02

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:52:33+00:00

1.19. Используя теорему Гаусса, найти: а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$; б) поле плоского конденсатора; в) поле равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити с линейной плотностью $\varkappa$$a$$-\varkappa$$+\varkappa$$\sigma$$a$$\rho$$a$$\eta$$2a$$\rho$$a$$\rho$$b$$\ell$$(\ell+b

03

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:59:36+00:00

04

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T14:08:11+00:00

Найти потенциал $\varphi (x, y, z)$, если плотность заряда $\rho=\rho _0\sin(\alpha x) \sin(\beta y) \sin(\gamma z)$ . решение 1.49. Плоскость $z=0$ заряжена с плотностью $\sigma \left( {x,y} \right) = \sigma _0 \sin \left( {\alpha x} \right) \cdot \sin \left( {\beta y} \right)$, где $$\varphi (x ,y)$$0< x< d$$\varphi (0, y) = A \sin(\alpha y)$$\varphi (d, y)=\varphi _0 + B \sin(\alpha y)$$z$$a\times b$$U$$0$

05

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-09-20T10:05:36+00:00

1.27. Найти потенциал и напряженность поля диполя с дипольным моментом $\vec{p}$. решение 1.28. Найти силу и вращательный момент, приложенные к электрическому диполю с моментом $\vec{p}$$q$$\vec p \sim \vec E$$\vec{p}$$\vec{p}$$\sum\limits_iq_i=0$$\vec{d}$$\vec{P}' = 0$$\sum\limits_iq_i\ne 0$$a$$\sigma\!=\!\sigma _0\!\cos \theta$

06

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-26T03:31:18+00:00

07

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-04T07:53:33+00:00

2.1. Вывести граничные условия для электрического поля и индукции, если плотность свободных зарядов на границе равна $\sigma $. решение 2.2. Найти скачок нормальной составляющей $\vec{E}$$\varepsilon _1$$\varepsilon _2$$q$$\varepsilon $$\vec{E}$$\alpha$$q$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$R$$q$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$q$$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2\pi$$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$$a$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\vec{E}_0$…

08

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-01-22T03:02:45+00:00

2.10. Оценить ёмкость: а) металлической пластинки с размерами $h\ll a\ll\ell$ и б) цилиндра с $a\ll\ell$. решение 2.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$$a$$X$$S$$U$$\vec d _0$$h$$n_0$$a$$b$\[ \varepsilon \left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon _1, \mbox{ при } a \le r < c \\ \varepsilon _2, \mbox{ при } c \le r \le b \\ \end{array} \right., \]$a

09

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-04T15:13:36+00:00

2.22. Точечный заряд $q$ находится в вакууме на расстоянии $a$ от плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциал, напряженность электрического поля, распределение $\sigma$$\varkappa.$$q$$a$$\ell$$q$$\ell$$a<\ell$$Q$$a$$q_0.$$\ell$$q.$$a$$b>a$$q$$Q,$$q$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_1$$\sigma _{связ}$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2,$$q,$$a$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2 \to \infty,$…

10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-10-29T03:15:20+00:00

2.46. Какую работу следует совершить, чтобы совместить четыре одинаково заряженных тонких пластины, если известно, что при сложении двух таких пластин совершается работа $A$$S$$d$$\varepsilon$${\cal{E}}$$Q$$R$$\vec{p}_1$$\vec{p}_2$$\vec{r}$$\vec{p}$$a$$\varepsilon$${\cal{E}}$$\varepsilon$$\rho$$d$

11

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-11-02T01:51:41+00:00

3.1. На полый металлический цилиндр, радиус крышек-торцов которого равен $a$, падает параллельно оси цилиндра однородный поток электронов. Заряд электрона $e$$v$$n$$j_{1,2}(R)$$m$$q$$v_0$$\vec{E}$$\ell$$j_0$$\sigma$$\varepsilon$$Q$$e$$\sigma_1$$\sigma_2$$a,b$$\sigma(r)=\alpha r^n$$U(a)=0,$$U(b)=U_0$$a$$b$$\sigma$$\alpha_0$$U$$j(r)$$E$$U$$\ell_1, \ell_2$$\varepsilon_1, \varepsilon_2$$\sigma_1, \sigma_2$$a$$\sigma_1=\text{const}$$b$$\sigma_2$$a_1$$a_2$$\ell\gg a_1, a_2$$\sigma$$\ell\gg a\gg h$$r\…

12

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-11T07:24:24+00:00

13

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-25T03:17:20+00:00

4.1. Найти поле на оси и в центре кругового витка радиуса $a$ с током $J$. Используя полученный результат, найти: * поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны под углами $\alpha_1, \alpha_2$$n$$a$$Q$$\omega$$h$$R$$N.$$J.$$i=\text{const}$$b$$a$$J$$a$$b$$d\,\,(b>a+d)$$J$$N,$$J,$$J.$$J$$\sigma $$a.$$\sigma = \text{const}$$a,$

14

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-11-28T02:49:45+00:00

4.15. Вычислить векторный потенциал: 1) однородного поля в координатах: а) декартовых, б) цилиндрических, в) сферических; 2) поля прямого тока; $\omega$$e$$a$$\vec{m}_1$$\vec{m}_2$$\vec{m}_1\parallel\vec{m}_2$$q_1,q_2$$a_1,a_2$$\omega_1,\omega_2$$\vec{\omega}_1,\vec{\omega}_2$$\vec{\ell}$$(\ell\gg a_1,a_2)$$m,$$e.$

15

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-04T02:54:59+00:00

5.1. В пространстве, заполненном магнетиком с проницаемостью $\mu_1$, расположен бесконечный прямолинейный проводник с током $J$ вдоль оси $Z$. Проводящая сфера с центром в начале координат (радиус $a$$\mu_2$$\vec{B}$$\vec{H}$$a$$\mu_1$$\mu_2$$J$$\vec{H}$$\vec{B}$$J$$a,b$$(a\!<\!b)$$\mu_1$$\mu_2$$\vec{B}$$J$$Z$$\alpha_1,$$\alpha_2,$$\alpha_3,$$(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2\pi).$$\mu_1,\mu_2,\mu_3.$$\mu$$\vec{H}_0$$a$$\mu_1$$\vec{m}$$\vec{j}_\text{мол}$$\mu_2$$a,$$\mu .$$\vec{H}_0$$\mu_1$$\mu_2…

16

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-08T16:15:26+00:00

6.1. Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек с радиусами $a

17

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-23T02:23:43+00:00

6.23. Внутри сверхпроводящего бесконечного цилиндра с сечением $S_1$ расположены аксиально симметрично бесконечный соленоид с сечением $S_2$ и вокруг него одиночный измерительный виток с площадью $S_3$$H$$a\times b$$P$$a\times b$$H_0$$h(t)$$(h\gg a,b)$$L$$J$$\vec{H}_0$$J'$$S$$\vec{H}_0$$\theta$$L$$\Phi_0$$B$$R$$J$$N$$\ell$$a$$(\ell\gg a)$$m$$\ell$$\tau$$H_1$$H_1=5$$H_0=1$$\tau=10^{-6}$$m/\ell=1$$\ell$$S$$\ell \gg \sqrt{S}$$\rho ,$$v_0,$$L\gg \ell$$H_0.$…

18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-23T02:23:16+00:00

6.35. По катушке сверхпроводящего соленоида течет постоянный ток $J$. Катушка совершает малые колебания по закону $\ell\!=\!\ell_0\!+\!a\cos\omega t$. При этом на зажимах ее возникает переменное напряжение. Какой амплитуды переменный ток той же частоты $\omega$$\ell=50$$r_1=2$$r_2=5$$\tau=10^{-6}$$B_0=-5$$B_1=+5$$1,6\cdot10^{-12}$$P$$\ell$$C$$\vec{B}$$\omega$$B$$S$$\omega$$\vec{H}$$\ell$$a$$H_0$$\omega$$\vec{H}_0$$R$$L$$J(t),$$N$$n,$$S$$N = 1$$R$$C$$S.$$T$$(\dot B = \text{const}).$$a$$b$$J=J_0\s…

19

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-20T14:24:56+00:00

6.76. Полупространство $Z\geq 0$ заполнено проводником с проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью $\mu$. Параллельно плоскости $Z=0$ имеется электрическое поле $\vec{E}=\vec{E}_0e^{-i\omega t}$$\overline{W}=\int \limits_0^\infty(\overline{\vec{j}\vec{E}})dz$$\infty$$Z$$1\times 1$$Z\geq 0$$\sigma$$Z=0$$E_0$$E_1$$\omega$$10\omega$$\overline{W}$$Z$$a,$$b,$$2\ell$$($$a \ll b, \ell)$$\sigma $$\omega $$\ell$$a$$\sigma$$\mu=1$$a$$\sigma$$\mu$$H(t)=H_0e^{-i\omega t}$$\omega$$a$$\mu$$\sigma$$\de…

20

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-12T09:29:51+00:00

electrodynamics

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-11-21T02:38:51+00:00

Задачи по электродинамике * Закон Кулона. Поле и потенциал точечного заряда. Принцип суперпозиции. Немного теории, а теперь задачи * Теорема Гаусса. Немного

exam

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-01-27T14:36:37+00:00

* Найти поле заряженного металлического шара над бесконечной металлической плоскостью, * Найти емкость сферического конденсатора через потенциальные коэффициенты,$2n+1$$\alpha$$n$$(2n+1)\alpha \leq \frac \pi 2$

int6.9

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-05T01:26:14+00:00

Вычисление интеграла Автор профессор Владимир Вениаминович Иванов [профессор Владимир Вениаминович Иванов] Каждый интеграл, имеющий физическое происхождение, математиком воспринимается с трепетом и почтением. Например, изучение потока некоего магнитного поля через поперечное сечение тора сводится к вычислению интеграла $$ I(\beta) = \int\limits_{- 1}^1 \frac{\sqrt{1 - t^2}}{1 + \beta t} dt, $$$ |\beta| \le 1. $$ \beta, $$$ I(\pm 1) = \pi \qquad и \qquad I(0) = \frac{\pi}{2}. $$$ I(\beta) $$ 0 …

nabla

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-02-09T00:53:00+00:00

Оператор "набла", определение Оператор «набла» в декартовых координатах: $$ \nabla=\vec{e}_{x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_{y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial}{\partial z}. $$ Через оператор «набла» записывается градиент: $$ \text{grad } u = \nabla u = \vec{e}_{x}\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e}_{y}\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial u}{\partial z}, $$ дивергенция, через скалярное произведение оператора и вектора: $$ \text{div } \vec a = (\…

res1.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:37:09+00:00

1.3. Три одинаковых частицы имеют массу $m$ и заряд $-q$ каждая. Расстояние между каждой парой $a$. Они движутся на неизменном расстоянии вокруг центральной частицы, заряд которой равен $+q$$m$$q$$a$$h$$ h = \sqrt{a^2 - \frac{{a^2 }}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} $\[ \vec{F}_{\Sigma}=\vec{F}_1+\vec{F}_2-\vec{F}_3=\left[2F_1\cos(\pi/6)-F_3\right]\vec{e}_r, \]$\vec{e}_r$\[ F_1=\frac{q^2}{a^2},\;\;F_3=\frac{q^2}{(2/3h)^2} \]\[ F_\Sigma = \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 - \frac{{3q^2 }}{{a^2…

res1.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:38:28+00:00

1.4. Заряды $-q_1$ и $q_2$ закреплены в точках $A$ и $B$, $AB = a$. Частица массы $m$ с зарядом $q$ летит вдоль прямой $AB$. Какую скорость ${v}$ должна иметь эта частица на большом расстоянии от зарядов, чтобы достичь точки $A$$x$$A$$x$$0$$A$$0$\[ F = \frac{{qq_2 }}{{\left( {x + a} \right)^2 }} - \frac{{qq_1 }}{{x^2 }} = 0 \]$$ \frac{\sqrt{q_{2}}}{x+a}=\frac{\sqrt{q_{1}}}{x} $$$$ \sqrt{q_{2}}x=\sqrt{q_{1}}(x+a) $$$$ x=a\frac{\sqrt{q_{1}}}{\sqrt{q_{2}}-\sqrt{q_{1}}} $$\[ \frac{{mv_0^2…

res1.14

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:42:59+00:00

1.14. Полусфера радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал в некоторой точке экваториальной плоскости, отстоящей на расстоянии $a$$A$\[ \varphi = \varphi _A^+ + \varphi _B^- \]$\varphi _A^ +$$A$$\varphi _B^{-}$$B$$\varphi _A = \varphi _B$$\varphi = 2\varphi _A$$\varphi = const = \varphi _0$$\varphi _A = \frac{{\varphi _0 }}{2}$\[ \varphi _{\text{внешн}} = \frac{{\sigma 4\pi R^2 }}{a} \]\[ \varphi _{\text{внешн}}^{(\frac{1}{2})}…

res1.15

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:42:31+00:00

1.15. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического поля: а) на оси $Z$ круглого тонкого диска радиуса $R$; б) равномерно заряженной бесконечной плоскости; $Z$$R$$z=0$$\sigma$$r$$dr$$d\ell~=~r\,d\alpha$$$dq=\sigma d\ell\,dr=\sigma r\,dr\,d\alpha.$$$z$$\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}$$r$$dr$$$ d\varphi=\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}. $$$$ \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big), $$$$ E_z=-\frac{\partial…

res1.19

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:45:06+00:00

1.19. Используя теорему Гаусса, найти: а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$; б) поле плоского конденсатора; в) поле равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити с линейной плотностью $\varkappa$$S$$\vec E$$\oint \limits_S (\vec E\cdot d\vec S) = \oint \limits_S E_n dS = 4\pi q$$4\pi$$q$$\vec E$$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\cdot S) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\sigma \cdot S).$$$E = 2\pi \sigma $$z=0$$$\vec E = 2\pi \sigma \frac{\vec z}{|z|}.$$$$\left|\ve…

res1.20

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:46:53+00:00

1.20. Найти величину и направление сил, действующих на единицу длины для каждой из трех параллельных бесконечных прямых нитей, находящихся друг от друга на расстоянии $a$$-\varkappa$$+\varkappa$$E=\frac{2\varkappa}{a}$$$ E_ + = \frac{{2\varkappa }}{a} \cdot (2\cdot \cos 60^{\circ}) = \frac{{2\varkappa }}{a} \cdot (2\cdot \frac 12) = \frac{{2\varkappa }}{a}, $$$$ E_ - = \frac{{2\varkappa }}{a} \cdot (2\cdot \cos 30^{\circ}) = \frac{{2\varkappa }}{a} \cdot (2\cdot \frac{\sqrt{3}}2) = \frac{{2\…

res1.21

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:47:38+00:00

1.21. Вывести граничные условия для нормальных компонент электрического поля и соответствующих производных потенциала, если граница заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$${\rm E}_{{\rm 2n}} - E_{1n} = 4\pi \sigma$$\vec n$$$ \frac{{\partial \varphi _1 }}{{\partial n}} - \frac{{\partial \varphi _2 }}{{\partial n}} = 4\pi \sigma.$$

res1.23

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:49:35+00:00

1.23. Используя теорему Гаусса, найти поля равномерно заряженных: а) шарика радиуса $a$ с объемной плотностью $\rho$; б) бесконечного цилиндра радиуса $a$$\eta$$2a$$\rho$$\vec{E}$$\vec{E}$$R$$$ \Phi=\oint\limits_{S}(\vec{E}\,d\vec{s})= E\oint\limits_{S}ds=E\cdot4\pi R^2, $$$\vec{E}$$\vec{R}$$\Phi=-E\cdot 4\pi R^2,$$\vec{E}$$\vec{R}$$\vec{E}$$d\vec{s}$$$ 4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 \qquad\mbox{при}\qquad R\le a $$$$ 4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{…

res1.24

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:50:38+00:00

1.24. Внутри шара радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с плотностью $\rho$, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой $b$, а центр отстоит от центра шара на расстоянии $\ell$$(\ell+b

