Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 13. Дифракция света

Точечный источник света ($\lambda=0{,}5$ мкм) расположен на расстоянии $a=1$ м перед диафрагмой с круглым отверстием диаметра $d=2$ мм. Определите расстояние $b$ от диафрагмы до точки наблюдения, если отверстие открывает три зоны Френеля ($m=3$).

Радиус $m$-й зоны Френеля $r$ связан с $a$ и $b$ (см. рисунок, $S$ — источник, $M$ — точка наблюдения): из геометрии сферических волновых фронтов, приходящих в $M$ через края отверстия, при $\lambda\ll a,\,\lambda\ll b$ разность хода даёт $$r^2=\frac{ab}{a+b}\,m\lambda$$ (члены порядка $\lambda^2$ отброшены как пренебрежимо малые). Отсюда, подставляя $r=d/2$, выражаем $b$: $$b=\frac{ar^2}{am\lambda-r^2}=\frac{ad^2}{4am\lambda-d^2}.$$

$b=\dfrac{ad^2}{4am\lambda-d^2}=2$ м.

Определите радиус третьей зоны Френеля ($m=3$) для случая плоской волны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения $b=1{,}5$ м. Длина волны $\lambda=0{,}6$ мкм.

Для плоского фронта ($a\to\infty$) из общей формулы задачи 1 ($r^2+b^2=(b+m\lambda/2)^2$, при $\lambda\ll b$ квадратичным по $\lambda$ слагаемым пренебрегаем) получается $$r^2=bm\lambda\ \Longrightarrow\ r=\sqrt{bm\lambda}.$$

$r=\sqrt{bm\lambda}\approx1{,}64$ мм.

Определите радиус четвёртой зоны Френеля ($m_2=4$), если радиус второй зоны Френеля ($m_1=2$) для плоского волнового фронта равен $r_1=2$ мм.

По формуле задачи 2 $r=\sqrt{bm\lambda}$ (одинаковые $b,\lambda$ для обеих зон одного и того же фронта), поэтому $$\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}\ \Longrightarrow\ r_2=r_1\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}.$$

$r_2=r_1\sqrt{m_2/m_1}\approx2{,}83$ мм.

Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохроматического света ($\lambda=0{,}5$ мкм). Посередине между источником и экраном ($a=b=0{,}5$ м, $a+b=1$ м) находится диафрагма с круглым отверстием. Определите радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране наиболее тёмный.

Из формулы задачи 1 $r^2=\dfrac{ab}{a+b}m\lambda$. Центр дифракционной картины наиболее тёмный, когда отверстие открывает ровно две зоны Френеля ($m=2$: поля первой и второй зон почти компенсируют друг друга). Отсюда $$r=\sqrt{\frac{ab}{a+b}\,m\lambda}=\sqrt{\frac{2ab}{a+b}\,\lambda}.$$

$r=\sqrt{\dfrac{2ab}{a+b}\lambda}=0{,}5$ мм.

На экран с круглым отверстием радиусом $r=1{,}5$ мм нормально падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны $\lambda=0{,}5$ мкм. Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии $b=1{,}5$ м от него. Определите: 1) число зон Френеля, укладывающихся в отверстии; 2) тёмное или светлое пятно наблюдается в центре дифракционной картины.

Плоская волна, поэтому (см. задачу 2) $r=\sqrt{bm\lambda}$, откуда число открытых зон $$m=\frac{r^2}{b\lambda}=\frac{(1{,}5\cdot10^{-3})^2}{1{,}5\cdot0{,}5\cdot10^{-6}}=3.$$ Правило чётности: если $m$ чётное — в центре минимум (тёмное пятно), если нечётное — максимум (светлое пятно). Здесь $m=3$ нечётно.

1) $m=3$ зоны Френеля; 2) в центре картины светлое пятно.

На узкую щель шириной $a=0{,}05$ мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны $\lambda=694$ нм. Определите направление на вторую дифракционную полосу (по отношению к первоначальному направлению света).

