Это старая версия документа!
а) По теореме Гаусса интеграл по поверхности $S$ для поля $\vec E$ ограничивающий некоторый объём $\oint \limits_S (\vec E\cdot d\vec S) = \oint \limits_S E_n dS = 4\pi q$ равен (с точностью до $4\pi$) заряду $q$, заключённому в этом объёме.
Ограничим часть плоскости прямоугольником с гранями перпендикулярными и параллельными плоскости. Тогда из симметрии задачи поле $\vec E$ не может иметь компоненту параллельную плоскости, т.к. в таком случае, нарушается эквивалентность между «правым» «левым» направлениями. Тогда будет иметься только одно направление от/к плоскости. Следовательно, $$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\cdot S) = 4\pi q= 4\pi \sigma \cdot S.$$ Где двойка для площади получается из за того, что сверху и снизу от плоскости рассматривается один и тот же поток. Сокращая получим выражение: $E = 2\pi \sigma $. Если выбрать направление поля для положительного поверхностной плотности для плоскости расположенной при $z=0$, то можно записать
$$\vec E = 2\pi \sigma \frac{\vec z}{|z|}.$$
б) внутри конденсатора $$\left|\vec E \right| = \frac{4\pi q}{S}, \text{ вне } \vec E = 0;$$
в) $$ \vec E = \frac{{2\varkappa }}{{r^2 }}\vec r.$$