1.31. Эффективным методом расчета оптических систем является матричный формализм (смотри предыдущую задачу). В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$ до оси и углом $\alpha = \frac{dx}{dz},$ между лучом и осью. Тогда точки $(x_1, \alpha_1)$ и $(x_2 , \alpha_2),$ являющиеся изображением друг друга (сопряженные точки), связаны матрицей $M_{12}$ оптического преобразования, причем $\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$ — отношению показателей преломления среды в точках 1, 2. Так, матрица пустого промежутка длиной $d$ есть $$\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$ а матрица тонкой линзы, помещенной в среду с $n = 1,$ имеет вид $$M_f=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac 1f & 1 \end{array}\right).$$ Используя матричный формализм: 1) получите «формулу тонкой линзы»; 2) найдите положение фокусов, главных плоскостей и фокусные расстояния «толстой» линзы и покажите, что $\frac 1a + \frac 1b = \frac 1f,$ где $a, b$ расстояния от предмета и изображения до входной и выходной главных плоскостей соответственно.

Запишем преобразование толстой линзы, с учётом знака для $R_2$ из рисунка:

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & \ell\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n-1}{-R_{2}} & \frac{n}{1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ \alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x'\\ \beta \end{array}\right).$$

Перемножим матрицы:

$$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & \ell\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n-1}{-R_{2}} & \frac{n}{1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n} \end{array}\right)= $$ $$ \left(\begin{array}{cc} 1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell & \ell n\\ -\frac{n-1}{R_{2}} & n \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1+\frac{1-n}{nR_{1}}d & \frac{d}{n}\\ \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n} \end{array}\right)=$$

$$\left(\begin{array}{c|c} \left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}} & \left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\frac{d}{n}+\ell\\ \hline -\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}} & -\frac{n-1}{R_{2}}\frac{d}{n}+1 \end{array}\right).$$

Найдём такой $\ell$ для которого $x'=0$ при $\alpha=0:$

$$\left(\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}\right)x=0,$$

тогда

$$\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}=0,$$ расписывая выражение $$\frac{n-1}{R_{2}}\ell\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{n-1}{R_{1}}=1+\frac{1-n}{nR_{1}}d,$$ собирая коэффициенты при $\ell$ $$\ell\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}}-\frac{n-1}{nR_{1}R_{2}}d\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{d}{nR_{1}}$$ и окончательно выражая: $$\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}.$$

Найдём $f_{2}$. Для этого сначала найдём угол после выхода луча из толстой линзы — $\alpha'=m_{21}\cdot x$. При этом, что бы произошло пересечение с главной оптической осью угол $\alpha'<0.$ Из геометрии распространения луча: $$x=-f_{2}\cdot\text{tg}\alpha'\approx-f_{2}\cdot\alpha',$$ следовательно $$-f_{2}^{-1}=m_{21}=-\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}}= $$ $$-\left(n-1\right)\left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}-\frac{d\left(n-1\right)}{nR_{1}R_{2}}\right).$$

Так как в $f_{2}$ радиусы обеих поверхностей входят симметрично, то запуская луч в обратную сторону придём к тому же результату так, что $f_{1}=f_{2}$.

Вычислим $h_{i}=f_{i}-\ell_{i},$ где $$\ell_{2}=\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)},$$ а $$\ell_{1}=R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}.$$

Итак

$$h_{1}=f_{1}-\ell_{1}=\frac{nR_{1}R_{2}}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}- $$ $$ R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=$$ $$\frac{R_{1}d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)},$$

если выразить через фокусное расстояние, то

$$h_{1}=\frac{(n-1)fd}{nR_{2}},$$

соответственно:

$$h_{2}=\frac{(n-1)fd}{nR_{1}}.$$