Это старая версия документа!

(Задача 1.4) Заряды $-q_1$ и $q_2$ закреплены в точках $A$ и $B$, $AB = a$. Частица %массы $m$ с зарядом $q$ летит вдоль прямой $AB$. Какую скорость ${v}$ должна иметь эта частица на большом расстоянии от зарядов, чтобы достичь точки $A$?

% Пусть \(x\) -- расстояние от точки $A$ до летящего заряда. Если существует точка \(x\) такая, что сила равна \(0\), то частица попадет в точку \(A\), а если при этом еще и скорость равна \(0\), то на бесконечности частица имела минимальную скорость для преодоления этого барьера. \[ F = \frac{{qq_2 }}{{\left( {x + a} \right)^2 }} - \frac{{qq_1 }}{{x^2 }} = 0 \] \[ q_2 x^2 = q_1 \left( {x^2 + a^2 + 2xa} \right) \] \[ \left( {q_2 - q_1 } \right)x^2 - 2q_1 xa - q_1 a^2 = 0 \] \[ x^2 - x\frac{{2q_1 a}}{{q_2 - q_1 }} - \frac{{q_1 a^2 }}{{q_2 - q_1 }} = 0 \] \[ \begin{array}{l} x_{12} = \frac{{q_1 a}}{{q_2 - q_1 }} \pm \sqrt {\frac{{q_1^2 a^2 }}{{\left( {q_2 - q_1 } \right)^2 }} + \frac{{q_1 a^2 }}{{q_2 - q_1 }}} = \frac{{q_1 a}}{{q_2 - q_1 }}\left( {1 \pm \sqrt {1 + \frac{{\left( {q_2 - q_1 } \right)}}{{q_1 }}} } \right) = \\ = \frac{{q_1 a}}{{q_2 - q_1 }}\left( {1 \pm \sqrt {\frac{{q_2 }}{{q_1 }}} } \right) = \frac{{q_1 a}}{{q_2 - q_1 }}\left( {1 + \sqrt {\frac{{q_2 }}{{q_1 }}} } \right) = \frac{{\sqrt {q_1 } a}}{{q_2 - q_1 }}\left( {\sqrt {q_1 } + \sqrt {q_2 } } \right) = \frac{{a\sqrt {q_1 } }}{{\sqrt {q_2 } - \sqrt {q_1 } }} \\ \end{array} \] Закон сохранения энергии \[ \frac{{mv_0^2 }}{2} = U\left( x \right) \] \[ \frac{{mv_0^2 }}{2} = \frac{{qq_2 }}{{x + a}} - \frac{{qq_{_1 } }}{x} \] %% $ v = \left( {\frac2q ma} \right)^{1/2} \left[ {\sqrt {q_2 } - \sqrt {q_1 } } \right]\,\, \text{при} \,\,q_1<q_2;\,\,v=0\,\,\text{при} \,\,\,q_2 < q_1.$