res1.25

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:52:49+00:00

1.25. Два очень больших металлических листа, расположенных один над другим, имеют поверхностную плотность зарядов $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Найти поверхностные плотности зарядов на внешних $\sigma' _1$$\sigma' _2$$\sigma'' _1$$\sigma'' _2$$\vec E$$0$$\vec E$\[ 4\pi \left( {\sigma ''_1 + \sigma ''_2 } \right)=0, \]$\sigma ''_1 =- \sigma ''_2$$E=4\pi \sigma '_1$$E=4\pi \sigma '_2$$\sigma '_1=\sigma '_2$\[ \sigma '_1 + \sigma ''_1 = \sigma _1. \]\[ {\sigma '_2 + \sigma ''_…

res1.27

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-19T15:26:22+00:00

1.27. Найти потенциал и напряженность поля диполя с дипольным моментом $\vec{p}$. ---------- Рассмотрим два одинаковых по величине и разных по знаку заряда, находящихся на расстоянии $a$\[ \varphi = q\left( {\frac{1}{{r_1 }} - \frac{1}{{r_2 }}} \right) . \]$r_1, r_2 \gg a.$$\vec a +\vec r_1=\vec r_2$$$ \frac 1{r_2}=\frac 1{\sqrt{(\vec r_2)^2}}=\frac 1{\sqrt{r_1^2+2(\vec r_1 \cdot \vec a) + a^2}}\approx \frac 1{r_1}\left( 1-\frac{(\vec r_1 \cdot \vec a)}{r_1^2}\right), $$\[ \varphi = \f…

res1.28

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-19T15:27:01+00:00

1.28. Найти силу и вращательный момент, приложенные к электрическому диполю с моментом $\vec{p}$ в поле точечного заряда $q$. ---------- Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда $q$$q$\begin{equation} (1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}), \end{equation}$\vec{E_1}$$q$$-Q$$\vec{E_2}$$\vec{E_2}$$$ \vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$$$\vec{E}(\vec{R})+ \ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\; \ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partia…

res1.29

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-09-17T17:10:24+00:00

1.29. Найти силу, действующую на диполь в слабонеоднородном электрическом поле. А если диполь квазиупругий (т.е. $\vec p \sim \vec E$)? ---------- В сила, действующая на диполь в неоднородном поле является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны неоднородного поля: \begin{equation} (1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}), \end{equation}$\vec{E_1}$$-Q$$\vec{E_2}$$\vec{E_2}$$$ \vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$$$\vec{E}(\vec{R})+ \el…

res1.31

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-19T15:29:00+00:00

1.31. Найти уравнение силовых линий точечного диполя с дипольным моментом $\vec{p}$, помещенного в начале координат. Нарисовать примерный вид силовых линий.$\vec {d\ell}$$\vec E$$[\vec d\ell \times \vec E]=0$$x$$dy\cdot E_z - dz\cdot E_y=0$\[ \frac{{dy }}{{E_y }} = \frac{{dz }}{{E_z }}. \]$z$$\vec E$\[ \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \]$h_r = 1$$h_\theta = r$$h_\phi = r\sin \theta$$\phi $\[ (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} …

res1.32

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-19T15:28:06+00:00

1.32. а) Показать, что дипольный момент $\vec{p}$ электрически нейтральной системы зарядов $\sum\limits_iq_i=0$ не меняется при смещении начала координат. б) При каком выборе вектора смещения $\vec{d}$$\vec{P}' = 0$$\sum\limits_iq_i\ne 0$$i$$q_i$$\vec{R}_i$$\vec{P}=\sum\limits_i q_i\vec{R}_i$$\vec{d}$$\vec{R}_i'=\vec{R_i}-\vec{d}$$$ \vec{P}\,'=\sum_iq_i\vec{R}_i'= \sum_iq_i(\vec{R_i}-\vec{d})= \sum_iq_i\vec{R_i}-\vec{d}\sum_iq_i=\vec{P}, $$$\sum\limits_iq_i=0$$\vec{P}\,'=0$$$ \vec{d}= \frac…

res1.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-19T15:29:33+00:00

1.33. Сфера радиуса $a$ заряжена по поверхности по закону $\sigma\!=\!\sigma _0\!\cos \theta$. Найти потенциал и электрическое поле во всем пространстве. ---------- Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$$$\Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\t…

res1.42

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T10:50:22+00:00

1.42. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды $q$, $-2q$, $q$ расположены на оси $Z$ на расстоянии $a$$\pm q$$X$$Y$$+q$$\vec{OZ}$$z=0$$q_2=-2q$$z_1=-a$$z_3=a$\[ D_{zz} = \sum {q_i } \left( {3z_i^2 - r_i^2 } \right) = q(3a^2-a^2) -2q(0-0) + q(3a^2-a^2) = 4qa^2 = D, \]\[ D_{xx} = D_{yy} = - \sum {q_i r_i^2 } = - 2qa^2. \]\[ \varphi = \frac{{D_{\alpha \beta } n_\alpha n_\beta }}{{2R^3 }}, \]$\vec R$\[ n_x = \sin \theta \cos \phi…

res1.43

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T10:50:53+00:00

1.43. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя и нарисовать примерную картину силовых линий. ---------- Выберем систему координат так, что линейный квадруполь располагается вдоль оси $z$$\vec E$\[ \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \]$h_r = 1$$h_\theta = r$$h_\phi = r\sin \theta$$\phi $\[ (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta }} \]$$ \varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\rig…

res1.44

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-22T05:29:41+00:00

1.44. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от линейного октуполя. ---------- Рассмотрим сферическую систему координат с нулевым углом $\theta$$\phi$$\frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}$$r^2=x^2+y^2$$b \ll z$$$ \frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}\approx \frac{1}{R}+\frac{zb}{R^{3}}+\frac{\left(-R^{2}+3z^{2}\right)b^{2}}{2R^{5}}+\frac{\left(-3R^{2}+5z^{2}\right)zb^{3}}{2R^{7}}+O(b^4). $$$$ D_{zz}=D_{xx}=D_{yy}=D_{xy}=D_{xz}=0, $$$$ \varphi = \frac{-q}{\sqrt{z^2+r^2}}+\frac{3q}{\sqrt{(z…

res1.45

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T10:52:11+00:00

1.45. Оцените потенциал $2^n-$мультиполя, занимающего область с характерным размером $a$ на большом расстоянии от него. ---------- Сравнивая потенциал$\varphi \sim \frac 1r$$2^1-$$\varphi \sim \frac 1r\cdot \frac ar$$2^2-$$\varphi \sim \frac 1r\cdot (\frac ar)^2$$2^3-$$\varphi \sim \frac 1r\cdot (\frac ar)^3$$2^n-$$\varphi \sim \frac 1r\cdot (\frac ar)^n$

res1.47

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:58:26+00:00

1.47. Используя уравнение Пуассона, симметрию задачи, конечность и непрерывность потенциала и его производной, найти потенциал: а) шара радиуса $a$$\rho$$a$$\eta$$2a$$\rho$$\varphi $$\Delta\varphi_1=-4\pi\rho$$R\leq a$$\Delta\varphi_2=0$$R\geq a$$$ \frac{1}{R^2}\frac{\partial}{\partial R} \biggl(R^2\frac{\partial\varphi_1}{\partial R} \biggr)=-4\pi\rho, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a, $$$$ \frac{\partial}{\partial R} \biggl(R^2\frac{\partial\varphi_2}{\partial R} \biggr)=0, \hsp…

res1.48

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T13:59:19+00:00

1.48. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов $r_1$ и $r_2$, разность потенциалов между которыми равна $U$. ---------- Так как между обкладками отсутствует заряд, то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: \[ \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}} \right) = 0. \]\[ r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = A, \]\[ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r}. \]\[ \varphi = A\ln r + B \]$A$\[ \varphi _2 - \varphi _1 = A\ln…

res1.49

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T14:04:33+00:00

1.49. Плоскость $z=0$ заряжена с плотностью $\sigma \left( {x,y} \right) = \sigma _0 \sin \left( {\alpha x} \right) \cdot \sin \left( {\beta y} \right)$, где $\sigma_0,\alpha,\beta$ -- постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов.$\varphi$\begin{equation} \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=0. \end{equation}\begin{equation} E_{2z}\big |_{z=0}-E_{1z}\big |_{z=0}=4\pi\sigma. \end{equation}$\sigma$$x$$y$\be…

res1.51

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:34:57+00:00

1.51. Незаряженный металлический шар радиуса $a$ вносится в электрическое поле, которое при отсутствии шара было однородным и равным $\vec{E}_0$. Определить результирующее поле и плотность поверхностных зарядов на шаре. Что изменится, если заменить шар цилиндром, ось которого перпендикулярна полю?$Z$$\theta$$\vec{E}_0$$ \Delta\varphi=0.$$$\Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\…

res2.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:35:54+00:00

2.1. Вывести граничные условия для электрического поля и индукции, если плотность свободных зарядов на границе равна $\sigma $. ---------- Из интегральной форма уравнений Максвелла:\begin{equation} \iint \limits_S D_n dS=4\pi q_\text{своб}\,,\,\,\oint E_\ell\,d\ell=0\,, \end{equation}$q_\text{своб}$\begin{equation} D_{2n}|-D_{1n}|=4\pi\sigma_\text{своб}\,, \mbox{или}\,\,\varepsilon_2 E_{2n}|-\varepsilon_1 E_{1n}|=4\pi \sigma_\text{своб}\,\,, E_{1\tau}|=E_{2\tau}|\,. \end{equation…

res2.2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:36:52+00:00

2.2. Найти скачок нормальной составляющей $\vec{E}$ сред с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon _1$, $\varepsilon _2$, а также плотности связанных зарядов по обе стороны границы.$D_{1n}=D_{2n}$$\varepsilon_2 E_{2n}=\varepsilon_1 E_{1n}$$$E_{2n}- E_{1n}=E_{1n} (\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}-1)=4\pi \sigma _{связ}.$$$$ \sigma _1=\frac{\varepsilon_1-1}{4\pi}{E_{1n}}, $$$$\sigma _2=-\frac{\varepsilon_2-1}{4\pi}E_{2n}=\frac{1-\varepsilon_2}{4\pi}\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}E_{1n…

res2.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:37:21+00:00

2.3. Найти силу, действующую на малый заряд $q$, помещенный в бесконечную узкую щель в диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon $, если диэлектрик находится во внешнем электрическом поле $\vec{E}$$\alpha$$\vec E'$$\vec E.$$D_n'=D_n$\[ E_n ^\prime = \varepsilon E_n = \varepsilon E \sin \alpha, \]\[ E'_t = E_t = E \cos \alpha . \]\[ E' = \sqrt{(E_n')^2+(E_t')^2} = E \sqrt {\varepsilon ^2 \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha }, \]\[ F = qE'= qE \sqrt {\varepsilon ^2 \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \…

res2.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:37:55+00:00

2.4. Точечный заряд $q$ расположен на плоской границе раздела двух однородных бесконечных диэлектриков с проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. Найти напряженность и индукцию электрического поля, а также его потенциал.$\varphi$$R$$\theta$$z=0$$E_{1\tau}|_{z=0}=\negthickspace E_{2\tau}|_{z=0}$$\varphi_1|_{z=0}=\varphi_2|_{z=0}$$D_{1n}|_{z=0}=D_{2n}|_{z=0}\;$$\text{div}\vec{D}=4\pi\rho$$\rho$$$\varphi_1=a_1\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\leq 0,$$$$\varphi_2=a_2\frac{q}{R} \qquad …

res2.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:38:37+00:00

2.5. Центр проводящего шара радиуса $R$ (заряд $q$) находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с проницаемостями $\varepsilon_1$$\varepsilon_2$\[ \varphi _{1,2} = \frac{2}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\frac{q}{R},\;\; \]\[ E_n = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}|_{r=R} = 4\pi (\sigma _{\text{своб.}} + \sigma _{\text{связ.}}) \]\[ D_{n_i} = \varepsilon _{i} E_n = 4\pi \sigma _{\text{своб.}} \]\[ D_{in} = - \varepsilon _{i} \frac{{\partial …

res2.6

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:40:28+00:00

2.6. От прямой, на которой находится точечный заряд $q$, расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ таких, что $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2\pi$$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$\[\varphi_i=a_i \frac{q}{r}.\]\[\varphi _1 = \varphi _2 = \varphi _3\]$\varphi_i = \frac{{cq}}{r}$\[ \int {(\vec D \cdot d \vec s) = 4\pi q}. \]$R$$S = 4\pi R^2 $$R$$z$$\alpha _i$\[ S_{{сег}_i} = \frac{\alpha _i}{{2\pi }}4\pi R^2=2\alpha …

res2.8a

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-24T14:42:03+00:00

2.8. a) Однородный шар радиуса $a$ с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$ погружен в однородный неограниченный диэлектрик $\varepsilon_2$. На большом расстоянии от шара в диэлектрике имеется однородное электрическое поле $\vec{E}_0$$\Delta\varphi=0$$Z$$\vec{E}_0$$R\geq a\,$$$ \varphi_2=-E_0z+A_2\frac{\vec{E}_0\vec{R}}{R^3}= -E_0R\cos\theta+A_2\frac{E_0\cos\theta}{R^2}. $$$-E_0z\,$$\sim E_0$$R\leq a$$$ \varphi_1=C_1E_0z\equiv C_1E_0R\cos\theta\;, $$$\vec{E}_0$$C_1$$A_2$$\varphi_1$$\var…

res2.10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-08T07:40:47+00:00

2.10. Оценить ёмкость: а) металлической пластинки с размерами $h\ll a\ll\ell$ и б) цилиндра с $a\ll\ell$. ---------- а) Рассмотрим потенциал пластины на расстояниях $x \gg \ell$. На этом расстоянии можно всю пластину считать точкой и хорошим приближением к потенциалу является кулоновский потенциал точечного заряда \[ \varphi _1 (x) \approx \frac{q}{x} \]$x$$a \ll x \ll \ell$\[ \varphi _2 (x) \approx - 2\frac{q}{\ell}\ln \frac{x}{a} + A, \]$A$$x \ll a $$ h$\[ \varphi _3 (x) =…

res2.11

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-06T08:53:38+00:00

2.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$, где $a$ --- расстояние между обкладками, ось $X$ направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых $S$$U$\[ \text{div}\vec D = 4\pi \rho_\text{своб}=0. \]$x$$\vec E\;\; \text{и}\;\;\vec D$$x$$E\;\; \text{и}\;\;D $$D= const $\[ D_{2n}-D_{1n} =4\pi \sigma_{\text{своб}} \]$D_{1n}=0$\[ D=4\pi\sigma_{\text{своб}}=\frac{4\pi Q}S, \]\[ E=\frac{D}{\vareps…

res2.12

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-06T08:54:25+00:00

2.12. Внутрь разомкнутого конденсатора мгновенно вставляют электрет--брусок, состоящий из частиц с дипольными моментами $\vec d _0$, ориентированными одинаково и ортогонально пластинам конденсатора, расстояние между которыми $h$$n_0$$\vec{P}$$\vec{P}=n_{0}\vec{d}_{0}$$n_{0}$$\vec{d}_{0}.$$\vec{D}=\vec{E}+4\pi\vec{P}.$$\vec{E}_{0}=0,$$D_{2n}-D_{1n}=D-0=4\pi\sigma=0,$$D=0$$E=-4\pi n_{0}d_{0},$$$U=Eh=4\pi n_{0}d_{0}h.$$…

res2.13

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-06T08:54:52+00:00

2.13. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок $a$ и $b$ диэлектрическая проницаемость меняется по закону \[ \varepsilon \left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon _1, \mbox{ при } a \le r < c \\ \varepsilon _2, \mbox{ при } c \le r \le b \\ \end{array} \right., \] где $a

