Задачи по физике - optics

201

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-02-02T09:49:09+00:00

Кинематика электромагнитной волны. Поляризация. 1.1. 1) Доказать поперечность любой электромагнитной волны, имеющей вид $\vec E=\vec E_0 (t-x\cdot \frac{\sqrt{\varepsilon \mu}}{c}).$ Показать, что $\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu} H.$ 2) Найти поток энергии, плотность импульса и момента импульса электромагнитной волны. $\vec E = (E, 0, 0).$$1$$^2$$1$$= 4, 2 \cdot 10^7$$Z.$$a$$X,$$b$$Y,$$\chi .$…

202

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-02-14T15:19:09+00:00

Граничные условия. Формулы Френеля. Вывод формул Френеля Вывод формул Френеля. Задачи 1.16. Вывести граничные условия для полей электромагнитной волны. Используя их, получить законы отражения и преломления, а также доказать равенство частот в отраженной и преломленной волнах.$\varepsilon$$\mu .$$n=\sqrt{\varepsilon}$$d \ll \lambda.$$d,$$\varphi ,$…

203

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-10T05:40:46+00:00

Фурье-анализ. 2.2. Найти спектры следующих сигналов: а) $f(t) = \text{cos}(\omega _0 t);$ б) $f(t) = \text{exp}(−\beta ^2 t^2);$ в) $f (t) = 0$ при $|t| > \frac 12 \tau$ и $f (t) = 1$ при $|t| \leq \frac 12 \tau ;$ г) $f (t) = 0$ при $t > \frac 12 \tau$ и $f (t) = \text{cos}(\frac{\pi t}{\tau})$ при $|t| \leq \frac 12 \tau ;$ д) $f (t) = 0$ при $|t| > \frac 12 \tau,$ и $1 + 2\frac{t}{\tau}$ при $− \frac 12 \tau \leq t \leq 0$ и $1 − 2\frac{t}{\tau}$ при $t \leq \frac 12 \tau.$ решение …

204

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-27T09:22:10+00:00

2.10. Найти волновой пакет для момента времени $t = 0,$ если его амплитудная функция имеет гауссовский вид $a(k)=a_{0}\exp\left(-\left(\frac{k-k_{0}}{\Delta k}\right)^{2}\right).$ решение 2.13. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета с гауссовской амплитудной кривой $a(k)=a_{0}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}\right),$$\frac{dv}{d\lambda}$$\frac{dn}{d\lambda}$$v$$v=const$$v=a\sqrt{\lambda}$$v=\frac{a}{\sqrt{\lambda}}$$v=\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}$$c$$\lambda$$v=\frac{…

205

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-29T09:17:11+00:00

2.22. Пользуясь соотношением неопределенностей, найти минимально возможный размер объекта при наблюдении его в микроскоп в отраженном свете с длиной волны $\lambda .$$\ell ,$$\lambda $$\ell ,$$\lambda $$d,$$\theta $$\ell $$\lambda .$$F$$d,$$\lambda $$d,$$\ell_{\text{средн}} \sim 6 \cdot 10^9$$θ \approx 0,01,$$\ell = 1, 5 \cdot 10^8$$\lambda = 5 \cdot 10^{-5}$

206

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-03-09T16:00:27+00:00

2.31. Показать, что в идеальный проводник электромагнитная волна не проникает, и вывести граничные условия для векторов поля электромагнитной волны на границе с идеальным проводником.$E_z$$E$$E_z.$$H$$E$$H$$\vec{E}$$\vec{H}$$E_{z}=0$$(\frac{\partial H_{z}}{\partial n}=0).$$E$$H$$a \times b.$$a = 5$$b = 3$

207

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-24T03:43:27+00:00

1.30. С помощью принципа Ферма найти: а) закон преломления света на плоской границе двух однородных сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$; б) фокусное расстояние тонкой линзы с радиусами кривизны поверхностей $R_1$$R_2$$n$$R.$$x$$\alpha = \frac{dx}{dz},$$(x_1, \alpha_1)$$(x_2 , \alpha_2),$$M_{12}$$\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$$d$$$\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$$n = 1,$$$M_f=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac 1f & 1 \end{array}\right).$$$\frac 1a …

208

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-31T03:51:11+00:00

Временная и пространственная когерентность. Контрастность. Автокорреляционная функция. 3.1. Два узких щелевых монохроматических источника света (длина волны $\lambda $$L$$2d$$\Delta x$$h$$d.$$h$$N$$d.$$a$$(N d \ll a)$$l.$$b$$d$$V$$\alpha \ll 1,$$n$$a$$S,$$b$$\lambda $$\lambda + \Delta \lambda $$d$$\lambda $$\alpha $$\vec k_1$$\vec k_2$$\tau ,$$T.$$T_0.$$T_0 \to \tau$$T_0 \to \infty.$$T_0,$$\pm E_0, \pm \frac 12 E_0, 0;$$e^{i\omega _0 t}.$…

