Решения задач 5--8

Барьер задан потенциалом

$$ U(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ U_0, & x\ge 0. \end{cases} $$

Требуется определить волновые функции при различных значениях энергии $E$ и найти число частиц в забарьерной области при $E<U_0$. Масса частицы равна $m$, плотность потока частиц в падающем пучке равна $\rho$.

Рассматриваем стационарное уравнение Шредингера:

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x). $$

В области $x<0$ потенциал равен нулю, поэтому

$$ \psi_I(x)=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}, \qquad k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$

В области $x\ge 0$:

$$ \psi_{II}(x)=Ce^{ik_2x}, \qquad k_2=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}. $$

Здесь оставлена только волна, идущая вправо.

Условия непрерывности при $x=0$:

$$ A+B=C, $$

$$ ik_1(A-B)=ik_2C. $$

Отсюда получаем

$$ \frac{B}{A}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}, $$

$$ \frac{C}{A}=\frac{2k_1}{k_1+k_2}. $$

Следовательно, волновая функция имеет вид

$$ \psi(x)= \begin{cases} A\left(e^{ik_1x}+\dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}e^{-ik_1x}\right), & x<0,\\[2ex] A\,\dfrac{2k_1}{k_1+k_2}e^{ik_2x}, & x\ge 0. \end{cases} $$

Коэффициенты отражения и прохождения:

$$ R=\left|\frac{B}{A}\right|^2=\left(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)^2, $$

$$ T=\frac{k_2}{k_1}\left|\frac{C}{A}\right|^2=\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}. $$

Нетрудно проверить, что $R+T=1$.

В области $x<0$:

$$ \psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad k=\frac{\sqrt{2mU_0}}{\hbar}. $$

В области $x\ge 0$ уравнение принимает вид

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\psi''=0, $$

поэтому

$$ \psi_{II}(x)=Cx+D. $$

Поскольку при $x\to +\infty$ функция не должна неограниченно возрастать, берём $C=0$, то есть

$$ \psi_{II}(x)=D. $$

Условия сшивки при $x=0$:

$$ A+B=D, $$

$$ ik(A-B)=0. $$

Отсюда

$$ A=B, $$

$$ D=2A. $$

Следовательно,

$$ \psi(x)= \begin{cases} A(e^{ikx}+e^{-ikx})=2A\cos kx, & x<0,\\ 2A, & x\ge 0. \end{cases} $$

В этом случае имеет место полное отражение:

$$ R=1, \qquad T=0. $$

Теперь в области $x<0$:

$$ \psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$

В области $x\ge 0$ решение экспоненциальное. Вводим обозначение

$$ \kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. $$

Тогда

$$ \psi_{II}(x)=Ce^{-\kappa x}, $$

поскольку экспонента $e^{\kappa x}$ физически неприемлема.

Условия непрерывности при $x=0$:

$$ A+B=C, $$

$$ ik(A-B)=-\kappa C. $$

Отсюда

$$ \frac{B}{A}=\frac{ik+\kappa}{ik-\kappa}, $$

$$ \frac{C}{A}=\frac{2ik}{ik-\kappa}. $$

Следовательно,

$$ \psi(x)= \begin{cases} A\left(e^{ikx}+\dfrac{ik+\kappa}{ik-\kappa}e^{-ikx}\right), & x<0,\\[2ex] A\,\dfrac{2ik}{ik-\kappa}e^{-\kappa x}, & x\ge 0. \end{cases} $$

Так как

$$ \left|\frac{B}{A}\right|=1, $$

получаем полное отражение:

$$ R=1. $$

Плотность потока для плоской волны $Ae^{ikx}$ равна

$$ j=\frac{\hbar k}{m}|A|^2. $$

По условию нормировку выбираем так, чтобы поток падающего пучка имел классический вид:

$$ j_{\text{in}}=\rho v, $$

где

$$ v=\frac{\hbar k}{m}. $$

Следовательно,

$$ \frac{\hbar k}{m}|A|^2=\rho\frac{\hbar k}{m}, $$

откуда

$$ |A|^2=\rho. $$

Модуль коэффициента $C$:

$$ |C|^2=|A|^2\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}=\rho\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}. $$

