Это старая версия документа!

Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде \[ \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \] Используя коэффициенты Ламе для сферической системы координат \(h_r = 1\), \(h_\theta = r\), \(h_\phi = r\sin \theta\) и с учётом того, что зависимости от угла $\phi $ нет, запишем: \[ (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta }} \] В задаче 1.27 мы нашли поле диполя, распишем его компоненты:

$\frac{dr}{E_{r}}=\frac{rd\theta}{E_{\theta}}$

$\varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)$

$E_{r}=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}=3\frac{qa^{2}}{r^{4}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)$

$E_{\theta}=-\frac{\partial\varphi}{r\partial\theta}=6\frac{qa^{2}}{r^{4}}\sin\theta\cos\theta$

$2\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

$\int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}$

$\int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}$

$3\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C'_{1}$

$2\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3}$

$r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|}$