res2.14

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-06T08:55:17+00:00

2.14. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла $\Omega$ с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок $a$$b$$\varepsilon$$\vec E$$\vec r$$\Delta \varphi =0$$\Omega $$\vec E_i,$$\vec D_i$$i\in \{1, 2\}.$$E_{t1}=E_{t2}.$$$ \int \limits _{L_1}(\vec E_1 \cdot d \vec \ell)=\int \limits _{L_2}(\vec E_2 \cdot d \vec \ell) ,$$$L_i$$D_{n1}=D_{n2}$$$ 4\pi q=\oint\limits_{S_1+S_2}(\vec{D}\,d\vec{s})=\int \limits_{S_1}\vare…

res2.15

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-06T08:55:43+00:00

2.15. Найти взаимную ёмкость двух шаров радиуса $a$, если расстояние между их центрами равно $b\gg 2a$. ---------- Для поиска взаимной емкости необходимо поместить на каждый из шаров одинаковый (по модулю) заряд и посчитать емкость полученного $q_1 = - q_2$\[ \begin{split} \varphi _1 &= q_1 \left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{{b - a}}} \right),\\ \varphi _2 &= q_1 \left( {\frac{1}{{b - a}} - \frac{1}{a}} \right) . \end{split} \]\[ \varphi _1 - \varphi _2 = 2q_1 \left( {\frac{1}{a} - \…

res2.18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-09-28T02:56:29+00:00

\[ U\left( x \right) = Ex \] \[ U_m = E\left( {d - h} \right) \] \[ C = C_1 + C_2 = \frac{S}{{4\pi d_1 }} + \frac{S}{{4\pi d_2 }} = \frac{S}{{4\pi }}\left( {\frac{1}{{d_1 }} + \frac{1}{{d_2 }}} \right) \] \[ \frac{q}{U} = C \] \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {Q_A - Q_C = Q_B } \\ {Q_A + Q_C = Q + Q_B } \\ \end{array}} \right. \] \[ \begin{array}{*{20}c} {q = CU} \\ {Q = \frac{S}{{4\pi }}\left( {\frac{1}{{d_1 }} + \frac{1}{{d_2 }}} \right)U + Q_B } \\ \end{array} \] \[ Q_…

res2.22

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-02T02:32:59+00:00

В верхнем полупространстве потенциал поля, создаваемого зарядом $q$ и индуцированными зарядами на проводнике, можно представить как потенциал поля, создаваемого зарядом $q$$q'=-q$$q$$q'$$A$\begin{equation} (1) \hspace{10pt} \varphi=q\biggl(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\biggr), \hspace{10pt} \mbox{при}\hspace{10pt} z\geq 0\,. \end{equation}$(r_+=r_-)$$q$$(-q)$$$ \Delta\varphi =- 4\pi \sum q_i\delta(\vec{r}-\vec{r_i}) $$$z\geq 0$$\delta(\vec{r})\;$$\varphi(\vec{r})=0\;$$z=0$$$ \vec{E}=\frac{q\vec{r…

res2.23

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-04T15:11:51+00:00

Как и в задаче 2.22 воспользуемся методом изображений и поместим изображение нити с зарядом $\varkappa$ на таком же расстоянии от границы раздела, тогда поле над поверхностью описывается формулой $\vec{E}=\frac{2\varkappa}{r_{1}^{2}}\vec{r}_{1}-\frac{2\varkappa}{r_{2}^{2}}\vec{r}_{2}$$\vec{r}_{1}=\vec{R}-\vec{h}$$\vec{r}_{2}=\vec{R}+\vec{h}$$\vec{R}$$z$$r_{1}=r_{2}$$dF=E_{2}\,dq$$dq=\varkappa\,dl,$$$ f=\frac{dF}{dl}=\frac{-2\varkappa^{2}}{2h}=-\frac{\varkappa^{2}}{h} $$$$ \vec{E}=\frac{2\varkapp…

res2.27

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-22T02:44:34+00:00

а) Сфера заземлена. Заряд вне сферы. Если сфера заземлена, потенциал сферы равен нулю: ${\varphi(a)=0}$. Как показано в задаче 1.10, в системе двух разноименных зарядов имеется сферическая эквипотенциальная поверхность нулевого потенциала. Если заряд $q$$\ell$$a$$$ q'=-\frac{qa}{\ell}, $$$$ \ell'=\frac{a^2}{\ell} $$$q$$q$$q'$$$ \varphi=\frac{q}{r}-\frac{a}{\ell}\frac{q}{r'} \qquad \mbox{при} \qquad R\geq a\,, $$$$ \vec{E}=\frac{q\vec{r}}{r^3}-q\frac{a}{\ell}\frac{\vec{r}'} {r'^3} \qquad \mbox{…

res2.28

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-03T11:14:37+00:00

Сила взаимодействия заряженной сферы с зарядом $q$ есть сила, с которой действует сфера на заряд $q$. Эта сила равна $$ \vec{F}=q\vec{E}(\ell), $$ где $\vec{E}(\ell)$ --- напряженность электрического поля, которая создается заряженной сферой на месте заряда $q$$\vec{E}(\ell)\,$$q'=\frac{-qa}{\ell}\,$$\ell'=\frac{a^2}{\ell}\,$$(-q')$$q'$$(-q')$$$\vec{E}(\ell)= \biggl[\frac{\bigl(Q+qa/\ell\bigr)}{\ell^2}- \frac{qa/\ell}{(\ell-\ell\,\acute{}\;)^2}\biggr] \frac{\vec{\ell}}{\ell}= \biggl[\f…

res2.29

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-05T03:34:16+00:00

2.29. В металлическом изолированном шаре радиуса $a$ имеется сферическая полость, в центре которой закреплен заряд $q_0.$ Вне шара на расстоянии $\ell$ от его центра расположен второй заряд $q.$$\Phi _{внутри}= \oint \limits _S (\vec E \cdot d\, \vec s)$$\vec E$$\Phi = 0$$q_0'=-q_0$$\Phi _{снаружи}= \oint \limits _S (\vec E \cdot d\, \vec s) = 4\pi q_0$$q'=-q\frac al$$l'=\frac{a^2}{l}$$q''=q\frac al$$Q=q_0$$$ F=\frac{q_0q}{\ell^2}- \frac{q^2a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell^3(\ell^2-a^2)^2}. $$…

res2.32-1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-25T10:00:00+00:00

$$ \frac{\partial \varphi }{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\left.\left(\frac{q}{\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}}-\frac{q}{\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)}}+\right.\right. $$ $$ \left.\left.\frac{-q\frac{a}{b}}{\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}}-\frac{-q\frac{a}{b}}{\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}}\right)\right|_{r=a}= $$ $$ \left.q\left(\frac{r-b\cdot\cos(\theta)}{\left(r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\th…

res2.32-2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-25T10:04:43+00:00

$$ Q=qa\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\sin\theta\,d\theta= $$ $$ -qa\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\,d(\cos\theta)= $$ $$ q\frac{b^{2}-a^{2}}{2b}\left.\left(\frac{1…

res2.32

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-25T10:11:42+00:00

2.32. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы радиуса $a$. Центр полусферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы на расстоянии $b>a$$q$$Q,$$\varphi =0$$q'=-q\frac ab$$x=b'=\frac{a^2}{b}.$$-q$$-q'$$x=-b$$x=-b'$$\varphi =0$$\Delta \varphi = -4\pi q\delta(\vec r - \vec b)$$\vec b$$q$$$\varphi = \frac q{r_1} - \frac q{r_2} + \frac{q'}{r_3} - \frac{q'}{r_4},$$$r_i$$r_i$$r$$\theta :$$$ r_1=\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt} r_2=\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\c…

res2.39

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-26T01:41:23+00:00

2.39. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $h$ от плоской границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями $\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_1$$\vec{E}_1$$q$$q'$$q'$$O'$$O$$\varepsilon_1$\[\vec{E}_1=\frac{q\,\vec{r}}{\varepsilon_1r^3}+ \frac{q'\;\vec{r}'} {\varepsilon_1r'\;^3}\,, \]$\vec{r}$$\vec{r}'$$q$$q'$$\vec{E}_2$$q''$$\varepsilon_2$$q$$$\vec{E}_2=\frac{q''\,\vec{r}} {\varepsilon_2r^3}\,.$$$\vec{E}_1$$\vec{E}_2$$D_n$$\vec{D}$$E_{\tau}$$\…

res2.40

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-07T09:51:41+00:00

2.40. Найти плотность $\sigma_\text{связ}$ связанных поверхностных зарядов, наведенных на плоской границе раздела двух однородных диэлектриков $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$, точечным зарядом $q$$a$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2\rightarrow\infty$$E$\[ \sigma_\text{связ} =\frac{E_{2n} - E_{1n}}{4\pi}. \]\[ E_{1n}=\frac{q}{\varepsilon _1}\left[\left(\frac{{\vec r_1}}{{r_1^3 }}\right)_n +\frac{{\varepsilon _1 - \varepsilon _2 }}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\left(\frac{{\vec r_2}}{{r_…

res2.46

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-26T02:01:36+00:00

res2.47

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-31T03:51:48+00:00

2.47. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин $S$ и расстоянием $d$ между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Диэлектрическая проницаемость стекла $\varepsilon$${\cal{E}}$$Q=C_{\varepsilon}{\cal{E}}$$$ A=-\Delta W_{12}= -(W_1-W_2)=\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2C_{\varepsilon}}, $$$C_{\varepsilon}=\varepsilon C$$W_2\ge W_1$$\varepsilon = 1$$$ A=\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2C_{\varepsilon}}=\frac{Q^2}{2C}(1-\frac{1}{\varepsilon})=\…

res2.48

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-30T02:54:06+00:00

2.48. Найти энергию электростатического поля заряженного равномерно по объему шара через плотность энергии и через плотность заряда и потенциал. Заряд шара $Q$$R$\begin{eqnarray} W&=&\frac{1}{8\pi}\int(\vec{E}\vec{D})\,dV \\ W&=& \frac{1}{2}\int\varphi\,dq=\frac{1}{2}\int\rho\varphi\,dV\,, \end{eqnarray}$\vec{E}$$\vec{D}$$\varphi$$dq$$\vec{E}\ne 0$$\rho$$\varepsilon=1$$$W=\frac{1}{8\pi}\biggl[\int\limits_0^a\Bigl(\frac{4}{3} \pi\rho\Bigr)^2R^2\cdot 4\pi R^2\,dR+ \int\limits_a^\infty\Bigl(\frac{…

res2.50

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-10-07T10:05:51+00:00

2.50. Диполь с моментом $\vec{p}_1$ находится в начале координат, а другой диполь с моментом $\vec{p}_2$ --- в точке с радиус-вектором $\vec{r}$. Найти энергию взаимодействия этих диполей и действующую между ними силу. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?$\vec{p}_1$$\vec{r}$\[ \vec E = - \nabla \left( {\frac{{\vec r\vec p_1 }}{{r^3 }}} \right) = - \frac{{\vec p_1 }}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( {\vec r\vec p_1 } \right)}}{{r^5 }} \]$\vec{p}_1$$\vec{p}_2$\[ U\left(\vec r \right)…

res2.51

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-01T09:20:32+00:00

2.51. Электрический диполь с моментом $\vec{p}$ находится в однородном диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергию взаимодействия диполя с индуцированными зарядами, силу и вращательный момент, приложенные к диполю. Расстояние $a$$\varepsilon$\[ U = - \left( {\vec p\vec E} \right), \]$\vec p$$\vec E$$p \sim E$\[ U = - \frac 12 \left( {\vec p\vec E} \right). \]\[ r = 2a, \hspace{7pt} \theta _1 = \theta, \hspace{7pt} \theta _2=-\theta :…

res2.54

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-01T12:27:44+00:00

2.54. Плоский конденсатор (подключен к батарее, ЭДС ${\cal{E}}$) с вертикально расположенными пластинами опущен в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$$\rho$$d$$p=\frac{ED}{8\pi}$\[ \frac{{\varepsilon E^2 }}{{8\pi }}S = \frac{{E^2 }}{{8\pi }}S + m g, \]$m=\rho V=\rho h S$$ E = \frac{\cal{E}}{d} $\[ \frac{{\left( {\varepsilon - 1} \right)E^2 }}{{8\pi \rho g}} = h \]\[ h=\frac{{\left( {\varepsilon - 1} \right){\cal{E}}^2 }}{{8\pi \rho gd^2 }}. \]…

res3.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-01T15:59:57+00:00

res3.2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-01T16:04:26+00:00

3.2. Пучок заряженных частиц с массой $m$, зарядом $q$ и скоростью $v_0$ каждая влетает в пространство с электрическим полем $\vec{E}$ в направлении вдоль поля и проходит в нем путь $\ell$$j_0$\[ j = j_0 . \]\[ \frac{{mv^2 }}{a} = \frac{{mv_0^2 }}{a} + \frac{{2qEl}}{m} \]\[ v = \sqrt {v_0^2 + \frac{{2qEl}}{m}}. \]\[ n = \frac{{j_0 }}{{qv}} = \frac{{n_0 v_0 }}{v}= \frac{{n_0 v_0 }}{\sqrt {v_0^2 + \frac{{2qEl}}{m}}}. \]…

res3.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-06T02:33:52+00:00

3.3. В бесконечную проводящую с проводимостью $\sigma$ и проницаемостью $\varepsilon$ среду помещен заряд $Q$. Найти время релаксации, т.е. время, в течение которого заряд в этой точке уменьшится в $e$$t$$V$$Q_0$$\,Q(t)$$\,dt$$$dQ=-\bigg(\int\limits_S(\vec{j}\,d\vec{s})\bigg)\,dt\,,$$$\,\displaystyle\int_S(\vec{j}\,d\vec{s})$$S$$V$$\,\vec{j}$$\;\vec{j}=\sigma\vec{E}$$$\frac{dQ}{dt}=-\frac{\sigma}{\varepsilon} \int\limits_S(\vec{D}\,d\vec{s})=-\frac{\sigma}{\varepsilon}\,4\pi Q.$$$Q(0)=Q_0$$$Q=Q_…

res3.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-06T03:12:22+00:00

3.4. Найти закон преломления линий тока на плоской поверхности раздела двух сред с проводимостями $\sigma_1$ и $\sigma_2$ ---------- В стационарном случае $\text{div} \vec{j}=0$, откуда $j_{1n}|=j_{2n}|$$\text{rot}\vec{E}=0$$E_{1\tau}=E_{2\tau}$$\vec{j}=\sigma\vec{E}$$$j_{1\tau}=\sigma_{1}E_{1\tau}, \qquad \, j_{2\tau}=\sigma_{2}E_{2\tau}= \,j_{1\tau}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}.$$$\frac{j_{1\tau}}{j_{1n}}=\text{tg}\, \alpha$$$\frac{\text{tg}\, \alpha_1}{\text{tg} \,\alpha_2}=\frac{\sigma_1}{\si…

res3.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-08T07:31:55+00:00

3.5. Пространство между бесконечно длинными коаксиальными идеально проводящими цилиндрами радиусов $a,b$ заполнено веществом с проводимостью $\sigma(r)=\alpha r^n$$U(a)=0,$$U(b)=U_0$\[ \text{div}\left( {\sigma \vec E} \right) = - \left( {\nabla ,\sigma \nabla \varphi } \right) = 0, \]\[ \sigma \Delta \varphi + \left( {\nabla \sigma ,\nabla \varphi } \right) = 0. \]$r$\[ \alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} =…

res3.7

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-06T03:34:28+00:00

3.7. Из толстой длинной трубы с радиусами $a$ и $b$, сделанной из материала с проводимости $\sigma$, вырезана вдоль оси часть с угловым размером $\alpha_0$. К продольным плоскостям разреза подведено напряжение $U$$j(r)$$j=j_{\alpha}$$j_{\alpha}$$\,r$$\;E_{\alpha}=j_{\alpha}/\sigma$$\,r$$$U=\int\limits_{0}^{(2\pi-\alpha_0)r}(\vec{E}\,d\vec{r})= E_{\alpha}(r)(2\pi-\alpha_0)r,$$$$ E_{\alpha}(r)=\frac{U}{(2\pi-\alpha_0)r}$$$$ j_{\alpha}(r)=\frac{U\sigma}{(2\pi-\alpha_0)r}\,.$$$$J=\int\limits_{a}^{b…

