Это старая версия документа!
Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа и из симметрии задачи может зависеть только от $R$ и угла $\theta$. Кроме того, на границе раздела диэлектриков ($z=0$) должны удовлетворяться граничные условия:
- непрерывность касательной составляющей напряженности электрического поля $E_{1\tau}|_{z=0}=\negthickspace E_{2\tau}|_{z=0}$ или потенциала электрического поля $\varphi_1|_{z=0}=\varphi_2|_{z=0}$;
- непрерывность нормальной составляющей вектора электрической индукции $D_{1n}|_{z=0}=D_{2n}|_{z=0}\;$, поскольку $\text{div}\vec{D}=4\pi\rho$, где $\rho$ — плотность свободных зарядов в диэлектрике, а везде кроме начала координат свободные заряды отсутствуют.
Попробуем найти решение в виде потенциала от точечного заряда в вакууме, умноженного на константу: $$\varphi_1=a_1\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\leq 0,$$ $$\varphi_2=a_2\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\geq 0.$$
Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Из непрерывности потенциала при $z=0$ следует равенство констант $a_1=a_2=a$, значит, $\varphi=aq/R$. Равенство касательных составляющих электрического поля удовлетворяется автоматически, поскольку $$ \vec{E}=-\grad\,\varphi=aq\vec{R}/R^3. $$ Кроме того, на \, границе раздела, вообще, нормальная составляющая $E_n=0$, так как вектор $\vec{R}$ лежит в плоскости раздела при $z=0$. Отсюда следует, что выполняется второе условие: $D_{1n}|_{z=0}\!=\!D_{2n}|_{z=0}\!=\!0$, так как $$\vec{D}_1=\varepsilon_1\vec{E}=\varepsilon_1aq\frac{\vec{R}}{R^3} \;,\;\;\vec{D}_2=\varepsilon_2\vec{E}= \varepsilon_2aq\frac{\vec{R}}{R^3}\;.$$
Чтобы найти коэффициент $a$, вычислим поток вектора $\vec{D}$ через сферу радиуса $R$ с центром в заряде: $$ \Phi=D_12\pi R^2+D_2 2\pi R^2\;. $$ С другой стороны, по теореме Гаусса $\Phi=4\pi q$. Приравнивая эти два выражения, получаем $a=2/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.
Итак, $$\varphi=\frac{2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{q}{R}\;,\qquad \vec{E}=\frac{2q}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{\vec{R}}{R^3}\;,$$ $$\vec{D}_1=\frac{2\varepsilon_1}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{q\vec{R}}{R^3}\;\qquad \mbox{при}\qquad z<0\;,$$ $$\vec{D}_2=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{q\vec{R}}{R^3}\;\qquad \mbox{при}\qquad z>0\;.$$
Найденная функция потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям, значит, она является решением рассматриваемой задачи.