Семинар 5. Электрическое и магнитное поля движущегося заряда. Формула Био–Савара. Принцип суперпозиции полей. Векторный потенциал

Заряд $Q$ движется с постоянной скоростью $\vec V$. Определить электрическое и магнитное поле в точках, удалённых от заряда на расстояние $\vec r$.

Перейдём в систему покоя заряда $K'$: там поле чисто кулоновское, $\vec E'=Q\vec r'/r'^3$, $\vec B'=0$. Пусть в лабораторной системе $K$ заряд движется вдоль оси $x$; обозначим $\vec r_1$ — радиус-вектор от текущего (в момент наблюдения) положения заряда до точки наблюдения, $\theta$ — угол между $\vec r_1$ и $\vec V$, $\beta=V/c$, $\Gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$.

Связь координат: $x'=\Gamma x_1$, $y'=y_1$, $z'=z_1$, откуда $$r'^2=\Gamma^2x_1^2+y_1^2+z_1^2=r_1^2\left[1+(\Gamma^2-1)\cos^2\theta\right]=\Gamma^2r_1^2\left(1-\beta^2\sin^2\theta\right).$$

Обратное преобразование полей (формулы (5.1) с заменой $V\to-V$ и штрихов местами), при $\vec B'=0$: $$E_x=E'_x,\quad E_y=\Gamma E'_y,\quad E_z=\Gamma E'_z,\quad B_x=0,\quad B_y=-\Gamma\frac Vc E'_z,\quad B_z=\Gamma\frac Vc E'_y.$$

Подставляя $E'_x=Q\Gamma x_1/r'^3$, $E'_{y,z}=Qy_1{,}z_1/r'^3$ и $r'^3=\Gamma^3r_1^3(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}$, все три компоненты $E$ собираются в одну формулу: $$\vec E=\frac{Q\vec r_1}{r_1^3}\cdot\frac{1-\beta^2}{\left(1-\beta^2\sin^2\theta\right)^{3/2}}.$$ Поле направлено радиально от текущего положения заряда (не запаздывающего!), но по модулю анизотропно: усилено в поперечном направлении ($\theta=90^\circ$) и ослаблено вдоль движения ($\theta=0$).

Для магнитного поля прямая проверка компонент $B_y,B_z$ показывает, что $$\vec B=\frac{\vec V}{c}\times\vec E.$$

$$\vec E=\frac{Q\vec r_1}{r_1^3}\cdot\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}},\qquad \vec B=\frac{\vec V}c\times\vec E,$$ где $\vec r_1$ — радиус-вектор от текущего положения заряда, $\theta$ — угол между $\vec r_1$ и $\vec V$.

Два заряда $q_1$ и $q_2$ расположены вдоль прямой, параллельной оси $oy$, и движутся параллельным курсом вдоль оси $ox$ со скоростью $v$. Расстояние между зарядами равно $d$. Найти силу взаимодействия между двумя зарядами.

Расстояние $d$ между зарядами перпендикулярно скорости, поэтому в формуле задачи 5.1 нужно взять $\theta=90^\circ$: $$E=\frac{q_1(1-\beta^2)}{d^2(1-\beta^2)^{3/2}}=\frac{q_1}{d^2\sqrt{1-\beta^2}}=\Gamma\frac{q_1}{d^2}\quad(\text{направлено вдоль }y).$$ Электрическая сила на $q_2$: $F_E=\Gamma q_1q_2/d^2$ (отталкивание, если заряды одного знака).

Магнитное поле от $q_1$ в месте $q_2$: $\vec B=\dfrac{\vec V}c\times\vec E$; так как $\vec V\parallel x$, $\vec E\parallel y$, получаем $B=VE/c$, направлено вдоль $z$. Сила Лоренца на $q_2$ (движется с той же скоростью $v=V$ вдоль $x$): $$F_B=\frac{q_2v}{c}B=\frac{q_2v}{c}\cdot\frac{VE}{c}=\frac{v^2}{c^2}\Gamma\frac{q_1q_2}{d^2}=\beta^2\Gamma\frac{q_1q_2}{d^2},$$ направлена противоположно $F_E$ (магнитное притяжение частично компенсирует электрическое отталкивание — релятивистский эффект).

Итоговая (результирующая) сила: $$F=F_E-F_B=\Gamma\frac{q_1q_2}{d^2}(1-\beta^2)=\frac{q_1q_2}{\Gamma d^2}.$$

Это согласуется с прямым релятивистским преобразованием силы: в системе покоя зарядов (сопутствующей обоим) расстояние $d$ не меняется (оно перпендикулярно скорости, лоренцева сокращения нет), сила там чисто кулоновская $F'=q_1q_2/d^2$, а поперечная компонента силы при переходе в лабораторную систему делится на $\Gamma$: $F=F'/\Gamma$.

$$F=\frac{q_1q_2}{\Gamma d^2}=\frac{q_1q_2}{d^2}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ — сила ослаблена (по сравнению с чисто кулоновской) в $\Gamma$ раз за счёт магнитного притяжения параллельных токов.