res3.9

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-06T03:29:36+00:00

3.9. Найти стационарное поле $E$ в плоском конденсаторе с напряжением $U$, диэлектрик которого состоит из двух слоев толщины $\ell_1, \ell_2$ с диэлектрическими постоянными $\varepsilon_1, \varepsilon_2$$\sigma_1, \sigma_2$$\sigma _1 E_1 = \sigma _2 E_2$$l_1 E_1 + l_2 E_2 = V$\[ E_{1,2} = \frac{{\sigma _{2,1} V}}{{l_1 \sigma _2 + l_2 \sigma _1 }} \]$1,2 \to 2,1$\[ S\left( {D_{2n} - D_{1n} } \right) = 4\pi \sigma _{\text{своб}}, \]\[ \sigma_{\text{своб}} = \frac{{V\left( {\sigma _1 \…

res3.18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-06T03:35:40+00:00

3.18. Заземление осуществляется с помощью идеально проводящего шара радиуса $a$, на половину утопленного в землю (проводимость земли $\sigma_1=\text{const}$). Слой земли радиуса $b$$\sigma_2$\[ \int {\vec Dd\vec s} = 4\pi Q = 4\pi CV = \varepsilon \int {\vec Ed\vec s} = \frac{\varepsilon }{\sigma }\int {\vec jd\vec s = \frac{\varepsilon }{\sigma }} I \]$C$$\varepsilon = 1$\[ 4\pi CV = \frac{I}{\sigma } \]\[ V = IR \]\[ R = \frac{1}{{4\pi C\sigma }}. \]$C_{\text{сф/2}} = \frac{b}{2}$\[ …

res3.19

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-08T07:35:51+00:00

3.19. Концы некоторой цепи заземлены с помощью двух идеально проводящих сфер (радиусы их $a_1$ и $a_2$), на половину утопленных в землю, служащей вторым проводом. Расстояние между этими сферами $\ell\gg a_1, a_2$$\sigma$\[ I_1 = \frac{{\varphi _1 }}{{R_1 }} = 4\pi C_1 \sigma _1 \varphi _1 \]\[ I_2 = \frac{{\varphi _2 }}{{R_2 }} = - 4\pi C_2 \sigma _2 \varphi _2 \]\[ I_1 = I_2 = I \]\[ \varphi _1 - \varphi _2 = \frac{I}{{4\pi }}\left( {\frac{1}{{\sigma _1 C_1 }} + \frac{1}{{\sigma _2 C_2 }…

res3.21

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-11T06:00:44+00:00

3.21. Оценить сопротивление заземления, выполненного в форме пластины с размерами $\ell\gg a\gg h$. Оценить напряженность электрического поля вокруг этого заземления, если заземление находится на глубине $r\gg\ell$$\lambda$\[ C \approx \frac{l}{1+2\left( \pi + \ln \frac la \right)}. \]$U$$Q=CU.$$r\gg l$\[ 4\pi Q=\int {Eds = \frac{1}{\sigma }} \int {jds = \frac{1}{\sigma }} I. \]$I = \frac{U}{R}$\[ R = \frac{1+2\left( \pi + \ln \frac la\right)}{4\pi \sigma l}. \]\[ \Delta U_{\text{шаг}} = \fra…

res3.24

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-09T02:20:27+00:00

3.24. В бесконечной среде с проводимостью $\sigma$, где шел ток с плотностью $\vec{j}_0$, всюду одинаковой, возникла сферическая полость радиуса $R$ (внутри полости $\sigma=0$$\vec{j}(\vec{r})$$\text{div} \vec{j}(\vec{R})=0$$\vec{j}(\vec{R})$$\vec{j}=\sigma\vec{E}$$\vec{E}=-\text{grad} \varphi$\begin{equation} \Delta\varphi=0 \end{equation}\begin{equation} \varphi_1(a)\!=\!\varphi_2(a);\; j_{1R}\Big |_{R=a}\!=\!j_{2R}\Big |_{R=a} \;\mbox{или}\; \sigma_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg …

res3.32

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-09T02:30:48+00:00

3.32. Найти вольт--амперную характеристику плоского диода (площадь электродов --- $S$, расстояние между ними --- $d$), катод которого неограниченно испускает электроны с нулевой начальной скоростью (закон $x$\[\triangle\varphi(x)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=j/v.\]\[mv^{2}/2=e\varphi(x),\]\[v(x)=\sqrt{2e/m\cdot\varphi(x)}.\]\[\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=4\pi\sqrt{\frac{m}{2e}\frac{J}{S}}\varphi^{-1/2}\equiv A\varphi^{-1/2},\,\,\,\mbox{где}\,\,\,A=2\pi\sqrt{\frac{2m}{e}\frac{J}{S}}.\]\[\varphi(0)=0,~~\va…

res3.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-11T07:13:59+00:00

3.33. Обобщить закон <<3/2>> на область ультрарелятивистских энергий. ---------- Единственное, что отличает релятивистский случай от нерелятивистского \[\triangle\varphi(x)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=j/v.\]$v$$\varphi$\[ \gamma m c^2-e\varphi=mc^2,\,\,\,\text{или}\,\, \gamma-\frac{e}{mc^2}\varphi=1. \]$ e=1,\,\,m=1,\,\,c=1,\,\,\text{и, следовательно,}\,\,{e}/{mc^2}=1$${e}/{mc^2}$\[ \gamma=1+\varphi,\,\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=1+\varphi,\,v=\beta=\frac{\sqrt{\varphi(\varphi+2)}}{1+\varphi}. …

res3.38

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-10-15T02:26:25+00:00

3.38. Найти вольт--амперную характеристику цилиндрического диода с нулевым радиусом катода (радиус анода $a$). ---------- Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается так: $$ \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi J }{2\pi re}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$$$ \frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)= \frac{J}{\ell}\sqrt{\frac{2m}{e}}\varphi^{-1/2}=A\varphi^{-1/2};~~\varphi(0)=0;~~~\varphi(a)=U.$$$ \varphi(r)=Cr^{\a…

res3.39

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-12T06:09:14+00:00

3.39. Электронную «пушку» (диод) подключают к конденсатору ёмкости $C$, заряженному до напряжения $U_0.$ Найти зависимость напряжения на конденсаторе $U(t)$$J = P U^{\frac 32}.$$q_0=CU_0$$$ I=\frac{dq}{dt}=C\frac{dU}{dt}=PU^{\frac{3}{2}}. $$$$\frac{dU}{U^{\frac{3}{2}}}=\frac{P}{C}dt,$$$$\frac{1}{\sqrt{U}}-\frac{1}{\sqrt{U_{0}}}=\frac{P}{2C}t.$$$$\frac{1}{\sqrt{U}}=\frac{1}{\sqrt{U_{0}}}+\frac{P}{2C}t$$$$U=U_{0}\left(1+\frac{\sqrt{U_{0}}P}{2C}t\right)^{-2}.$$…

res3.44

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-06T02:39:44+00:00

3.44. В неоднородной проводящей среде с проводимостью $\sigma(\vec{r})$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon(\vec{r})$ поддерживается стационарное распределение токов $\vec{j}(\vec{r})$$\rho(\vec{r})$$\vec{j}=\sigma\vec{E}.$$ \text{div}\vec{j}=0$$$ \text{div} (\sigma\vec{E})=\sigma \text{div}\vec{E}+\vec{E}\text{grad}\sigma=0;$$\begin{equation} \text{div}\vec{E}=-\vec{E}(\text{grad}\sigma)/\sigma. \end{equation}$\text{div}\vec{D}=4\pi\rho;$$$\rho=\frac{1}{4\pi}\text{div}(\varepsilon\vec…

res04.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T14:05:01+00:00

Найти потенциал $\varphi (x, y, z)$, если плотность заряда $\rho=\rho _0\sin(\alpha x) \sin(\beta y) \sin(\gamma z)$. ---------- Так как распределение плотности заряда $\rho=\rho_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z)$ периодическое, то можно ожидать. что и потенциал будет в виде периодической функции с тем же периодом, т.к. должен удовлетворять уравнению: $$ \Delta\varphi=-4\pi\rho=-4\pi\rho_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z). $$$\varphi=\varphi_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\…

res4.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-11T10:32:46+00:00

4.1. Найти поле на оси и в центре кругового витка радиуса $a$ с током $J$. Используя полученный результат, найти: * поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны под углами $\alpha_1, \alpha_2$$n$$d\vec{H}$$J\,d\vec{\ell}$\begin{equation} (1) \hspace{10pt} d\vec{H}=\frac{J}{cr^3}[\,d\vec{\ell}\times \vec{r}], \end{equation}$r$$$\vec{H}=\oint d\vec{H}=\vec{e}_z\oint dH_z,$$$\vec{e}_z$$Z$$z$$dH_z$\begin{equation} (2) \hspace{10pt} H_z=\oint dH_z=\frac{J\cos\alpha}{cr^2}\oin…

res4.2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-13T12:54:22+00:00

4.2. Найти величину магнитного поля на оси равномерно заряженного диска радиуса $a$ (полный заряд диска равен $Q$), вращающегося вокруг оси с угловой скоростью $\omega$$h$$z$$r$$dr$\[ dH_z = \frac{{2\pi r^2 }}{c}\frac{{dJ}}{{\left( {h^2 + r^2 } \right)^{3/2}} }. \]$dJ$$r$$dr$\[ dJ=\frac{Q}{{\pi a^2 }}\omega rdr. \]$$ H_z\left( h \right) = \frac{2\pi \omega Q}{c\pi a^2 }\int\limits_0^a {\frac{r^3 dr}{\left( {h^2 + r^2 }\right)^{3/2}}} = $$$$ \left. {\frac{{2\omega Q}}{{ca^2 }}\…

res04.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T14:05:26+00:00

Найти распределение потенциала $\varphi (x ,y)$ в плоском слое $0< x< d$, если $\varphi (0, y) = A \sin(\alpha y)$, $\varphi (d, y)=\varphi _0 + B \sin(\alpha y)$? ---------- Будем искать решение в виде: $$\varphi=\varphi_{1}(x)\cdot\sin(\alpha y)+\varphi_{2}(x).$$ Так как между обкладками нет зарядов, то потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа: $$\Delta\varphi=\frac{\partial^{2}\varphi_{1}}{\partial x^{2}}\cdot\sin(\alpha y)-\alpha^{2}\varphi_{1}\cdot\sin(\alpha y)+\frac{\partial^{2}…

res4.3a

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-13T13:17:38+00:00

4.3. а) На шар радиуса $R$ плотно намотана проволока так, что плоскости витков параллельны, витки плотно прилегают друг к другу. Число витков $N.$ По проволоке пустили ток $J.$$dJ = \frac{JN}{\pi}d\varphi $$\frac{JN}{\pi}$$$dH_{z}=\frac{2\pi}{c}\frac{a^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\cdot\frac{JN}{\pi}d\varphi .$$$z=R\cos\varphi$$a=R\sin\varphi$$$ dH_{z}=\frac{2\pi}{c}\frac{\sin^{2}\varphi}{R}\cdot\frac{JN}{\pi}d\varphi=JN\frac{1-\cos2\varphi}{cR}d\varphi . $$$$ H_{z}=\intop_{0}^{\pi}JN\frac{1-\cos2\…

res4.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-11T10:56:25+00:00

4.4. Определить магнитное поле, создаваемое двумя параллельными плоскостями, по которым текут токи с одинаковыми поверхностными плотностями $i=\text{const}$\[ \oint \vec H d\vec \ell = \frac{{4\pi }}{c}\int {\vec j \, d \vec S}, \]\[ \text{rot}\vec H = \frac{{4\pi }}{c}\vec j. \]\[ 2\ell H = \frac{{4\pi }}{c}i\ell \]\[ H_1 = \frac{{2\pi i}}{c} \]$H=\frac{4\pi i}{c}$$H=0$$H=0$$H=\frac{4\pi i}{c}$$\vec H$…

res04.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-24T14:14:17+00:00

Металлическая труба, бесконечная вдоль оси $z$, имеет прямоугольное сечение $a\times b$. Одна из сторон имеет потенциал $U$, а остальные --- потенциал $0$. Найти распределение потенциала внутри трубы.$z=0$$z$$z$\begin{equation} \triangle \psi=\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0 \end{equation}$\psi(0,y)=\psi(x,0)=\psi(x,b)$$\psi(a,y)=U.$\begin{equation} \psi(x,y)=X(x)\cdot Y(y). \end{equation}$X(x)Y(y)$\begin{equation} \frac{1}{X}\frac{d…

res4.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-17T13:21:14+00:00

4.5. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса $b$ находится коаксиальный с ней сплошной провод радиуса $a$. По этим проводникам текут постоянные одинаковые токи $J$$H_r = H_z = 0$\[ \oint{H_l dl}=\frac{4\pi}{c}\iint j_n dS. \]$ r \le a$$$H_\alpha \cdot 2\pi r = \frac{4\pi}{c} \frac{J}{\pi a^2} \pi r^2 $$$H_\alpha = \frac{{2Jr}}{{ca^2 }}.$$a \le r \le b$$H_\alpha = \frac{{2J}}{{cr}}$$H_\alpha=0$$r>b$…

res4.8

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-11T12:37:09+00:00

4.8. Определить магнитное поле в цилиндрической полости, вырезанной в бесконечно длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы полости и проводника $a$$b$$d\,\,(b>a+d)$$J$$\vec{r}$\[ \vec H=\frac{2\pi}{c}\vec{j}\times\vec{r}. \]$\vec j$$-\vec j$\[ \vec H=\frac{2\pi}{c}\left(\vec j \times \vec r-\vec j \times \vec r'\right)=\frac{2\pi}{c}\vec j \times \left(\vec r-\vec r'\right). \]$\vec d=\vec r-\vec r'$\[ \vec H=\frac{2\pi}{c}\vec j\times \vec d. \]…

res4.10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-13T13:50:38+00:00

4.10. Найти поле соленоида, свернутого в тор. Число витков --- $N,$ ток --- $J,$ размеры тора заданы. Сравнить результат с полем внутри бесконечного соленоида с той же плотностью намотки и тем же током $J.$\[ \oint{H_l dl}=\frac{4\pi}{c}\iint j_n dS \]$$ H_{\alpha} 2\pi r = \frac{4\pi}{c} JN $$$$ H_{\alpha} = \frac{2JN}{cr} =\frac{4\pi Jn}{c}, $$$n=\frac{N}{l}=\frac{N}{2\pi r}$…

res4.13

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-17T13:44:34+00:00

4.13. Вертикальный провод с током $J$ оканчивается в земле с проводимостью $\sigma $ полусферическим заземлителем радиуса $a.$ Считая проводимость $\sigma = \text{const}$ и предполагая, что второй электрод находится на расстоянии, много большем $a,$$H_r = H_z = 0$\[ \oint{H_l dl}=\frac{4\pi}{c}\iint j_n dS. \]$$H_\alpha \cdot 2\pi r = \frac{4\pi}{c} J$$$$H_\alpha = \frac{{2J}}{{cr}}.$$$\Omega = 2\pi (1-\cos \theta)$$\theta$$0$$\frac{\pi}{2}$$$J_{\theta}=J (1-\cos \theta), $$$$ H_\alpha = \frac…

res4.15

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-17T14:10:36+00:00

4.15. Вычислить векторный потенциал: 1) однородного поля в координатах: а) декартовых, б) цилиндрических, в) сферических; 2) поля прямого тока; $\,\vec{A}$$\,\vec{B}$\begin{equation} (1) \hspace{10pt}\vec{B}=\text{rot}\vec{A} \end{equation}\begin{equation} (2) \hspace{10pt} \text{div}\vec{A}=0\,. \end{equation}$\,\vec{A}$\begin{equation} (3) \hspace{10pt} \Delta\vec{A}=-\frac{4\pi\mu}{c}\,\vec{j}\,, \end{equation}$\,\vec{j}$\begin{equation} (4) \hspace{10pt} \vec{A}(\vec{R})=\frac{\mu}{…

