Условие: Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной \(\ell\). Определить, на каком расстоянии от центра масс должна находиться точка подвеса, чтобы частота малых колебаний была максимальной.

Дано:

• Длина стержня: \(\ell\)
• Масса стержня: \(m\)
• Ускорение свободного падения: \(g\)

Найти: Расстояние \(d\) от центра масс до точки подвеса.

—

Частота малых колебаний физического маятника определяется формулой: $$\omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}},$$ где \(I\) — момент инерции относительно оси подвеса, \(d\) — расстояние от оси до центра масс.

Для тонкого однородного стержня момент инерции относительно центра масс: $$I_c = \frac{1}{12} m \ell^2.$$ По теореме Штейнера момент инерции относительно оси, находящейся на расстоянии \(d\) от центра масс: $$I = I_c + m d^2 = m\left(\frac{\ell^2}{12} + d^2\right).$$

Подставим в выражение для квадрата частоты: $$\omega^2 = \frac{g d}{\frac{\ell^2}{12} + d^2}.$$

Обозначим \(a = \frac{\ell^2}{12}\). Тогда $$\omega^2 = g \cdot \frac{d}{a + d^2}.$$

Для максимизации \(\omega\) (или \(\omega^2\)) исследуем функцию \(f(d) = \frac{d}{a + d^2}\) на экстремум. Найдём производную и приравняем её нулю: $$f'(d) = \frac{1 \cdot (a + d^2) - d \cdot 2d}{(a + d^2)^2} = \frac{a + d^2 - 2d^2}{(a + d^2)^2} = \frac{a - d^2}{(a + d^2)^2}.$$ Производная обращается в ноль при \(a - d^2 = 0\), т.е. $$d^2 = a = \frac{\ell^2}{12}.$$

Поскольку при \(d < \sqrt{a}\) производная положительна, а при \(d > \sqrt{a}\) — отрицательна, в точке \(d = \sqrt{a}\) достигается максимум. Следовательно, оптимальное расстояние: $$d = \frac{\ell}{\sqrt{12}} = \frac{\ell}{2\sqrt{3}}.$$

—

Точка подвеса должна находиться от центра масс на расстоянии $$\boxed{d = \frac{\ell}{\sqrt{12}} = \frac{\ell}{2\sqrt{3}}}.$$