Но

$$ k^2+\kappa^2=\frac{2mE}{\hbar^2}+\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}=\frac{2mU_0}{\hbar^2}, $$

поэтому

$$ |C|^2=\rho\,\frac{4E}{U_0}. $$

Плотность вероятности в забарьерной области:

$$ |\psi_{II}(x)|^2=|C|^2e^{-2\kappa x}. $$

Число частиц в забарьерной области на единицу площади фронта пучка равно

$$ N=\int_0^{\infty}|\psi_{II}(x)|^2\,dx=|C|^2\int_0^{\infty}e^{-2\kappa x}\,dx=\frac{|C|^2}{2\kappa}. $$

Отсюда

$$ N=\frac{\rho}{2\kappa}\,\frac{4k^2}{k^2+\kappa^2}=\frac{2\rho k^2}{\kappa(k^2+\kappa^2)}. $$

Или, выражая через энергию,

$$ N=\frac{2\rho E}{U_0\kappa}=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}. $$

Итак,

$$ \boxed{N=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}}. $$

Потенциал задан так:

$$ U(x)= \begin{cases} \infty, & x<0,\\ \dfrac12 m\omega^2x^2, & x\ge 0. \end{cases} $$

Это задача о гармоническом осцилляторе на полуоси.

Из-за бесконечной стенки при $x<0$ необходимо выполнение условия

$$ \psi(0)=0. $$

Для обычного одномерного гармонического осциллятора уровни энергии равны

$$ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right), \qquad n=0,1,2,\dots $$

Но условию $\psi(0)=0$ удовлетворяют только нечётные собственные функции полного осциллятора. Следовательно, допустимы только нечётные значения $n$:

$$ n=1,3,5,\dots $$

Положим

$$ n=2s+1, \qquad s=0,1,2,\dots $$

Тогда

$$ E_s=\hbar\omega\left(2s+1+\frac12\right)=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right). $$

Следовательно, энергетические уровни равны

$$ \boxed{E_s=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right), \qquad s=0,1,2,\dots} $$

Первые несколько уровней:

$$ \frac32\hbar\omega, \qquad \frac72\hbar\omega, \qquad \frac{11}{2}\hbar\omega, \dots $$

Собственные функции на полуоси $x\ge 0$ совпадают с нечётными функциями обычного гармонического осциллятора, но должны быть перенормированы:

$$ \psi_s(x)=\sqrt{2}\,\psi^{(osc)}_{2s+1}(x), \qquad x\ge 0, $$

а при $x<0$:

$$ \psi_s(x)=0. $$

Рассматривается периодический потенциал, образованный последовательностью прямоугольных барьеров высоты $U_0$ и ширины $b$, разделённых промежутками ширины $a$, в которых потенциал равен нулю.

Период структуры равен

$$ d=a+b. $$

Нужно получить общие соотношения для волновых функций и энергетического спектра.

Для периодического потенциала собственные функции можно искать в виде функций Блоха:

$$ \psi(x+d)=e^{iKd}\psi(x), $$

где $K$ — квазиволновое число.

Аналогично,

$$ \psi'(x+d)=e^{iKd}\psi'(x). $$

Выберем одну элементарную ячейку:

$$ 0<x<a \qquad (U=0), $$

$$ a<x<a+b \qquad (U=U_0). $$

Здесь

$$ \psi_1(x)=Ae^{i\alpha x}+Be^{-i\alpha x}, $$

где

$$ \alpha=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$

Если $E<U_0$, то решение в барьере экспоненциальное:

$$ \psi_2(x)=Ce^{\beta(x-a)}+De^{-\beta(x-a)}, $$

где

$$ \beta=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. $$

Если $E>U_0$, то решение в барьере волновое:

$$ \psi_2(x)=Ce^{i\gamma(x-a)}+De^{-i\gamma(x-a)}, $$

где

$$ \gamma=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}. $$

На границе $x=a$ должны выполняться условия непрерывности функции и её производной:

$$ \psi_1(a)=\psi_2(a), $$

$$ \psi_1'(a)=\psi_2'(a). $$

Кроме того, из условия Блоха на границах ячейки имеем:

$$ \psi(a+b)=e^{iKd}\psi(0), $$

$$ \psi'(a+b)=e^{iKd}\psi'(0). $$

Эти четыре уравнения дают систему для коэффициентов $A,B,C,D$. Нетривиальное решение существует, если определитель системы равен нулю. Это условие и определяет спектр.