res4.18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-17T14:16:07+00:00

4.18. Два бесконечных прямолинейных тока $J$ текут в противоположных направлениях. Найти первый неисчезающий член разложения для расстояний $r\gg a$$Z$$r \gg a$\[ r_1^2 = r^2 + a^2 + 2ar\cos \theta \]\[ A_z = A_{z_1 } + A_{z_2 } = \frac{{2J}}{c}\ln r_1 - \frac{{2J}}{c}\ln r_2 = \frac{{2J}}{c}\ln \frac{{r_1 }}{{r_2 }} = \frac{{2J}}{c}\ln \frac{{\sqrt {r^2 + a^2 + 2ar\cos \theta } }}{{\sqrt {r^2 + a^2 - 2ar\cos \theta } }} \]$a/r$\[ A_z=\frac{J}{c}\ln \frac{{r\sqrt {1 + \left( {\fr…

res4.22

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-19T14:35:03+00:00

4.22. Найти магнитный момент однородно заряженного шара (сферы), вращающегося вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью $\omega$. Заряд шара $e$$a$$\,\theta$$\,\theta+\,d\theta$$$dJ= \frac{dq}{dt} =\frac{\sigma dS}{dt} =\frac{\sigma (a^2\sin \theta d\theta d\alpha )}{dt} = \frac{1}{4\pi}Q\omega \sin\theta\,d\theta\,,$$$\omega =\frac{d\alpha}{dt}$$\,\sigma=Q/4\pi a^2$$$d\vec{m}=\frac{dJ\,\vec{s}}{c}= \frac{\pi a^2Q\vec{\omega}}{4\pi c}\sin^3\theta\,d\theta\,.$$$\,\theta$$$\vec{m}=\in…

res4.24

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-17T14:25:41+00:00

4.24. Найти магнитное поле полубесконечного соленоида на расстоянии $r$ от его торца $(r\gg \sqrt{S})$ под углом $\theta$ к его оси. Ток в соленоиде --- $J$, число витков на единицу длины $n$$S$\[ \vec B_m = \frac{{3\vec r\left( {\vec m\vec r} \right)}}{{r^5 }} - \frac{{\vec m}}{{r^3 }} \]\[ \vec m = \frac{{\pi a^2 }}{c}J\vec n_z \]$\rho$$B\vec m$$ndz$\[ dB_\rho = B_{m,\rho} ndz \]\[ B_{m,\rho} = \frac{{3m}}{{r^3 }}\sin \theta \cos \theta \]\[ \cos \theta = \frac{\rho }{r} = \frac{1…

res4.26

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-25T13:53:23+00:00

4.26. Найти потенциальную функцию двух малых токов, магнитные моменты которых $\vec{m}_1$ и $\vec{m}_2$. Определить силу взаимодействия этих токов и приложенные к ним вращательные моменты. Рассмотреть частный случай $\vec{m}_1\parallel\vec{m}_2$$$U = \frac{{\left( {\vec m_1 \vec m_2 } \right)}}{{r^3 }} - \frac{{3\left( {\vec m_1 \vec r} \right)\left( {\vec m_2 \vec r} \right)}}{{r^5 }};$$$$\vec F_2 = - \vec F_1 = \frac{3}{{r^5 }}\left[ {\vec m_2 \left( {\vec m_1 \vec r} \right) }\right. \le…

res4.28

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-17T14:38:51+00:00

4.28. Два равномерно заряженных шарика с зарядами $q_1,q_2$ и радиусами $a_1,a_2$ вращаются без поступательного движения с угловыми скоростями $\omega_1,\omega_2$ так, что векторы $\vec{\omega}_1,\vec{\omega}_2$$\vec{\ell}$$(\ell\gg a_1,a_2)$$\,Z$$\,\vec{\omega}_1$$\ell$$\,X\,,\;Y$$$\vec{F}_m=(\vec{m}_2\,\vec{\nabla})\vec{H}_1\,,\qquad \vec{H}_1=\frac{3\vec{R}(\vec{R}\,\vec{m}_1)}{R^5}- \frac{\vec{m}_1}{R^3}\,,$$$\;\vec{m}_{1,2}=q_{1,2}a^2_{1,2}\vec{\omega}_{1,2}/5c$$\,\vec{H}_1$$\,\vec{m}_…

res4.30

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T12:40:35+00:00

4.30. Найти силу, действующую на диполь в слабо неоднородном магнитном поле. ---------- Энергия диполя в поле: $U=-(\vec m \cdot \vec B)$, тогда $$ \vec F= -\nabla U=\nabla (\vec m \cdot \vec B) $$ с учётом свойств оператора набла и в отсутствии токов, т.е. $\text{rot }\vec{B}=0$$$ \vec F= (\vec{m}\cdot\nabla)\vec{B}+\left[\vec{m}\times\text{rot }\vec{B}\right]=(\vec{m}\cdot\nabla)\vec{B}. $$…

res4.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T12:31:37+00:00

4.33. Найти магнитный момент, создаваемый заряженной частицей, двигающейся по окружности в однородном магнитном поле, и отношение этого момента к моменту импульса частицы (гиромагнитное отношение). Масса частицы $m,$$e.$$B$$v$$$ \vec F=\frac{q[\vec v\times \vec B]}{c} $$$$ \frac{mv^2}{r}=ma=\frac{qvB}{c} $$$$ r=\frac{mvc}{qB}. $$$$ L=\frac{m^2v^2c}{qB}. $$$$ \mathbb m=\frac{IS}{c}=\frac{\frac{q}{T}\pi r^2}{c}, $$$T=\frac{2\pi r}{v}$$$ \mathbb m=\frac{q rv}{2c}=\frac{q mv^2}{2qB}. $$$$ \gamma =\f…

res5.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T14:19:27+00:00

5.1. В пространстве, заполненном магнетиком с проницаемостью $\mu_1$, расположен бесконечный прямолинейный проводник с током $J$ вдоль оси $Z$. Проводящая сфера с центром в начале координат (радиус $a$$\mu_2$$\vec{B}$$\vec{H}$$\alpha$\[H_z = H_r = 0.\]\[ \oint \vec H d \vec{\ell} = H_{\alpha} 2 \pi r =\frac{4\pi}{c}I,\]\[ H_{\alpha}=\frac{{2I}}{{cr}},\;\;\vec B_{\alpha} = \mu _1 \vec H_{\alpha}.\]\[\vec H = 0,\;\;\vec B=0.\]$B_n$$H_{\tau}$$$ H_{\tau 2}-H_{\tau 1}=\frac{4\pi i}{c}, $…

res5.2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T13:34:57+00:00

5.2. Цилиндрический проводник радиуса $a$ проходит перпендикулярно через плоскую границу раздела двух магнетиков с проницаемостями $\mu_1$ и $\mu_2$. По проводнику идет постоянный ток $J$$\vec{H}$$\vec{B}$$ H_r = H_z= 0 $$\alpha$$\vec H$$\vec B$$r \leq a$\[ \oint \vec H d \vec{\ell} = H_{\alpha} 2 \pi r =\frac{4\pi}{c} \frac{J\pi r^2}{\pi a^2},\]\[ H_\alpha = B_\alpha =\frac{{2Jr}}{{ca^2 }},\;\; \text{при}\;\;r\leq a. \]$r > a$\[ H_\alpha = \frac{{2J}}{{cr}}\;\;\text{и}\;\; B_\al…

res5.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T13:41:21+00:00

5.3. Прямой провод с постоянным током $J$ проходит по оси симметрии толстой трубы с радиусами $a,b$ $(a\!<\!b)$. Одна половина трубы имеет магнитную проницаемость $\mu_1$$\mu_2$$\vec{B}$$B_r = B_z = 0$$$B_{\alpha \ i }= \mu _i \frac{{2J}}{{cr}} \text{ для } i=1,2$$$a \le r \le b$$ B_\alpha = \frac{{2J}}{{cr}}$

res5.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-25T03:44:52+00:00

5.4. Ток $J$ течет по прямолинейному проводу, совпадающему с осью $Z$. От оси расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла $\alpha_1,$$\alpha_2,$$\alpha_3,$$(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2\pi).$$\mu_1,\mu_2,\mu_3.$$\alpha$$\vec B$$\vec H$$H_i=H_{\alpha,i}$\[ \sum\limits_i H_i r \alpha_i=\frac{4\pi}{c}J=r\sum\limits_i H_i \alpha_i. \]$\mu_i$\[ \frac{4\pi J}{c r}=\sum\limits_i H_i \alpha_i=\sum\limits_i \frac{\mu_i}{\mu_i} H_i \alpha_i, \]$B_i=\mu_i H_i$\(B_…

res5.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T13:46:47+00:00

5.5. Найти магнитное поле в тонкой плоской щели, если поле в среде ($\mu$) можно считать однородным. ---------- Предположим, что поле в среде вдали от щели направлено под углом $\theta$$0$$1$\[ \begin{split} H_{0n}=&B_{n1}=B\cos\theta\\ H_{0\tau}=&H_{1\tau}=\frac{B_{1\tau}}{\mu}=\frac{B}{\mu}\sin\theta.\\ \end{split} \]\[ \vec H_0=\vec n\left(\vec B \vec n\right)+\frac{1}{\mu}\vec n\times \left[\vec B \times \vec n\right], \]$$ \vec H = \frac{1}{\mu }\vec B + \left( {1 - \frac{1}{\mu }…

res5.7

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-02T07:38:29+00:00

5.7. В однородное магнитное поле $\vec{H}_0$ вносится шар радиуса $a$ с магнитной проницаемостью $\mu_1$. Определить результирующее поде, индуцированный магнитный момент шара $\vec{m}$$\vec{j}_\text{мол}$$\mu_2$\[ \text{rot} \vec H=0;\;\;\text{div} \vec B=0; \]\[ H_{1\tau}=H_{2\tau};\;\;B_{1n}=B_{2n}. \]$\text{rot} \vec H=0$\[ \varepsilon_{1,2} \rightarrow \mu_{1,2},\;\;\vec E \rightarrow \vec H,\;\;\vec B \rightarrow \vec D \]\[ \begin{split} \vec H_1 = &\frac{{3\mu _2 \vec H_0 }}{{\mu _1 + …

res5.8

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-02T07:43:34+00:00

5.8. Найти магнитное поле в сферической полости радиуса $a,$ находящейся во внешнем однородном магнитном поле. Магнитная проницаемость среды, окружающей полость, равна $\mu .$$\mu_1=1, \mu _2 = \mu:$\[ \vec H_{in} = \frac{3\mu \vec H_0 }{1 + 2\mu }. \]

res5.9

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T14:43:02+00:00

5.9. Равномерно намагниченная сфера (идеализированный ферромагнетик) вносится во внешнее однородное магнитное поле $\vec{H}_0$. Найти результирующее магнитное поле. Магнитная проницаемость сферы $\mu_1$$\mu_2$$\,\vec{M}_0$$\text{rot}\vec{H}=0$$\text{div} \vec{B}=0$$\,H_{1\tau}|=H_{2\tau}|;\;B_{1n}|=B_{2n}|$$\,\vec{H}=-\text{grad} \,\psi$$\;\nabla^2\psi=0$$$\psi_1=-c_1(\vec{H}_0\,\vec{R})+ b_1(\vec{M}_0\,\vec{R}) \qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$$\,\vec{H}_0$$$\psi_2=-(\vec{H}_0\,\vec{R})+ \fr…

res5.10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-02T07:58:28+00:00

5.10. Решить задачу 5.7, если шар, вносимый в поле, сверхпроводящий. ---------- Если шар сверхпроводящий, то магнитное поле в нём отсутствует, что приводит к текущим по поверхности токам. Решение для токов получим из решения $\mu _1 \to 0$\[ \begin{split} \vec H_1 = &0,\\ \vec H_2 = &\vec H_0 - \frac{{\vec m}}{{r^3 }} + \frac{{3\left( {\vec m\vec r} \right)\vec r}}{{r^5}},\\ \vec m=&-\frac{1}{2}\vec H_0 a^3,\\ i_\alpha = & -\frac{3}{{8\pi }}cH_0 \sin \theta. \end{split} \]…

res5.10add

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-26T04:46:35+00:00

Найти магнитное поле снаружи и внутри бесконечно длинного цилиндра радиуса $a$ с магнитной проницаемостью $\mu,$ помещенного во внешнее однородное магнитное поле $H,$$$ \text{rot}\vec{H}=0, \text{div}\vec{B}=\text{div}\mu\vec{H}=0, $$$\psi$$\vec{H}=\nabla\psi,$$$ 0=\text{div}\mu\vec{H}=(\nabla\cdot\mu\nabla\psi)=\mu\Delta\psi $$$$ \Delta\psi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\alpha^{2}}+\frac{\partia…

res5.14

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-26T13:41:53+00:00

5.14. Бесконечный прямой провод с током $J_1$ расположен параллельно плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями $\mu_1$ и $\mu_2$ (провод $\mu_1$$a$$J_1$$J_2$$\mu_1$$J"$$\mu_2$$J_2$$J''$\[ \begin{split} H_{1\tau}&=H_{2\tau},\\ B_{1n}&=B_{2n}. \end{split} \]$J$\[ H_{\varphi}=\frac{2J}{cr}. \]\[ \begin{split} H_{1\tau}&=\frac{2J_1}{c a}\sin \alpha -\frac{2J_2}{c a}\sin \alpha ,\\ H_{2\tau}&=\frac{2J''}{c a}\sin \alpha , \end{split} \]\[ J_1-J_2=J''. \…

res5.16

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-26T13:57:11+00:00

5.16. Прямолинейный провод с током $I$ расположен параллельно оси бесконечного кругового цилиндра на расстоянии $b$ от неё. Радиус цилиндра --- $a$ ($a < b$), магнитная проницаемость $\mu .$$\vec A=(0, 0, A_z)$$I$$\mu _2$$b'=\frac{a^2}{b}$$I_1$$b'$$-I_1$$I_2$$b$$\mu _1.$$I$$b$$I_1$$-I_1$$b'$$\mu _2.$$$A_{1}=\frac{2\mu_{1}I_{2}}{c}\ln\frac{r_{1}}{a},$$$$A_{2}=\frac{2\mu_{2}}{c}(I\ln\frac{r_{1}}{a}+I_{1}\ln\frac{r_{2}}{a}-I_{1}\ln\frac{r}{a}),$$$$r_{1}^{2}=r^{2}+b^{2}-2rb\cos\theta,$$$$r_{2}^{2}=r…

res5.19

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-26T14:27:32+00:00

5.19. Найти поле электромагнита с узким зазором. ---------- По аналогии с законами Кирхгофа для электрических цепей основное уравнение для простой магнитной цепи имеет вид \[ \frac{4\pi I}{c}=\Phi R_\mu,\;\;R_\mu=\oint \frac{d x}{\mu(x) S(x)}. \]$N$$I$\[ \Phi=\frac{4\pi}{c}NI\frac{1}{R_\mu}=\frac{4\pi}{c}\frac{NI}{R_\text{ж}+R_d}, \]$R_\text{ж}$$R_d$\[ R_\text{ж}=\frac{L_\text{ж}}{\mu S_\text{ж}},\;\;R_d=\frac{d}{s}. \]\[ B\approx \frac{\Phi}{S}=\frac{4\pi}{c}\frac{NI}{d+\frac{L_\text…

res5.23

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-01T14:32:43+00:00

5.23. Найти поле постоянного шарообразного магнита с намагниченностью $\vec M$ и магнитной проницаемостью $\mu$. ---------- Для решения этой задачи можно воспользоваться общим решением задачи 5.9. о сфере во внешнем однородном поле с собственным магнитным моментом. Поскольку полученное там решение удовлетворяет уравнениям Максвелла и граничным условиям на бесконечности, предположим, что решение в нашем случае аналогично. Поле внутри шара $B_1$$\vec M$$\vec m=\frac{4}{3}\pi a^3\vec M$…