Дифракционные полосы (вторичные максимумы) от щели соответствуют условию $$a\sin\varphi=\pm(2m+1)\frac{\lambda}{2}.$$ Для второй полосы $m=2$: $$\sin\varphi=\frac{(2m+1)\lambda}{2a}=\frac{5\lambda}{2a}=\frac{5\cdot694\cdot10^{-9}}{2\cdot5\cdot10^{-5}}\approx0{,}0347.$$

$\varphi=\arcsin\dfrac{5\lambda}{2a}\approx2^\circ$.

На щель шириной $a=0{,}1$ мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны $\lambda=0{,}5$ мкм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определите расстояние $l$ от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного максимума $b=1$ см.

Первый минимум (граница центрального максимума) задаётся условием $a\sin\varphi=\pm m\lambda$ при $m=1$: $$\sin\varphi=\frac{\lambda}{a}\ \Longrightarrow\ \varphi=\arcsin\frac{\lambda}{a}.$$ Ширина центрального максимума на экране $b=2l\operatorname{tg}\varphi$ (по половине ширины с каждой стороны), откуда $$l=\frac{b}{2\operatorname{tg}\varphi}.$$

$l=\dfrac{b}{2\operatorname{tg}\varphi}$, где $\varphi=\arcsin(\lambda/a)$; численно $l=1$ м.

На дифракционную решётку нормально падает монохроматический свет с длиной волны $\lambda=600$ нм. Определите наибольший порядок спектра, полученный с помощью этой решётки, если её постоянная $d=2$ мкм.

Главные максимумы дифракционной решётки: $d\sin\varphi=m\lambda$. Наибольший достижимый порядок ограничен условием $\sin\varphi_{\max}\le1$: $$d\sin\varphi_{\max}=m_{\max}\lambda,\qquad \sin\varphi_{\max}=1\ \Longrightarrow\ m_{\max}=\frac{d}{\lambda}.$$ Так как порядок — целое число, берём $m_{\max}=\left\lfloor d/\lambda\right\rfloor$.

$m_{\max}=\lfloor d/\lambda\rfloor=3$.

На дифракционную решётку длиной $l=15$ мм, содержащую $N=3000$ штрихов, падает нормально монохроматический свет с длиной волны $\lambda=550$ нм. Определите: 1) число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решётки; 2) угол, соответствующий последнему максимуму.

Период решётки $d=l/N$. Условие главных максимумов $d\sin\varphi=\pm m\lambda$ ($m=0,1,2,\dots$), наибольший порядок при $\sin\varphi_{\max}=1$: $$m_{\max}=\frac{d}{\lambda}=\frac{l}{N\lambda}.$$ Полное число максимумов (по обе стороны от центрального нулевого) $n=2m_{\max}$. Угол последнего максимума: $$\sin\varphi_{\max}=\frac{m_{\max}\lambda}{d}=\frac{m_{\max}\lambda N}{l}\ \Longrightarrow\ \varphi_{\max}=\arcsin\frac{m_{\max}\lambda N}{l}.$$ Численно: $d=l/N=5$ мкм, $m_{\max}=d/\lambda=5\cdot10^{-6}/5{,}5\cdot10^{-7}\approx9{,}09\Rightarrow m_{\max}=9$, $n=2m_{\max}=18$; $\sin\varphi_{\max}=9\cdot5{,}5\cdot10^{-7}\cdot3000/1{,}5\cdot10^{-2}\approx0{,}99$.

1) $n=18$ максимумов; 2) $\varphi_{\max}\approx81^\circ54'$.

На дифракционную решётку нормально падает монохроматический свет с длиной волны $\lambda=0{,}5$ мкм. На экран, находящийся от решётки на расстоянии $L=1$ м, с помощью линзы, расположенной вблизи решётки, проецируется дифракционная картина, причём первый главный максимум наблюдается на расстоянии $l=15$ см от центрального. Определите число штрихов на 1 см дифракционной решётки.

Условие главного максимума при $m=1$: $d\sin\varphi=\lambda$. Поскольку $l\ll L$, угол мал: $\sin\varphi\approx\operatorname{tg}\varphi=l/L$. Тогда $$d\,\frac{l}{L}=\lambda\ \Longrightarrow\ d=\frac{\lambda L}{l},$$ и число штрихов на единицу длины $$n=\frac1d=\frac{l}{\lambda L}.$$

$n=\dfrac{l}{\lambda L}=3\cdot10^3$ см$^{-1}$.