Это старая версия документа!
4.1. Найти поле на оси и в центре кругового витка радиуса $a$ с током $J$. Используя полученный результат, найти:
- поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны под углами $\alpha_1, \alpha_2$;
- поле на конце полубесконечного соленоида;
- поле внутри бесконечного соленоида.
Число витков на единицу длины соленоидов $n$.
По закону Био-Савара напряженность магнитного поля $\,d\vec{H}$, создаваемая
элементом тока $\,J\,d\vec{\ell}$,
\begin{equation}
d\vec{H}=\frac{J}{cr^3}[\,d\vec{\ell}\times \vec{r}]\,,\vspace{-5pt}
\end{equation}
где $\,r$ – расстояние от элемента тока до точки наблюдения. По
принципу суперпозиции полное поле в данной точке можно получить
интегрированием (1) по всему кольцу. Замечаем, что на оси витка\vspace{-5pt}
$$\vec{H}=\oint d\vec{H}=\vec{e}_z\oint dH_z,$$
где $\;\vec{e}_z$ – единичный \, вектор в направлении оси $\;Z$.
Интегрируя \, по кольцу $z$-ю проекцию напряженности магнитного
поля$\,dH_z$, находим
\begin{equation}
H_z=\oint dH_z=\frac{J\cos\alpha}{cr^2}\oint d\ell=
\frac{2\pi aJ\cos\alpha}{cr^2}=\frac{2\pi J}{c}\frac
{a^2}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
\end{equation}
Используя уравнение (2), получаем, что поле в центре витка
$$H_z\big|_{z=0}=\frac{2\pi J}{ca}\,.$$
а) Найдем поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны \begin{wrapfigure}[6]{l}{4.7cm} \vspace{-15pt} \includegraphics[width=4.6cm]{ris41.eps} \end{wrapfigure} под углами $\,\alpha_1$ и $\,\alpha_2$. Используя уравнение (2), запишем поле, создаваемое в точке $\,z=0$ током соленоида, текущим по $\,n\,dz$ виткам, расположенным на расстоянии $\,z$ от начала координат $$dH_z=\frac{2\pi J}{c}\frac {a^2}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,n\,dz\,.$$
Интегрируя но всей длине соленоида, получаем полное поле, создаваемое соленоидом в точке $\,z=0$: $$H_z=\frac{2\pi Jna}{c}\int\limits_{z_0}^{z_0+\ell}\frac {dz}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,,$$ где $\ell$ – длина соленоида. Перейдем от интегрирования по $\,z$ к интегрированию по углу $\,\alpha$, используя формулы: $$z=a\,\ctg\alpha\,,\qquad dz=-\frac{a\,d\alpha}{\sin^2\alpha}\,, \qquad \sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}}\,.$$ Тогда \begin{equation} H_z=-\frac{2\pi nJ}{c}\int\limits_{\alpha_1}^{\alpha_ 2} \sin\alpha\,d\alpha=\frac{2\pi nJ}{c}(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)\,. \end{equation}
б) Если положить $\;\alpha_1=\pi/2\,,\,\alpha_ 2=0$, то из уравнения (3)
получим напряженность магнитного поля на конце полубесконечного соленоида $$H_z=\frac{2\pi Jn}{c}\,.$$
в) При $\;\alpha_1=\pi\,,\,\alpha_ 2=0$ формула (3) дает
поле внутри бесконечного соленоида $$H_z=\frac{4\pi Jn}{c}\,.$$