res5.24

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-26T14:47:26+00:00

5.24. Найти максимальное магнитное поле шарообразного постоянного магнита радиуса $R\!=\!10$ см, приняв в данном случае зависимость $B(H)\!=\!4\pi B_0(1+\frac{H}{H_0}),$ где поле насыщения $B_0=2\text{ Тл}$$H_0=100$$\vec H_1$$\vec B_1$\[ \vec B=\vec H+4\pi \vec M. \]$\vec m=\frac{4}{3}\pi R^3 \vec M$\[ \vec B_2=\vec H_2=-\frac{\vec m}{r^3}+\frac{3(\vec m \vec r)\vec r}{r^5}. \]$B_{1n}=B_{2n}$$\text{div} \vec B=0$$z$\[ B_1\cos\theta=-\frac{m}{R^3}\cos\theta + \frac{3}{R^3}m\cos\theta,…

res5.28

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:40:46+00:00

5.28. Зазор магнитопровода $(\mu\!\gg\!1)$ окружен плоской шиной, по которой течет ток $J$. Найти давления (по величине и направлению) на поверхности шины и железа (высота зазора много меньше его ширины).\[ p=\frac{H^2}{8\pi}. \]$\vec I\times \vec H$$$ p = \frac{{\left( {\mu - 1} \right)H^2 }}{{8\pi }}.$$

res5.29

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-03T10:05:44+00:00

5.29. По кольцу радиуса $R=0,1$ м идет ток $J=1$ А. Кольцо находится в поле $H=100$ Э, которое перпендикулярно плоскости кольца. Найти натяжение кольца в граммах.$\vec H \perp \vec J$\[ dF=\frac{J H}{c}d\ell, \]\[ \delta A= F \delta r=\int\limits_0^{2\pi} r d \varphi \frac{J H}{c}\delta r=2\pi r\frac{J H}{c}\delta r. \]$2\pi \delta r$$\delta r$\[ \delta A=2\pi r\frac{J H}{c}\delta r=2\pi T \delta r. \]\[ T = \frac{{JHR}}{c} = 0,1\text{г}. \]…

res5.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-08T15:15:10+00:00

5.33. По бесконечному сплошному цилиндрическому проводнику радиуса $R$ идет ток $I.$ Найти давление на оси проводника. ---------- Магнитное поле в проводе мы находили в $$ B_{\alpha }=\frac{2Ir}{cR^2}. $$$$ d I= j\ dS_1= \frac{I }{\pi R^2} \ r d\alpha \ dr $$$\ell$$$ dF=\frac{dI}{c}\ell B_{\alpha } = \frac{2I^2 r^2 \ell \ d\alpha \ dr}{ c^2\pi R^4}. $$$$ dS_2=\ell \ r d\alpha , $$$$ dp=\frac{dF}{dS_2}=\frac{2I^2 r \ dr}{ c^2\pi R^4}. $$$$ p=\frac{I^2 }{ c^2\pi R^2}. $$…

res6.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-04T10:04:48+00:00

6.1. Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек с радиусами $a b. \end{split} \]\[ B_\alpha = \mu H_\alpha \]\[ W = \int{\frac{{\left( {\vec B\vec H} \right)dV}}{{8\pi }}} = \frac{{2\pi }}{{8\pi }}\mu \int\limit…

res6.2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-04T10:12:09+00:00

6.2. Вычислить внутреннюю часть самоиндукции единицы длины прямолинейного провода круглого сечения радиуса $a$. Магнитная проницаемость провода $\mu$$J$$\vec{H}$\begin{equation} \oint H_\ell\,d\ell=\frac{4\pi}{c}\int\limits_{S} (\vec{j}\,d\vec{s}), \end{equation}$\vec{j}$$\alpha$$\,H_{\alpha}$$z, r, \alpha$$\,Z$$\,\vec{H}$$\,r

res6.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:04:18+00:00

6.3. Вычислить самоиндукцию единицы длины коаксиального кабеля, жила которого имеет радиус $R_0$, а оболочка --- внутренний радиус $R_1$, наружный --- $R_2$$\mu_1$$\mu_2$$\,R_0$$\,R_1$$\,R_2$$\,J$$$H_{\alpha}=\frac{2J}{cR_0^2}\,r\, \qquad \mbox{при}\qquad r\leq R_0\,.$$$\vec{H}$$R_0\leq r\leq R_1$$$ H_{\alpha}\cdot2\pi r=4\pi J/c,$$$$H_{\alpha}=\frac{2J}{c\,r}\,;$$$R_1\leq r\leq R_2$$$ H_{\alpha}\cdot2\pi r=\frac{4\pi J}{c}- \frac{4\pi J}{c}\;\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2},$$$$H_{\alpha}=\frac{2…

res6.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:08:18+00:00

6.4. Внутри металлической сферы радиуса $R$ по диаметру проходит тонкая проволочка радиуса $r_0\ll R$. По ней идет ток $J$, далее растекающийся по сфере и снова сходящийся к проволочке. Найти: а) магнитное поле внутри и вне сферы; б) оценить индуктивность системы.$H_\alpha$\[ H_\alpha=\frac{2J}{cr}, \]$r$\[ w=\frac{H_\alpha^2}{8\pi}=\frac{J^2}{2\pi c^2 r^2}. \]\[ W=\frac{4J^2}{8\pi c^2} \int\limits_0^{2\pi} d \alpha \int\limits_{-R}^{R} d z \int\limits_{r_0}^{\sqrt{R^2-z^2}} \frac{d r}{r}…

res6.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:11:07+00:00

6.5. В прямоугольный короб с поперечным сечением $S_1$ вложен другой прямоугольный короб сечением $S_2$ (длины коробов одинаковы $(\ell\gg \sqrt{S})$) так, что их стенки параллельны. Короба разрезаны вдоль образующей и соединены последовательно (как показано на рисунке). Магнитная проницаемость всей среды равна $\mu$\[ H = \frac{{4\pi I}}{c\ell}, \]$I$$S_1-S_2$\[ \Phi = \mu H\left( {S_1 - S_2 } \right) = \frac{{4\pi \mu I}}{{c \ell}}\left( {S_1 - S_2 } \right). \]\[ \Phi=\frac{L I}{c}= …

res6.6

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-04T10:16:37+00:00

6.6. Самоиндукция плоского контура в воздухе $(\mu=1)$ равна $L$. Найти самоиндукцию контура, если его положить на плоскую границу полупространства, заполненного однородным магнетиком с магнитной проницаемостью $\mu$$\;\Phi=LJ/c$$\,\Phi$$\,J$$\,L$$\,\vec{H}_0$$\,\vec{H}_1=a\vec{H}_0$$\,\vec{H}_2=b\vec{H}_0$$\,\vec{H}_0$$\,\vec{B}_0$$\,a=\mu b$$H_{1\tau}=H_{2\tau}$$\,\vec{H}_0$$$\oint(\vec{H}_0\, d\vec{\ell})=2\int\limits_{(1)} (\vec{H}_0\, d\vec{\ell})=\frac{4\pi J}{c}\,,$$$\;2\int\limits_{(1)}…

res6.7

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-01T08:05:59+00:00

6.7. Найти коэффициент самоиндукции на единицу длины бесконечного цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной (не обязательно круговой) формой сечения. Площадь сечения $S$$n$\[ H\ell = \frac{{4\pi N I}}{{c}};\;\; H = \frac{{4\pi }}{c}nI \]\[ \Phi _0 = \frac{{4\pi }}{c}nIS. \]${\dot\Phi _0}/c $$N$$\Phi _0$$N$\[ \mathcal{E} = N\mathcal{E}_0, \]\[ \mathcal{E}_0 = - \frac{{\dot\Phi _0 }}{c}. \]$\Phi = N\Phi _0$$\Phi = \frac{{LI}}{c}$\[ \frac{L}{\ell} = \frac{{4\pi …

res6.9

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-01T10:03:45+00:00

6.9. Найти коэффициент самоиндукции тороидального соленоида. Радиус тора --- $b$, число витков --- $N$, сечение тора --- круг радиуса $a$. Определить коэффициент самоиндукции на единицу длины соленоида в предельном случае $b\rightarrow\infty$$(N/b=\text{const})$$a,h$\[ H=\frac{2JN}{c(b+x)}. \]\[ \Phi_0=\int \vec B d \vec S=\frac{2JN}{c}\int\limits_{-a}^a \frac{d x}{b+x}2\int\limits_0^{\sqrt{a^2-x^2}}d y=\frac{4JN}{c}\int\limits_{-a}^a \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{b+x}d x. \]\[ Int=\int\limits_{-a}^a \f…

res6.10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:16:02+00:00

6.10. Найти индуктивность соленоида с числом витков $N\gg 1$, намотанного тонким слоем на шарообразный сердечник радиуса $a$ с магнитной проницаемостью $\mu$$\theta=\text{const}$\[ n\left( \theta \right) = \frac{N}{{2a}}\sin \theta,\,\, \left( {\int\limits_0^\pi {n\left( \theta \right)ad\theta = N} } \right). \]$\,\vec{H}_2$$\,\vec{m}$$$ \vec{H}_2=\frac{3\vec{r}(\vec{m}\,\vec{r})}{r^5}- \frac{\vec{m}}{r^3}\,.$$$\,\vec{m}$$\vec{H}_1$$\,H_{\tau}$$$\frac{m}{a^3}\sin\theta+ H_1\sin \theta=\frac{…

res6.13

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T13:55:31+00:00

6.13. На железное ярмо с зазором $d$ намотана обмотка из $N$ витков. Сечение железа --- $S,$ магнитная проницаемость --- $\mu,$ длина --- $\ell .$ Найти индуктивность. ---------- \[ B\approx \frac{4\pi}{c}\frac{NI}{d+\frac{\ell}{\mu }}, \]\[ \Phi _0= \frac{4\pi}{c}\frac{NIS}{d+\frac{\ell}{\mu }}, \]$\Phi = N\Phi _0$$$ L=\frac{\Phi c}{I}=\frac{4\pi N^2 S}{d+\frac{\ell}{\mu }}. $$

res6.14

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:19:34+00:00

6.14. Внутрь соленоида, имеющего $N$ витков, длину $\ell$ и площадь сечения $S_1$, вставлен коаксиально второй соленоид с тем же направлением намотки и той же длины $\ell$$N_2$$S_2$$\,J$$$H_1=\frac{4\pi J}{c}\frac{N_1}{\ell} \qquad\mbox{при}\qquad R_2\leq R\leq R_1\,,$$$$H_2=\frac{4\pi J}{c}\frac{N_1}{\ell}+ \frac{4\pi J}{c}\frac{N_2}{\ell}= \frac{4\pi J}{c}\frac{(N_1+N_2)}{\ell} \qquad\mbox{при}\qquad R< R_2\,,$$$$H_3=0 \qquad\mbox{при}\qquad R> R_1\,.$$\begin{equation} …

res6.15

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-04T10:34:35+00:00

6.15. На один сердечник намотаны две катушки с коэффициентами самоиндукции $L_1=0,5$ Гн и $L_2=0,7$ Гн соответственно. Чему равен коэффициент взаимоиндукции? Рассеяния магнитного поля нет.$\Phi _0$\[ \Phi _1 = N_1 \Phi _0 = \frac{1}{c}\left( {L_{11} I_1 + L_{12} I_2 }, \right) \]\[ \Phi _2 = N_2 \Phi _0 = \frac{1}{c}\left( {L_{22} I_2 + L_{21} I_1 } . \right) \]$I_1$\[ \frac{{L_{11} }}{{L_{21} }} = \frac{{N_1 }}{{N_2 }}. \]\[ \frac{{L_{12} }}{{L_{22} }} = \frac{{N_1 }}{{N_2 }}. \]\[ \…

res6.16

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T14:07:25+00:00

6.16. На длинный цилиндр намотаны вплотную две обмотки (1,1’) и (2,2’) как показано на рисунке. Коэффициент самоиндукции каждой обмотки равен 0,05 Гн. Чему будет равен коэффициент самоиндукции всей цепи, если:$L=0$$L=0,2$$L=0,05$

res6.17

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:23:36+00:00

6.17. Найти коэффициент взаимной индукции между прямым проводом и проволочным кольцом, если провод лежит в плоскости кольца. ---------- Пусть расстояние в плоскости провод-кольцо от провода до центра кольца равно $b$$a$$J$$H_\varphi=\frac{2J}{cr}$$r$\[ \Phi=\int \vec B \ d \vec S=\frac{2J}{c}\int\limits_{-a}^a \frac{\ d x}{b+x}2\int\limits_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\ d y=\frac{4J}{c}\int\limits_{-a}^a \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{b+x}\ d x. \]\[ M = 4\pi \left( {b - \sqrt {b^2 - a^2 } } \right).\…

res6.18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:26:50+00:00

6.18. Вычислить коэффициент взаимоиндукции между прямым проводом и проволочной прямоугольной рамкой $a\times b$, если провод лежит в плоскости рамки вдоль одной из ее сторон о длиной $b$$h$$$ M = 2b\ln \left( 1 + \frac{a}{h}\right). $$

res6.22

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-06T15:32:28+00:00

6.22. Найти коэффициент взаимной индукции двух катушек трансформатора с Ш--образным сердечником, если зазор $d\ll a$ (см. рисунок). Справедливо ли равенство $M_{12}=M_{21}$\[ \left\{ \begin{array}{l} U = 3R\Phi _1 + R\Phi _2 \\ 0 = 3R\Phi _3 + r \Phi _3 - R\Phi _2 \\ 0 = - \Phi _1 + \Phi _2 + \Phi _3 \\ \end{array} \right. \]\[ \Phi _3 = \frac{U}{{15R + 4r }} = \frac{{\frac{{4\pi }}{c}N_1 I_1 }}{{15R + 4r }}, \]\[ N_2 \Phi _3 = \frac{{L_{22} I_2 + L_{21} I_1 }}{c} \]$I_2 = 0$\…

res6.23

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-08T15:52:54+00:00

6.23. Внутри сверхпроводящего бесконечного цилиндра с сечением $S_1$ расположены аксиально симметрично бесконечный соленоид с сечением $S_2$ и вокруг него одиночный измерительный виток с площадью $S_3$$H$$t = 0$$\Phi = 0$$H$$H_1$\[ HS_2 - H_1 \left( {S_1 - S_2 } \right) = 0, \]\[ H_1 = H\frac{{S_2 }}{{S_1 - S_2 }}. \]$S_3$\[ \Delta \Phi _3 = H_1 \cdot \left( {S_1 - S_3 } \right) \]\[ \Delta \Phi _3 = \frac{{S_2 \cdot \left( {S_1 - S_3 } \right)}}{{S_1 - S_2 }}H. \]…

res6.24

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-08T15:56:17+00:00

6.24. Две параллельные шины замкнуты на нижнем конце неподвижной перемычкой с размерами $a\times b$, а сверху --- <<поршнем>> веса $P$ и размерами $a\times b$. Все материалы сверхпроводящие, поле между шинами $H_0$$h(t)$$(h\gg a,b)$$h\times a$\[ \Phi_0 = h_0 a H_0=\Phi=h a H, \]\[ H=\frac{H_0 h_0}{h}. \]\[ p=\frac{H^2}{8\pi}=\frac{H_0^2 h_0^2 }{8\pi h^2 }. \]$P$\[ m\ddot h = -P + \frac{{H^2 }}{{8\pi }}ab = -P + \frac{{H_0^2 h_0^2 }}{{h^2 8\pi }}ab \]$P=mg$\(A=\frac{H_0^2 h_0^2 }{ 8\pi m…

