Это старая версия документа!

2.51. Электрический диполь с моментом $\vec{p}$ находится в однородном диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергию взаимодействия диполя с индуцированными зарядами, силу и вращательный момент, приложенные к диполю. Расстояние $a$, проницаемость диэлектрика $\varepsilon$.

В задаче 1.29 мы выяснили, что если диполь «жесткий», то его энергия \[ U = - \left( {\vec p\vec E} \right), \] «жёсткость» в данном случае означает, что вектора \(\vec p\) и \(\vec E\) независимы. В нашем случае \(p \sim E\), следовательно — это «квазиупругий» диполь, тогда \[ U = - \frac 12 \left( {\vec p\vec E} \right). \] Если посмотреть на изображение диполя и представить его в виде двух разноимённых зарядов, то нормальная (по отношению к границе) составляющая диполя изображения будет совпадать самим диполем, а тангенциальная — поменяет направление. Тогда воспользовавшись решением задачи 2.50 \[ r = 2a \] \[ \begin{array}{l} U = \frac{1}{2}\left\{ {\frac{{\vec p_2 \vec p_1 }}{{r^3 \varepsilon }} - \frac{{3\left( {\vec p_2 \vec r} \right)\left( {\vec p_1 \vec r} \right)}}{{r^5 \varepsilon }}} \right\} = \frac{{p^2 \cos ^2 \theta }}{{r^3 \varepsilon }} - \frac{{3p^2 r^2 \cos ^2 \theta }}{{r^5 \varepsilon }} = \\ = \frac{{p^2 }}{{r^3 \varepsilon }}\left( {\cos 2\theta - 3\cos ^2 \theta } \right) = - \frac{{p^2 }}{{8a^3 \varepsilon }}\left( {1 + \cos ^2 \theta } \right) \\ \end{array} \] % $ W = - \frac{{p^2 }}{{16\varepsilon a^3 }}\left( {1 + \cos ^2 \theta } \right),$ где $\theta = (\widehat{\vec{p},\vec{e}_z })$; $ F_z = - \frac{{3W}}{a},$
$N_\theta = - \frac{{p^2 \sin 2\theta }}{{16\varepsilon a^3 }}.$