После стандартных вычислений получается уравнение Кронига–Пенни.

$$ \boxed{ \cos Kd= \cos(\alpha a)\cosh(\beta b) +\frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b)} $$

или эквивалентно

$$ \boxed{ \cos Kd= \cos(\alpha a)\cosh(\beta b) -\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b)} $$

$$ \boxed{ \cos Kd= \cos(\alpha a)\cos(\gamma b) -\frac{\alpha^2+\gamma^2}{2\alpha\gamma}\sin(\alpha a)\sin(\gamma b)} $$

Так как $K$ должно быть действительным для распространяющихся состояний, разрешённые значения энергии определяются условием

$$ \boxed{|\cos Kd|\le 1.} $$

Это означает, что разрешённые зоны соответствуют тем энергиям, для которых правая часть дисперсионного уравнения лежит в пределах от $-1$ до $1$.

Если же правая часть по модулю больше единицы, то $K$ становится комплексным, и такая энергия относится к запрещённой зоне.

Рассматривается предельный случай предыдущей задачи:

$$ b\to 0, \qquad U_0\to \infty, $$

причём произведение

$$ bU_0=P $$

остаётся постоянным.

В этом пределе последовательность прямоугольных барьеров переходит в периодическую последовательность $\delta$-барьеров:

$$ U(x)=P\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-na). $$

Это и есть упрощённая модель Кронига–Пенни.

Берём формулу из задачи 7 для случая $E<U_0$:

$$ \cos K(a+b)=\cos(\alpha a)\cosh(\beta b) +\frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha a)\sinh(\beta b), $$

где

$$ \alpha=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad \beta=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. $$

При предельном переходе имеем:

$$ b\to 0, \qquad \beta\to \infty, \qquad \beta b\to 0, $$

причём

$$ \beta^2b \to \frac{2mP}{\hbar^2}. $$

Используем разложения при малых $b$:

$$ \cosh(\beta b)\approx 1, $$

$$ \sinh(\beta b)\approx \beta b. $$

Кроме того, $a+b\to a$. Тогда получаем

$$ \cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a). $$

Следовательно, дисперсионное уравнение имеет вид

$$ \boxed{ \cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a)}. $$

Если обозначить

$$ P_0=\frac{mP}{\hbar^2}, $$

то формулу можно записать так:

$$ \cos(Ka)=\cos(\alpha a)+\frac{P_0}{\alpha}\sin(\alpha a). $$

Разрешённые значения энергии определяются условием существования действительного $K$, то есть

$$ \boxed{\left|\cos(\alpha a)+\frac{mP}{\hbar^2\alpha}\sin(\alpha a)\right|\le 1.} $$

Это и есть условие разрешённых энергетических зон.

Удобно ввести безразмерную переменную

$$ z=\alpha a=\frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar} $$

и параметр

$$ \lambda=\frac{mPa}{\hbar^2}. $$

Тогда условие принимает вид

$$ \boxed{\left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1.} $$

Энергия выражается через $z$:

$$ E=\frac{\hbar^2z^2}{2ma^2}. $$

Границы разрешённых зон определяются уравнениями

$$ \cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}=\pm 1. $$

Разрешённые зоны энергии задаются неравенством

$$ \boxed{\left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1,} $$

где

$$ z=\frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad \lambda=\frac{mPa}{\hbar^2}. $$

Соответственно,

$$ E=\frac{\hbar^2z^2}{2ma^2}. $$

• Задача 5: волновые функции получаются сшивкой плоских волн слева и плоской/затухающей волны справа; при $E<U_0$ число частиц в забарьерной области

$$ N=\rho\,\frac{\hbar E}{U_0\sqrt{2m(U_0-E)}}. $$

• Задача 6:

$$ E_s=\hbar\omega\left(2s+\frac32\right), \qquad s=0,1,2,\dots $$

• Задача 7: для прямоугольного периодического потенциала спектр задаётся уравнениями Кронига–Пенни.

• Задача 8: в $\delta$-пределе разрешённые зоны определяются условием

$$ \left|\cos z+\lambda\frac{\sin z}{z}\right|\le 1. $$