res6.25

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-08T15:58:24+00:00

6.25. Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией $L$, в котором течет ток $J$, вдвигается полностью в однородное магнитное поле $\vec{H}_0$. Найти ток $J'$, который будет после этого протекать по кольцу. Площадь осевого сечения кольца $S$$\vec{H}_0$$\theta$\[ \Phi _0 = \frac{{LJ}}{c}. \]\[ \Delta \Phi = H_0 \cos \theta \cdot S. \]$J'$\[ \Phi_0 = \frac{{LJ}}{c} = \frac{{LJ'}}{c} + H_0 \cos \theta \cdot S, \]\[ \frac{{LJ'}}{c} = \frac{{LJ}}{c} - \frac{{H_0 S\cos \theta \cdot c}}{L} \]\…

res6.26

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-08T15:59:40+00:00

6.26. Проводящее кольцо с самоиндукцией $L$ находится в нормальном состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный поток через контур кольца равен $\Phi_0$\[ \Phi _0 = \frac{{LI}}{c} \]\[ I = \frac{{c\Phi _0 }}{L}. \]

res6.27

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-08T16:01:03+00:00

6.27. В постоянном однородном магнитном поле с индукцией $B$ находится круглое, недеформируемое, достаточно малого сечения сверхпроводящее кольцо радиуса $R$$L$\[ \Delta \Phi = B\pi R^2. \]$I$\[ \Delta \Phi = \frac{{LI}}{c}, \]\[ I = \frac{{cB\pi R^2 }}{L}. \]\[ A = \frac{{\Phi ^2 }}{{2L}} = \frac{{B^2 \pi ^2 R^4 }}{{2L}}. \]

res6.28

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T09:22:48+00:00

6.28. В условиях задачи 6.27 определить: * каков полный магнитный поток через кольцо после того, как оно было перевернуто; * какова величина напряженности магнитного поля в центре кольца;$$ H_z=\frac{2\pi J}{cR}\,, $$$$ B_z=B-\frac{2\pi \frac{{cB\pi R^2 }}{L}}{cR}= B\left(1-\frac{2\pi ^2 R }{L} \right). $$

res6.29

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-10T16:42:40+00:00

6.29. Сверхпроводящий короткозамкнутый соленоид с током $J$, имеющий $N$ плотно намотанных витков, длину $\ell$, радиус витка $a$ $(\ell\gg a)$, растягивают в длину в два раза. Какую работу нужно при этом затратить?\[ H_0 \ell = \frac{{4\pi }}{c}NI, \]\[ \Phi _0 = H_0 S. \]\[ 2H_1 \ell = \frac{{4\pi NI_1 }}{c}, \]\[ \Phi _1 = H_1 S = H_0 S. \]$H_1 = H_0$$ I_1 = 2I$\[ A = \ell S \cdot \frac{{H^2 }}{{8\pi }} = \ell S\frac{{16\pi ^2 N^2 I^2 }}{{\ell^2 c^2 8\pi }} = \frac{{2N^2 I^2 \pi ^2 a^…

res6.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-10T04:23:05+00:00

6.33. Медный тонкостенный цилиндр массы $m$ и длины $\ell$ внесли в однородное магнитное поле параллельное оси цилиндра, после чего за очень короткий интервал времени $\tau$$H_1$$H_1=5$$H_0=1$$\tau=10^{-6}$$m/\ell=1$$t, 0 \leq t \leq\tau$$H_1$\[ \Phi = H_0 \pi r_0^2=H(r)\pi r^2, \]$r$\[ H(r)=H_0\frac{r_0^2}{r^2}. \]$r\delta \varphi$\[ \frac{\delta \varphi}{2\pi}m\ddot r=-\frac{r \delta\varphi \ell}{8\pi}\left[H_1^2-H_0^2\frac{r_0^4}{r^4}\right], \]\[ \ddot r=-\frac{r \ell}{4m}\left[H_1…

res6.34

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-11T06:53:47+00:00

6.34. Сверхпроводящий брусок длины $\ell$, сечения $S$ ($\ell \gg \sqrt{S}$) плотности $\rho ,$ имея начальную скорость $v_0,$ влетает в коротко-замкнутый очень длинный ($L\gg \ell$) сверхпроводящий соленоид практически того же сечения. Магнитное поле внутри соленоида равно $H_0.$$L$$$ H\ell = \frac{4\pi I N}{c}, $$$$ \Phi _0= HS= \frac{4\pi I n S}{c} $$$$ \Phi = \Phi _0 N = \frac{4\pi I n^2 L S}{c}. $$$$ W=\frac{\Phi I}{2c} = \frac{2\pi I^2 n^2 L S}{c^2}. $$$\Phi = \Phi '$$$ I L = I' (L-\ell). …

res6.35

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T12:34:49+00:00

6.35. По катушке сверхпроводящего соленоида течет постоянный ток $J$. Катушка совершает малые колебания по закону $\ell\!=\!\ell_0\!+\!a\cos\omega t$. При этом на зажимах ее возникает переменное напряжение. Какой амплитуды переменный ток той же частоты $\omega$\[ H \ell= \frac{{4\pi }}{c}NJ = \frac{{4\pi }}{c}nJ\ell. \]\[ H = \frac{{4\pi nJ}}{c}. \]\[ \Phi = HSN = \frac{{4\pi N^2J}}{{c\ell}}S. \]\[ {\mathcal E} = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}} = - \frac{{4\pi N^2 J\omega }}{{c^2 \ell_0^2 …

res6.36

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T12:38:23+00:00

6.36. В линейном индукционном ускорителе ЛИУ электроны летят вдоль оси цилиндрического магнитопровода (длина $\ell=50$ см, внутренний радиус $r_1=2$ см, внешний $r_2=5$$\tau=10^{-6}$$B_0=-5$$B_1=+5$$1,6\cdot10^{-12}$\[ {\mathcal E} = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}}, \]$e$\[ e{\mathcal E}=\int eE\ d \ell =\int F\ d \ell=T, \]$T$\[ T= - \frac{e}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}}=\frac{e}{c}\frac{{\Delta B}}{\tau }\left( {r_2 - r_1 } \right)\ell=\frac{{2.4 \cdot 10^{ - 8} }}{{1.6 \cdot 10^{ - 12}…

res6.37

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T12:44:42+00:00

6.37. Горизонтальный стержень веса $P$ и длины $\ell$ скользит без трения по двум вертикальным стержням, соединенным внизу конденсатором емкости $C$. Имеется однородное магнитное поле $\vec{B}$$\,\vec{B}$$${\cal E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t}= -\frac{1}{c}\ell B\dot{y},$$$$\Phi=B\ell y\,,$$$\,y$$\;U_c={\cal E}$$\;U_c=Q/C$$\,Q$$\,C$\begin{equation} (1) \hspace{10pt} Q=-\frac{\ell B\dot{y}C}{c}\,. \end{equation}$P=\,m\vec{g}$$\,y$$$m\ddot{y}=-mg+\frac{JB\ell}{c}\,,$$$\,g$$\,J$$\,\d…

res6.38

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T12:47:14+00:00

6.38. Плоский контур вращается с угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле вокруг оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярной к полю. Индукция поля равна $B$$S$\[ \frac{{d\Phi }}{{dt}} = B\frac{{dS}}{{dt}}= \omega BS\sin \left( {\omega t + \varphi _0 } \right). \]\[ {\mathcal E} = - \frac{1}{c}\frac{{d \Phi }}{{dt}} = - \frac{{BS\omega }}{c}\sin \left( {\omega t + \varphi _0 } \right), \]$\varphi_0$…

res6.39

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T14:26:59+00:00

6.39. Стержень OA вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг точки O в плоскости, перпендикулярной к направлению однородного магнитного поля $\vec{H}$. Определить эдс индукции между точками $\ell$$d r$$r$\[ v( r) = \omega r. \]\[ f = \frac{{e v H}}{c}. \]$dr$$f$\[ d{\mathcal E} = \frac{{f dx}}{e}, \]\[ {\mathcal E} = \int\limits_0^\ell {\frac{{e\omega rHdr}}{{ce}}} = \frac{\omega }{c}H\frac{{\ell^2 }}{2}. \]…

res6.42

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-13T09:52:26+00:00

6.42. Круглая проволочная петля радиуса $a$, находящаяся в постоянном магнитном поле $H_0$, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг своего диаметра, перпендикулярного $\vec{H}_0$$R$$L$\[ {\mathcal E} = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}} = - \frac{1}{c}H_0 \frac{{dS}}{{dt}} = - \frac{1}{c}H_0 \pi a^2 \frac{d}{{dt}}\cos \omega t=\frac{H_0 \pi a^2 \omega}{c}\sin \omega t. \]$R$$L$\[ {\mathcal E} = \frac{{L\dot I}}{{c^2 }} + IR, \]\[ \frac{L}{c^2}\dot I + RI = \mathcal E= {\mathcal E}_0 \s…

res6.44

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T14:38:04+00:00

6.44 Замкнутая катушка из медного провода внесена в однородное поле $H=H_0e^{-i\omega t}$ (частота 16 кГц), параллельное оси катушки. Площадь катушки $S=10$~см$^2$, число витков $N=10^2$$L=10^{-3}$$R=1$$H_0=10^3$\[ \mathcal E = - \frac{1}{c}NS\frac{{dH}}{{dt}} = \frac{1}{c}NSH_0 i\omega e^{ - i\omega t} = \mathcal E_0 e^{ - i\omega t}. \]\[ R_\text{общ} = \sqrt {R^2 + \frac{{\omega^2 L^2 }}{{c^2 }}}. \]\[ I = \frac{{\mathcal E_0 }}{{R_\text{общ} }} = \frac{1}{c}\frac{{NSH_0 \omega}}{{\sqrt…

res6.47

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T14:41:34+00:00

6.47. В бетатроне во время ускорения электрона магнитное поле непрерывно нарастает, порождая разгоняющую электрон эдс индукции, а орбита его остается неизменной. Доказать, что для ускорения электрона на орбите постоянного радиуса необходимо, чтобы полный магнитный поток $\Phi_2$$\Phi_1$$2 : 1$\[ \frac{d\vec P}{dt}=e\vec E +\frac{e}{c}\left[\vec v \vec B\right]. \]$\vec p=m\vec v=p\vec\tau$$\vec \tau$$\vec n$\[ \frac{d\vec P}{dt}=\frac{d P}{dt}\vec \tau+p\frac{d\vec\tau}{dt}. \]\[ \frac{d\…

res6.48

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-12-20T14:46:51+00:00

6.48. Вокруг линейного тока $J(t),$ охватывая его $N$ раз, расположен соленоид (число витков на единицу длины --- $n,$ поперечная площадь сечения витка --- $S$), внутри которого пропущен обратный виток (см. рисунок; здесь $N = 1$$$B=\frac{2I}{cr}.$$$$ \Phi = BS n\ell, $$$\ell$$n$$\ell = 2\pi r N$$N$$$\Phi=BS\cdot (Nn\cdot2\pi r).$$$$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{cdt}=-\frac{4\pi n \dot INS}{c^{2}}.$$…

res6.49

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-11T16:29:31+00:00

6.49. Петля с сопротивлением $R$ и подсоединенным к ней конденсатором емкостью $C$ (индуктивность петли пренебрежимо мала) охватывает бесконечный цилиндрический соленоид с сечением $S.$$T$$(\dot B = \text{const}).$$$ \Phi= BS. $$$$ \mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{cdt}=-\frac{\dot B S}{c}. $$$$ \mathcal{E}=IR+\frac qC, $$$$ \frac IC=-\dot IR. $$$$ I=I_0e^{-\frac{t}{CR}}. $$$$ I_0=\frac{\mathcal{E}}{R} $$$T$$$ q=C\mathcal{E}(1-e^{-\frac{T}{CR}})=\frac{C\dot B S}{c}(e^{-\frac{T}{CR}}-1). $$…

res6.50

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-09T14:45:39+00:00

6.50. В горизонтальной плоскости лежит проводник. Радиусы колец проводника, образующих <<восьмерку>>, равны $a$ и $b$. По проводнику течет ток $J=J_0\sin \omega t$. В точке $A$$R$$Q$$R\gg a,b$$OA$$OZ$$\theta$\[ \vec B = \frac{{\vec m}}{{r^3 }} - \frac{{3\vec r\left( {\vec m\vec r} \right)}}{{r^5 }}, \]$\vec m$$S$$J$$\vec m=\frac{SJ}{c}\vec n$\[ \vec m = \frac{\pi( b^2 - a^2)}{c}J. \]$z$$z$\[ E_{\varphi} \cdot 2\pi r\sin \theta = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}} = -\frac{1}{c…

res6.55

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-13T09:56:11+00:00

6.55. а) Два длинных коаксиальных полых цилиндра заряжены закрепленными противоположными по знаку и равными по величине зарядами. Поверхностная плотность зарядов внутреннего цилиндра радиуса $a$$+\sigma$$\mu$$\omega_-$$\omega_+$$\vec{B}=\vec{B}_0e^{i\omega t}$$m$$q$\[ H=\frac{4\pi}{c}j=\frac{4\pi}{c}\sigma v=\frac{4\pi}{c}\sigma \omega a. \]\[ J\frac{d\omega_{+}}{d t}=\mu a^2\frac{d\omega_{+}}{d t}=N=Fa=\sigma E 2\pi a a, \]$J=\mu a^2$\[ 2\pi a E=-\frac{1}{c}\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{1}{c}\left[…

res6.76

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-20T14:25:14+00:00

6.76. Полупространство $Z\geq 0$ заполнено проводником с проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью $\mu$. Параллельно плоскости $Z=0$ имеется электрическое поле $\vec{E}=\vec{E}_0e^{-i\omega t}$$\overline{P}=\int \limits_0^\infty(\overline{\vec{j}\vec{E}})dz$$\infty$$Z$$1\times 1$$$\text{rot}\,\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\,,$$$$\text{rot}\,\vec{H}=\frac{4\pi\sigma}{c}\,\vec{E}\,,$$$$ \text{div}\,\vec{B}=0, $$$$\text{div}\,\vec{D}=0,$$\begin{equation}\vec{j}=\sig…

res6.77

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-12T05:46:36+00:00

6.77. Полупространство $Z\geq 0$ заполнено проводником с проводимостью $\sigma$. Параллельно плоскости $Z=0$ включено переменное электрическое поле, представляющее собой сумму двух полей с разными амплитудами $E_0$$E_1$$\omega$$10\omega$$\overline{W}$$Z$\[ \Delta \vec E = \frac{{4\pi \sigma \mu }}{{c^2 }}\frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}}, \]\[ \vec E(0,t)=\vec E_0 e^{-i\omega_0 t}+\vec E_1 e^{-i\omega_1 t}. \]\[ \vec E(z,t)=\vec E_0 e^{-z/\delta_0}e^{-i\omega t-z/\delta_0}+\vec E_1 e^{-z/\…

res6.78

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-17T11:48:17+00:00

6.78. Покрытая тонким изолирующим покрытием металлическая пластина толщины $a,$ ширины $b,$ длины $2\ell$ $($причём $a \ll b, \ell)$ и проводимостью $\sigma $ сложена вдвое (см. рисунок). Найти активное сопротивление пластины переменному току частоты $\omega $$$ R=\frac{L}{\sigma S}. $$$L=2\ell$$\delta \ll a$$b\cdot \delta$$$ R=\frac{L}{\sigma S}=\frac{2\ell}{\sigma b\delta}. $$…

res6.79

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-12T05:49:19+00:00

6.79. Найти активное сопротивление тонкого цилиндрического проводника (длина --- $\ell$, радиус --- $a$, проводимость --- $\sigma$; $\mu=1$) в предельных случаях слабого и сильного скин$\,Z$$\;\vec{E}$$\,z$$\,r$$\,\omega$$$\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\; \frac{\partial E}{\partial r}+ k^2 E=0\,,$$$$k=\pm\frac{1-i}{\delta}\,,\quad \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\mu\sigma\omega\,}}\,,\qquad E=E_z\,.$$$$E_z=A_1\,{\cal I}_0(kr)+A_2\,Y_0(kr)\,,$$$\;{\cal I}_0(kr)\,,\;\,Y_0(kr)$$\,E$$\…

