Условие: Тонкий обруч (кольцо) радиусом \(R\) и массой \(m\) подвешен за верхнюю точку и может совершать малые колебания в вертикальной плоскости. Найти циклическую частоту колебаний для двух случаев: а) колебания происходят в плоскости обруча; б) колебания происходят в направлении, перпендикулярном плоскости обруча.

Дано: \(R\) – радиус обруча, \(m\) – масса, \(g\) – ускорение свободного падения.

Найти: \(\omega_1\) и \(\omega_2\).

—

Обруч, подвешенный за точку на ободе, является физическим маятником. Частота малых колебаний физического маятника определяется формулой: $$\omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}},$$ где \(d\) – расстояние от точки подвеса до центра масс, \(I\) – момент инерции обруча относительно оси подвеса.

Для обруча центр масс находится в геометрическом центре, поэтому \(d = R\) (расстояние от верхней точки до центра).

Момент инерции зависит от направления оси вращения. Рассмотрим два случая.

При таких колебаниях ось вращения горизонтальна и перпендикулярна плоскости обруча (проходит через точку подвеса). Момент инерции обруча относительно этой оси найдём по теореме Штейнера. Момент инерции относительно центра масс для оси, перпендикулярной плоскости обруча, равен \(I_c = mR^2\). Тогда для оси, проходящей через точку на ободе (на расстоянии \(R\) от центра): $$I_1 = I_c + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2.$$ Подставляем в формулу частоты: $$\omega_1 = \sqrt{\frac{mgR}{2mR^2}} = \sqrt{\frac{g}{2R}}.$$

Здесь ось вращения горизонтальна и лежит в плоскости обруча (касательная к обручу в точке подвеса). Момент инерции относительно такой оси также найдём по теореме Штейнера. Момент инерции обруча относительно оси, лежащей в его плоскости и проходящей через центр (диаметральная ось), равен \(I_c' = \frac{1}{2} mR^2\). Расстояние от центра до новой оси (касательной в верхней точке) равно \(R\). Тогда: $$I_2 = I_c' + mR^2 = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2.$$ Частота: $$\omega_2 = \sqrt{\frac{mgR}{\frac{3}{2} mR^2}} = \sqrt{\frac{2g}{3R}}.$$

—

а) При колебаниях в плоскости обруча: $$\boxed{\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{2R}}}.$$ б) При колебаниях перпендикулярно плоскости обруча: $$\boxed{\omega_2 = \sqrt{\frac{2g}{3R}}}.$$