По стержню длиной $L$, лежащему на гладком столе, наносится удар. При ударе концы стержня приобретают скорости $V$ и $2V$. Найти расстояние от точки удара до середины стержня.

Стержень лежит на гладком столе, поэтому после удара он будет двигаться поступательно и вращаться. Скорости концов стержня направлены перпендикулярно стержню (иначе они бы не были заданы как $V$ и $2V$ без указания направления; предполагаем, что скорости направлены в одну сторону).

Пусть масса стержня равна $m$. Скорость центра масс стержня $v_c$ определяется как средняя арифметическая скоростей концов, так как при плоском движении твёрдого тела скорости точек линейно распределены: $$v_c = \frac{V + 2V}{2} = \frac{3}{2}V.$$

Угловая скорость стержня $\omega$ находится из соотношения для скоростей концов относительно центра масс. Если расстояние от центра до каждого конца равно $L/2$, то разность скоростей концов равна $\omega L$: $$2V - V = \omega L \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{V}{L}.$$

При ударе выполняются законы сохранения импульса и момента импульса относительно любой точки. Удобно рассмотреть момент импульса относительно центра масс стержня. Импульс, переданный стержню, равен $J = m v_c$. Момент импульса относительно центра масс равен $J d$, где $d$ — расстояние от точки удара до центра масс (плечо импульса). С другой стороны, момент импульса стержня относительно центра масс при вращении равен $I_c \omega$, где $I_c = \frac{m L^2}{12}$ — момент инерции стержня относительно центра. Таким образом, $$J d = I_c \omega.$$

Подставляем $J = m v_c$, $v_c = \frac{3}{2}V$, $\omega = \frac{V}{L}$: $$m \cdot \frac{3}{2}V \cdot d = \frac{m L^2}{12} \cdot \frac{V}{L}.$$ Сокращаем $m$ и $V$ (считаем их ненулевыми): $$\frac{3}{2} d = \frac{L}{12} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{L}{12} \cdot \frac{2}{3} = \frac{L}{18}.$$

Таким образом, точка удара находится на расстоянии $L/18$ от середины стержня в сторону того конца, который получил меньшую скорость (или в сторону, определяемую направлением удара).

Расстояние от точки удара до середины стержня равно $\displaystyle \frac{L}{18}$.