res6.81

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-12T05:52:47+00:00

6.81. Широкая плита с проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью $\mu$, ограниченная плоскостями $x=\pm h$, обмотана проводом, по которому течет ток\lb $J=J_0e^{-i\omega t}$. Провод тонкий, число витков на единицу длины $n$$(\delta\gg h)$$(\delta\ll h)$$$ H\left( x \right) = H_0\sqrt{ \left[ {{{\left( {\sh^2 \frac{x}{\delta } + \cos ^2 \frac{x}{\delta }} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {Sh^2 \frac{x}{\delta } + \cos ^2 \frac{x}{\delta }} \right)} {\left( {\sh^2 \frac{h}{\delt…

res6.82

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-17T13:37:35+00:00

6.82. Металлический шар радиуса $a$ проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью $\mu$ помещен в однородное переменное магнитное поле $H(t)=H_0e^{-i\omega t}$. Считая частоту малой, найти в первом неисчезающем приближении распределение вихревых токов в шаре и среднюю поглощаемую им мощность.$\omega$$\;\delta$$$\nabla^2\vec{H}= -\frac{4\pi i\mu\sigma\,\omega}{c^2}\;\vec{H}$$$$\vec{H}=\frac{3}{\mu+2}\vec{H}_0\, e^{-i\omega\,t}\,.$$$R,\,\theta,\,\alpha$$\,\theta$$\,Z$$\,\vec{H}_0$\beg…

res6.83

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-19T01:57:31+00:00

6.83. Металлический шар помещен в однородное магнитное поле, меняющееся с частотой $\omega$. Найти результирующее поле и среднюю поглощаемую шаром мощность при больших частотах. Радиус шара $a$$\mu$$\sigma$$\delta$$a$$\,\delta \ll a$$\;\vec{m}=b\vec{H}_0$$$\vec{H}=\vec{H}_0-\frac{\vec{m}}{R^3}\,+ \frac{3\vec{R}(\vec{m}\,\vec{R})}{R^5} \qquad\mbox{при}\qquad R\,>\,a\,.$$$\;B_R\big|_{R=a}=0$$$H_0\,\cos\theta- \frac{bH_0\,\cos\theta}{a^3}+ \frac{3bH_0\,\cos\theta}{a^3}=0\,,$$$\;\vec{m}=-\vec{H}_0a…

res6.85

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-18T10:15:55+00:00

6.85. Найти среднюю магнитную проницаемость среды, представляющую собой «газ» из металлических шариков радиуса $a,$ их число в единице объема $n.$$\sigma ,$$\mu .$$\omega ,$$a;$$a.$$\delta \ll a$$$ \vec m=-\frac 12 Ha^3, $$$\overline{ \mu}$$$ \vec B=\overline{ \mu} \vec H = \vec H + 4\pi \vec M = \vec H + 4\pi n \vec m. $$$$ \overline{ \mu} = 1-2\pi n a^2. $$$\delta \gg a$$$ \vec m=\frac{\mu - 1}{\mu + 2}\vec H a^3, $$$$ \overline{ \mu} = 1+4\pi n \frac{\mu - 1}{\mu + 2}a^3. $$…

res6.102

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-20T13:37:54+00:00

6.102. По цилиндрическому проводнику радиуса $a$ и длины $\ell \ll a$ течет равномерно распределенный по сечению ток $J.$ Показать, что выделяющееся в проводнике джоулево тепло равно энергии электромагнитного поля, которая поступает в проводник извне.$J$$\pi R^2$$E=\frac{J}{\pi R^2 \sigma}.$$H=\frac{2J}{cR}$$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times \vec{H}],$$$$ S=\frac{c}{4\pi}\frac{J}{\pi R^2 \sigma}\frac{2J}{cR}=\frac{J^2}{2 \pi ^2R^3 \sigma}. $$$2\pi R \ell$$$ P= S2\pi R \ell= \frac{J^2}{2 \pi …

res6.103

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-22T11:58:32+00:00

6.103. Найти энергию, которую несет с собой электромагнитное поле, распространяющееся вдоль воздушного коаксиального кабеля без потерь. Показать, что энергия, протекающая за единицу времени через сечение кабеля, равна мощности, которую отдает источник, питающий кабель.$U$\[ \vec E =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}. \]$$ \vec H=\frac{2J}{cr}. $$$$ \vec S=\frac{c}{4\pi}[\vec E\times \vec H] $$$dA$$$ P=\int (\vec S\cdot d\vec A)=\int \limits_{r_1}^{r_2} \frac{c}{4\pi}EH\ dA= \int \…

res6.106

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-20T14:08:09+00:00

6.106. Показать, что при разрядке плоского цилиндрического и сферического конденсаторов на их обкладках ток проводимости совпадает с током смещения.$q=CU$$C=\frac{\varepsilon S}{4\pi d}$$$ q=\frac{\varepsilon S U}{4\pi d} = \frac{ S }{4\pi }D, $$$D=\varepsilon \frac Ed$$$ J=\frac d{dt}q=\frac{ S }{4\pi }\frac d{dt}D=\frac{ S }{4\pi }4\pi j_{смещ}=J_{смещ}, $$$$ j_{смещ}=\frac{1 }{4\pi }\frac{\partial D}{\partial t} $$$$ q=\frac{ S }{4\pi }D, $$$$ J=J_{смещ}. $$…

res6.107

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-19T15:27:36+00:00

6.107. Найти плотность тока смещения $\vec{j}_{см}$ в плоском конденсаторе, пластины которого раздвигаются со скоростью $u,$ оставаясь параллельными друг другу, если: $Q$$U$$d$$$ j_{смещ}=\frac{1 }{4\pi }\frac{\partial D}{\partial t}. $$$C=\frac{\varepsilon S}{4\pi d}$$$ q=\frac{\varepsilon S U}{4\pi d} = \frac{ S }{4\pi }D, $$$$ \sigma = \frac qS= \frac{ D }{4\pi }. $$$$ j_{смещ}=\frac{1 }{4\pi }\frac{\partial D}{\partial t}=\frac{\partial \sigma}{\partial t}=0. $$$$ j_{смещ}=\frac{1 }{4\pi }…

res182

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-06T08:56:45+00:00

182. Ёмкости двух уединённых проводников равны $C_1$ и $C_2$. Эти проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon $ вакууме на расстоянии $r,$$$ c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt} c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt} c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr). $$$\frac 1r.$$$ \varphi_{1}=\frac{q_{1}}{C_{1}}+\frac{q_{2}}{r} $$$$ \varphi_{2}=\frac{q_{1}}{r}+\frac{q_{2}}{C_{2}}. $$$$ S=\left(\begin{array}{cc} C_{1}^{-1} & r^{-1}\\ r^{-1} & C_{2}…

res183

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-06T08:57:44+00:00

183. Ёмкостные коэффициенты системы двух проводников равны $c_{11},$ $c_{22},$ $c_{12}=c_{21}.$ Найти ёмкость $C$ конденсатора, обкладками которого служат эти два проводника. $$ C=\frac{Q}{\varphi_{1}-\varphi_{2}} $$$$ S=\left(\begin{array}{cc} c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}\left(\begin{array}{cc} c_{22} & -c_{21}\\ -c_{12} & c_{11} \end{array}\right), $$$$ \varphi_{1}=\frac{Qc_{22}}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}-\frac{-Qc_{21}}{c_{11}c_{22…

t01

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-23T03:06:48+00:00

Электрическое поле $\vec{E}$ удовлетворяет уравнению $$ (1) \hspace{10pt} \text{rot} \, \vec{E}=0 $$ и, значит, является потенциальным, т. е. таким полем, в котором работа сил поля при перемещении заряда из одной точки в другую не зависит от пути, по которому производится его перемещение, а зависит только от расположения начальной и конечной точек. Потенциальность поля обусловливает существование такой скалярной функции, называемой потенциалом $\varphi$$\varphi $$$ (2) \hspace{10pt} \vec{E}=-\te…

t2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-09-11T11:58:02+00:00

Эти задачи, обладают такой симметрией распределения зарядов, что можно, не решая, указать поверхности, на которых напряженность электрического поля $\vec{E}$$\vec{E}$$S$$4\pi$$CGSE$$$ (1) \hspace{10pt} \oint\limits_S(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi\int\limits_V\rho dv, $$$d\vec{s}$$ds$$\rho$$\vec{E}$$S$$\vec{E}$$d\vec{s}$$\vec{E}$$ds$$E$$E$$\vec{E}$

t03

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-09-06T10:55:25+00:00

Уравнение Пуассона и Лапласа $\Delta\varphi=-4\pi\rho$ --- уравнение для потенциала с источниками (зарядами) --- уравнение Пуассона и $\Delta\varphi=0$ --- уравнение без источников ---\[ \Delta\varphi=\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}\left( R\frac{\partial\varphi}{\partial R}\right)+\frac{1}{R^2}\frac{\partial ^2\varphi}{\partial \alpha^2}+\frac{\partial ^2\varphi}{\partial z^2}=-4\pi\rho. \]\[ \Delta\varphi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial\varphi}{\partial …

t05

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-19T15:23:56+00:00

Если задано распределение заряда в пространстве --- $\rho\left(\vec{r}'\right)$, то можем найти и потенциал в произвольной точке пространства --- $\vec{r}.$ Обратим внимание, что для точки в пространстве, где наблюдаем потенциал мы используем радиус вектор без штриха, а со штрихом $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\int\frac{\rho\left(\vec{r}'\right)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV'.$$$$\varphi\left(\vec{r}\right)=\sum_{i}\frac{q_{i}}{|\vec{r}-\vec{r}_{i}'|}.$$$|\vec{r}|\gg|\vec{r}'|$$\frac{1}{|\vec{r}-\ve…

t06

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-09-19T15:32:16+00:00

Мультиполи При $r \gg a$, где $a$ --- характерный размер системы зарядов, потенциал произвольной системы зарядов $$ \varphi=\frac{q}{r}+\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{r^3}+\frac{1}{2}\sum_{\mu \nu}{D_{\mu \nu}} \frac{x_\mu x_\nu}{r^5}+\ldots, $$ где $$q=\sum \limits_k q_k \text{ } - \text{ заряд},$$ $$\vec{p}=\sum \limits_k q_k \vec{r^\prime}_k \text{ } - \text{ дипольный момент},$$ $$D_{\mu \nu}=\sum\limits_k q_k\left(3x_\mu^{\prime k} x_\nu^{\prime k}-r_k^{\prime 2}\delta_{\mu \nu}…

t07

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-09-19T08:34:21+00:00

Электростатика в среде Уравнения Максвела в однородной среде с диэлектрической проницаемостью в дифференциальной форме имеют вид: \begin{equation} \text{div} \vec{D}=4\pi\rho_{\text{своб}} \,,\,\, \text{rot} \vec{E}=0, \end{equation} где $\vec{D}=\vec{E}+4\pi \vec{P}=\varepsilon \vec{E}\,.$ Вектор поляризации $$$\vec{P}=\frac{\varepsilon-1}{4\pi}\vec{E}.$$\begin{equation} \iint \limits_S D_n dS=4\pi q_\text{своб}\,,\,\,\oint E_\ell\,d\ell=0\,, \end{equation}$q_\text{своб}$\begin{…

t08

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-09-28T03:40:05+00:00

Исходя из принципа суперпозиции вполне естественно следует, что потенциалы $\varphi _i$ системы зарядов из $n$ проводников являются линейными функциями зарядов $q_i$$$ \varphi _i = \sum \limits_{j=1}^n s_{ij}q_j \,, \hspace{10pt} \text{для } i\in \{1,2, \ldots , n\}. $$$s_{ij}$$\varepsilon$$s_{ij}=s_{ji}.$$s_{ij}$$\varphi _i$$i-$$j-$$q_j=1.$$$ q _i = \sum \limits_{j=1}^n c_{ij}\varphi _j \,, \hspace{10pt} \text{для } i\in \{1,2, \ldots , n\}. $$$c_{ij}$$c_{ii}$$c_{ij}=c_{ji}$$i\neq j.$$c_{ij}$$i…

t11

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-02T01:57:00+00:00

Закон сохранения заряда. Закон Ома Направленное движение электрических зарядов $q$ --- ток $J$. $$ J=\frac{dq}{dt}.$$ Вектор плотности тока $\vec{j}=\rho \vec{v}=en\vec{v}$. Закон Ома в дифференциальной форме: $$\vec{j}=\sigma\vec{E}.$$$J=\frac UR$$$R=\frac{\ell}{\sigma S}.$$$$\frac{dq}{dt}=-\oint j_{1n}dS,$$$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\text{div} \vec{j}.$$$\text{div} \vec{j}=0$$\left . j_{1n}\right|_{\Gamma}=j_{2n}|_{\Gamma}$$\vec{E}$$$\left . E_{1\tau}\right|_{\Gamma}=\left .E_{2\tau}…

t13

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-25T03:16:13+00:00

Магнитостатика Закон Ампера \begin{eqnarray*} {d\vec F_{12} = \frac{{J_1 J_2 \left[ {d\vec l_1 \times \left[ {d\vec l_2 \times \vec r_{12} } \right]} \right]}} {{c^2 r_{12}^3 }} = \\ \frac{{\left[ {\vec j_1 \times \left[ {\vec j_2 \times \vec r_{12} } \right]} \right]dV_1 dV_2 }} {{c^2 r_{12}^3 }} =} \\ \frac{\left[ {\vec v_1 \times \left[ {\vec v_2 \times \vec r_{12} } \right]} \right]dq_1 dq_2 }{c^2 r_{12}^3 }. \end{eqnarray*} Сила Ампера \[ d\vec F = \frac{{J\left[ {d\vec l \times \v…

t14

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-11T12:56:25+00:00

Векторный потенциал, магнитный диполь. Векторный потенциал $\vec{A}\,\, (\vec{B}=\text{rot} \vec{A})$ удовлетворяет уравнениям \[ \begin{gathered} \Delta \vec A = - \frac{{4\pi }} {c}\mu \vec j,\,\,\,\text{div}\vec A + \frac{1} {c}\frac{{\partial \varphi }} {{\partial t}} = 0. \hfill \\ d\vec A = \frac{\mu } {c}\frac{{\vec j}} {r}dV = \frac{\mu } {c}J\frac{{d\vec l}} {r} = \mu \frac{{\vec vdq}} {{cr}} = \frac{{\varepsilon \mu \vec v}} {c}d\varphi . \hfill \\ \vec A(\vec{r})=\frac{\mu } {c…

t15

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-02T07:26:01+00:00

Магнитостатика, Магнитное поле в среде Закон Био-Савара в среде \[ d\vec B = \frac{\mu}{c}\frac{{ J\left[ {d\vec l \times \vec r} \right]}} {{r^3 }} = \frac{\mu}{c}\frac{{\left[ {\vec j \times \vec r} \right]dV}} {{r^3 }} = \frac{{\mu\left[ {\vec v \times \vec r} \right]}} {{cr^3 }}dq. \] Сила Ампера в среде:\[ d\vec F = \frac{{J\left[ {d\vec l \times \vec B} \right]}} {c} = \frac{{\left[ {\vec j \times \vec B} \right]dV}} {c} = \frac{{\left[ {\vec v \times \vec B} \right]dq}} {c}. \] Вектор н…

t16

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-11T15:54:12+00:00

Условия квазистационарности \[ \begin{split} 1)~&\ell\ll \lambda=cT=2\pi c/\omega ;\\ 2)~&j=\sigma E\gg j_{\text{см}}=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial D}{\partial t}. \end{split} \] Закон Фарадея $${\cal{E}}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\iint B_n dS.$$ Магнитный поток $$\Phi=\iint B_n dS=\frac{L J}{c}.$$ Потокосцепление $$N=\int dn, \,\, \Phi=N \Phi_0.$$ Энергия $$W=-\int J{\cal{E}}dt=\int \frac{J L}{c^2}\frac{\partial J}{\partial t}…

t19

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-12T06:15:07+00:00

Теорию посмотрите в Электронном учебнике [И.А. Котельников, В.С. Черкасскии, Скин-эффект в задачах]

Задачи по физике - electrodynamics

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20