Это старая версия документа!

Сила взаимодействия заряженной сферы с зарядом $q$ есть сила, с которой действует сфера на заряд $q$. Эта сила равна $\vec{F}=q\vec{E}(\ell)$, где $\vec{E}(\ell)$ – напряжен-

\begin{wrapfigure}[7]{l}{5.7cm}

\vspace{-12pt} \includegraphics[width=5.3cm]{RIS28.eps} \end{wrapfigure} ность электрического поля, которая создается заряженной сферой на месте заряда $q$. Для нахождения поля $\vec{E}(\ell)\,$ воспользуемся методом изображений (см. 2.27). Как было показано в задаче 2.27, поле индуцированных зарядов незаряженной сферы можно представить суперпозицией полей, создаваемых двумя точечными зарядами: $q'=~-qa/\ell\,$, расположенным на расстоянии $\ell'=a^2/\ell\,$ от центра сферы, и $(-q')$, расположенным в центре сферы. Нетрудно понять, что в случае заряженной сферы для определения поля во внешнем пространстве, создаваемого сферой, нужно к зарядам $q'$ и $(-q')$ добавить заряд сферы, поместив его в центр, чтобы поверхность сферы осталась эквипотенциальной.

   Итак,

$$\vec{E}(\ell)= \biggl[\frac{\bigl(Q+qa/\ell\bigr)}{\ell^2}- \frac{qa/\ell}{(\ell-\ell\,\acute{}\;)^2}\biggr] \frac{\vec{\ell}}{\ell}= \biggl[\frac{Q}{\ell^2}- \frac{qa^3(2\ell^2-a^2)}{\ell^3(\ell^2-a^2)^2}\biggr] \frac{\vec{\ell}}{\ell}\,,$$ $$\vec{F}=\biggl[\frac{Qq}{\ell^2}- \frac{q^2a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell^3(\ell^2-a^2)^2}\biggr] \frac{\vec{\ell}}{\ell}\,.$$

Если заряд $$Q>q\frac{a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell(\ell^2-a^2)^2}\,,$$ то сфера отталкивает заряд $q$. При $$Q<q\frac{a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell(\ell^2-a^2)^2}\,$$

  сфера притягивает заряд $q$.

Когда $$Q=q\frac{a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell(\ell^2-a^2)^2}\,,$$ сила равна нулю. Сила, действующая со стороны заряда на сферу, равна $(-\vec{F})$. \end{solution} \end{problem}

%2.31. \begin{problem} (Задача 2.31) Внутри пространства, заполненного металлом, имеется сферическая полость радиуса $\ell$. В полости на расстоянии $h$ от ее центра находится заряженное с линейной плотностью $\varkappa$ кольцо радиуса $\ell$. Найти потенциал и напряженность поля в центре кольца.

\begin{solution} $ \varphi = 2\pi \varkappa - \frac2_pi_varkappa_ell_asqrt_h_2_ell_2_sqrt_ell_2_left_h_-_h_right_2,$ где $ \ell' = \fraca_2_ellh_2_ell_2$ – радиус кольца изображения, расположенного на расстоянии $h'=\frac{a^2h}{h^2+\ell^2}$ от центра полости.\lb $ E_z = - \frac2_pi_varkappa_a_ell_left_h_-_h_rightsqrt_h_2_ell_2_left_ell_2_left_h_-_h_right_2_right_3_mathord_left_vphantom_3_2 \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}.$