3.44. В неоднородной проводящей среде с проводимостью $\sigma(\vec{r})$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon(\vec{r})$ поддерживается стационарное распределение токов $\vec{j}(\vec{r})$. Найти объемное распределение зарядов $\rho(\vec{r})$ в этой среде.

По закону Ома в дифференциальной форме $\vec{j}=\sigma\vec{E}.$ По закону сохранения заряда в стационарном случае $ \text{div}\vec{j}=0$, т.е. $$ \text{div} (\sigma\vec{E})=\sigma \text{div}\vec{E}+\vec{E}\text{grad}\sigma=0;$$ откуда \begin{equation} \text{div}\vec{E}=-\vec{E}(\text{grad}\sigma)/\sigma. \end{equation}

По теореме Гаусса в дифференциальной форме $\text{div}\vec{D}=4\pi\rho;$ откуда $$\rho=\frac{1}{4\pi}\text{div}(\varepsilon\vec{E})=\frac{1}{4\pi}(\vec{E}\cdot \text{grad}\varepsilon+\varepsilon \text{div}\vec{E}).$$

Взяв $\text{div}\vec{E}$ из (1), получим $$\rho=\frac{\vec{E}}{4\pi\sigma}(\sigma \text{grad}\varepsilon-\varepsilon \text{grad}\sigma)=\frac{\vec{j}}{4\pi\sigma^{2}}(\sigma \text{grad}\varepsilon-\varepsilon \text{grad}\sigma).$$

Отметим, что $\rho\equiv 0$ при $\frac{\text{grad}\varepsilon}{\varepsilon}=\frac{\text{grad}\sigma}{\sigma}.$

В отсутствие поляризуемости среды, когда ее свойства описываются лишь через проводимость $\sigma(\vec{r})$, получаем $$\rho(\vec{r})=-\frac{(\vec{j}\cdot \text{grad}\sigma)}{4\pi\sigma^{2}}$$ при $\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.$