Это старая версия документа!

Считаем, что свет от источников когерентный. Рассмотрим интенсивность падающего на экран света:

$I\sim E^{2}=\left|E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right|^{2}=\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)^{*}=$

$\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{-i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{-i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)=$

$E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{1}E_{2}\left(e^{ik\left(l_{1}-l_{2}\right)}+e^{ik\left(l_{2}-l_{1}\right)}\right)=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)$

или

$I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)$.

Найдём разность расстояний пройденных лучами от щелей до экрана:

$l_{1}^{2}=L^{2}+(x-d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd$,

$l_{2}^{2}=L^{2}+(x+d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd$,

тогда, при условии, что $x,\,d\ll L$

$l_{2}-l_{1}=\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd}-\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd}\approx$

$\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\left(1+\frac{xd}{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\right)-\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\left(1-\frac{xd}{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\right)\approx\frac{2xd}{L}.$

Если $I_{1}=I_{2}=I_{0},$ то интенсивность можно записать в виде:

$I=2I_{0}\left(1+\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)\right)=2I_{0}\left(1+\cos\frac{2kxd}{L}\right)$

с учётом тригонометрического соотношения $2\cos^{2}\alpha=1+\cos2\alpha$:

$I=4I_{0}\cos^{2}\frac{kxd}{L}$

Расстояние между полосами \textemdash{} это расстояние, например, между максимумами интенсивности, а максимумы будут при

$\cos^{2}\frac{kxd}{L}=1$, т.е. при $\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m,$ тогда

$\Delta x=x_{m+1}-x_{m}=\frac{\pi L}{kd}=\frac{\lambda L}{2d}$