Заряд $Q$ движется к точке $x=0$ со стороны положительных значений $x$ со скоростью $\vec v$. В момент времени $t=0$ заряд достигает начала координат и меняет направление движения на обратное. Найти распределение электрического поля.

Информация об изменении скорости распространяется со скоростью света, поэтому в момент времени $t>0$ пространство делится сферой радиуса $R=ct$ с центром в начале координат на две области.

Вне сферы ($r>ct$). Сюда «весть» о повороте ещё не дошла: поле там такое же, как если бы заряд продолжал двигаться равномерно со старой скоростью $+v$ — то есть кулоновское поле (по формуле задачи 5.1), направленное радиально от фиктивной точки $x_+=vt$ (экстраполированное положение заряда, как будто разворота не было).

Внутри сферы ($r<ct$). Здесь уже «известно» об изменении: поле — такое же, как от заряда, равномерно движущегося с новой скоростью $-v$ с момента $t=0$, то есть кулоновское поле, направленное радиально от текущего (реального) положения заряда $x_-=-vt$.

Обе фиктивные точки $x_\pm=\pm vt$ лежат близко к центру (на расстоянии $vt\ll ct$ от него, так как $v<c$), то есть глубоко внутри переходной сферы. Поэтому на самой сфере $r=ct$ (в тонком переходном слое) силовые линии, идущие от $x_+$ снаружи, должны непрерывно «сшиться» с линиями, идущими от $x_-$ внутри — оба семейства почти радиальны и почти совпадают по направлению вдали от оси движения, но для сшивки на сфере каждая линия претерпевает излом с появлением поперечной (тангенциальной) составляющей поля. Этот излом и есть поле излучения: он максимален в направлении, перпендикулярном скорости ($\theta=90^\circ$), и обращается в нуль вдоль оси движения ($\theta=0,\pi$) — характерная дипольная диаграмма направленности тормозного излучения.

При $r>ct$ — кулоновское поле от точки $x=+vt$ (как будто разворота не было); при $r<ct$ — кулоновское поле от точки $x=-vt$ (истинное текущее положение). На сфере $r=ct$ — тонкий слой с изломом силовых линий (импульс излучения), максимальный в направлении, перпендикулярном скорости.

Определить напряжённость магнитного поля на оси кругового (радиус $r_0$) тока $I$. Изменится ли поле в центре кольца, если его согнуть по диаметру так, чтобы плоскости полуколец составляли прямой угол?

На оси кольца. Стандартный результат интегрирования закона Био–Савара по кольцу: $$B(z)=\frac{2\pi I r_0^2}{c\,(r_0^2+z^2)^{3/2}},\qquad B(0)=\frac{2\pi I}{cr_0}\equiv B_0\ (\text{в центре}).$$

Согнутое кольцо. Каждая из двух полуокружностей создаёт в общем центре $O$ (равноудалённом от всех точек обеих дуг на $r_0$) поле, равное половине поля целого кольца, направленное по нормали к своей полуплоскости: $$B_{1/2}=\frac12\cdot\frac{2\pi I}{cr_0}=\frac{\pi I}{cr_0}.$$ Так как ток течёт по кольцу непрерывно (без разрыва), нормали двух половинок теперь взаимно перпендикулярны, и полное поле — векторная сумма двух равных взаимно перпендикулярных вкладов: $$B=\sqrt{B_{1/2}^2+B_{1/2}^2}=B_{1/2}\sqrt2=\frac{\sqrt2\,\pi I}{cr_0}=\frac{B_0}{\sqrt2}.$$

$$B(z)=\frac{2\pi Ir_0^2}{c(r_0^2+z^2)^{3/2}},\qquad B(0)=\frac{2\pi I}{cr_0}.$$ При сгибании под прямым углом поле в центре уменьшается в $\sqrt2$ раз: $B=\dfrac{2\pi I}{cr_0\sqrt2}=\dfrac{\pi I\sqrt2}{cr_0}$.

Определить векторный потенциал $\vec A$ и магнитное поле $\vec B$ для длинного тонкого прямолинейного проводника с током $I$. Ток течёт в положительном направлении оси $oz$.

Из (5.9), интегрируя вклад бесконечно длинной нити тока (интеграл логарифмически расходится на бесконечности, поэтому берём его с обрезанием на характерном расстоянии $L$ — константа, определяемая выбором калибровки/системы отсчёта): $$A_z(\rho)=\frac{2I}{c}\ln\frac{L}{\rho}\hat z,$$ где $\rho$ — расстояние до провода (цилиндрическая система координат с осью $z$ вдоль провода). Поле: $$\vec B=\nabla\times\vec A=-\frac{\partial A_z}{\partial\rho}\hat\varphi=\frac{2I}{c\rho}\hat\varphi,$$ что в точности воспроизводит известный результат из теоремы о циркуляции (задача 6.1а) — силовые линии представляют собой окружности вокруг провода.

$$\vec A=\frac{2I}{c}\ln\frac L\rho\,\hat z\ (\text{с точностью до выбора }L),\qquad \vec B=\frac{2I}{c\rho}\,\hat\varphi.$$