6.7. Найти коэффициент самоиндукции на единицу длины бесконечного цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной (не обязательно круговой) формой сечения. Площадь сечения — $S$, число витков на единицу длины — $n$.

Поле внутри соленоида находится по теореме Стокса. \[ H\ell = \frac{{4\pi N I}}{{c}};\;\; H = \frac{{4\pi }}{c}nI \] Тогда поток через поверхность, перпендикулярную оси соленоида (т.е. фактически через один виток), \[ \Phi _0 = \frac{{4\pi }}{c}nIS. \] Однако, ЭДС индукции в соленоиде не равна \({\dot\Phi _0}/c \), а в \(N\) раз больше. Это связано с тем, что поток \(\Phi _0\) пересекает все \(N\) витков, так что полная ЭДС \[ \mathcal{E} = N\mathcal{E}_0, \] где \[ \mathcal{E}_0 = - \frac{{\dot\Phi _0 }}{c}. \] Величина \(\Phi = N\Phi _0\) называется потокосцеплением и именно она входит в выражение для индуктивности \(\Phi = \frac{{LI}}{c}\). Тогда индуктивность единицы длины соленоида \[ \frac{L}{\ell} = \frac{{4\pi nNS}}{\ell} = 4\pi n^2 S. \] Аналогичную формулу мы получим, если будем использовать формулу для энергии $$ W = \frac{1}{{8\pi }}H^2 V = \frac{1}{{4\pi }}\left( {\frac{{4\pi }}{c}nI} \right)^2 \frac{1}{2}S\ell = $$ $$ \frac{{LI^2 }}{{2c^2 }} = \frac{{4\pi N^2 }}{{\ell^2 }}\frac{{S\ell}}{{2c^2 }}I^2. $$