом интервале функции \(\sin \frac{m\pi}{b}y\) для разных \(n\) и \(m\) ортогональны, то в сумме останется только член с \(n=m\). \begin{equation} A_m \sh\frac{m\pi a }{b}\int\limits_0^b \sin^2 \frac{m \pi y}{b} dy=U\int\limits_0^b\sin\frac{m\pi y}{b} dy. \end{equation} Интеграл слева вычисляется следующим образом \[ \int\limits_0^b \sin^2 \frac{m \pi y}{b} dy=\frac{b}{m\pi}\int\limits_0^{m\pi} \sin^2 t dt=\frac{b}{m\pi}\frac{m\pi}{2}=\frac{b}{2}. \] Интеграл справа вычисляется элементарно \[ \int\limits_0^b\sin\frac{m\pi y}{b} dy=-\frac{b}{m\pi}\int\limits_0^{m\pi}d(\cos t)=-\frac{b}{m\pi}\left(\cos m\pi -1\right) \] Из этого выражения ясно, что отличны от нуля коэффициенты только при нечетном \(m\), т.е. при \(m=2k+1\). Окончательно получаем \[ A_{2k+1}=\frac{4U}{(2k+1)\pi\sh\frac{(2k+1)\pi a}{b}}, \] или, окончательно получаем \[ \varphi(x,y)=\frac{4U}{\pi}\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\sh\frac{(2k+1)\pi x}{b}}{\sh\frac{(2k+1)\pi a}{b}} \sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}. \] таким образом, использованный метод разделения переменных позволил нам получить общее решение о потенциале внутри прямоугольника в общем виде. При этом следует сделать два замечания \begin{enumerate} \item Если необходимо решить задачу с разными значениями потенциала на всех четырех границах, то это делается на основании принципа суперпозиции, используя полученное выше решение. \item Ряд сходится довольно плохо, особенно вблизи правой границы. \end{enumerate} Для демонстрации этого была написана программа для расчета численного примера. Результаты расчета показаны на графиках. Видно (на третьем графике) что даже при использовании 20 членов ряда значение потенциала на границе колеблется, т.е. граничное условие выполняется приближенно. \begin{figure}[t] \begin{center}

\includegraphics[width=0.8\textwidth]{drive_rect.eps}\\

\end{center} \end{figure}