209

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-07T04:33:12+00:00

Линии равного наклона и равной толщины. Интерферометры. 3.33. Под углом $\alpha $ на стеклянную пластинку толщиной $d$ с показателем преломления $n$ падает плоская волна (длина волны $\lambda ).$$R \gg h$$\lambda .$$h$$|AB| = |CD| = f,$$|BC| = |AD| = 2f.$$\lambda = 5 \cdot 10^{-5}$$\alpha = 2'.$$|CO2 = f|.$

210

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-18T05:41:37+00:00

Дифракция Френеля. Зоны Френеля. 3.53. Найти радиус $r_m$ для $m$--й зоны Френеля. Чему он будет равен, если падающая волна плоская? Доказать, что площади зон Френеля равны. Найти вклад в амплитуду колебания в точке B от $m$$\pi .$$m$$r_m$$m = 5,$$\lambda = 5 \cdot 10^{-5}$$r_5 = 1,5$$n$$n > 1$$I$$I_0.$$R,$$f$$d.$$R.$

211

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-22T07:35:21+00:00

Дифракция Фраунгофера. Дифракционные решетки. 3.71. Условие того, что френелева дифракция на отверстии практически совпадает с фраунгоферовой, заключается в том, что максимальная разность фаз двух лучей, идущих от разных точек отверстия к экрану, на котором наблюдается дифракционная картина, мала по сравнению с $\pi .$$d,$$\lambda $$r.$$b;$$b$$a$$N$$d.$$b$$d = a + b$$d$$b$$d = nb$$n.$$\alpha $$\theta .$$\Delta \lambda $$\lambda $$n$$h$…

212

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T05:54:48+00:00

Фурье-оптика. Голография. 3.107. Плоская волна (длина волны --- $\lambda $) падает почти нормально на боковую поверхность тонкой призмы с углом $\alpha \ll 1$ при вершине и показателем преломления $n.$$x$$y$$n(y) = n_0 (1 -\frac{y^2}{2L^2}).$$d.$$R_1$$R_2$$n.$$\lambda ,$$x$$I$$\alpha \ll 1$$f$$T$$\gamma = -2,$$T \sim I^{-\frac \gamma 2};$$S$$\delta \gtrsim \lambda $$\delta $$I(x, y).$$\lambda ,$$\lambda ' .$$f.$…

213

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-05T10:31:40+00:00

Излучение. Дипольное излучение. 4.4. Найти поля излучения $\vec E$ и $\vec H$ для точечного диполя с дипольным моментом: а) $\vec p = \vec p_0 e^{i\omega t}$; б) $\vec m = \vec m_0 e^{i\omega t}$; Указание: использовать результаты двух предыдущих задач.$r\ll \lambda .$$r\gg \lambda .$$\frac{dI}{d\theta}$$\frac{dW}{d t}$$a$$\omega $$q$$v \ll c$$\frac{e_i}{m_i}$$Ze$$v \ll c$…

214

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-17T10:56:23+00:00

Оценки мультипольного излучения. Антенны. 4.37. Найти сопротивление излучения симметричного полуволнового вибратора. решение 4.38. а) Построить полярную диаграмму направленности для излучения диполя в плоскости, проходящей через ось диполя, и в плоскости, перпендикулярной оси. $a = \frac \lambda 2$$a = \frac \lambda 2$$a = \lambda $$a = \frac \lambda 4$$\frac \pi 2$$h \ll \lambda $$\ell,$$\omega $$a$$\alpha $$\ell $$a \times b,$$\omega $$H_{10}$$I(\alpha )$$h \ll \frac \lambda 2.$…

215

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-28T14:44:36+00:00

Рассеяние волны. Давление света. 4.66. Определить эффективное сечение рассеяния свободным зарядом поляризованной волны с поляризацией: а) линейной; б) круговой; в) эллиптической.$v \ll c.$$\frac{d\sigma}{d\Omega }$$\sigma $$\lambda \gg a$$\vec d = \alpha \vec E$$\vec m = \beta \vec H$$\lambda $$d$$\frac \lambda d$$\Delta \lambda $$\lambda $$\frac \lambda 4$$R$$v \sim c,$$I$$\alpha $$R = 1.$…

216

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-21T11:22:39+00:00

Преобразование Лоренца. Эффект Доплера. Тензор электромагнитного поля. Инварианты поля. 1.10. С какой скоростью должен ехать автомобилист, чтобы спутать красный светофор с зеленым (анекдот о Вуде) ?$\omega _0$$\vec v$$\theta $$\vec v$$F^{ik} F_{ik}$$\vec E$$\vec H$$(\vec E \cdot \vec H)$

217

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-26T07:51:06+00:00

Излучение релятивистской частицы. Торможение излучением. 5.24. Переходом из системы, где частица покоится, а ускорение её $\vec a,$ в систему, где её скорость $v\sim c,$$4$$$ \Delta p^i=-\frac{2e^4}{3m^2c^5}\int F_{k\ell}u^{\ell}F^{km}u_m \, dx^i. $$$$ \Delta W=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{a^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left[\vec{v}\times\vec{a}\right]^{2}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{3}}dt $$$$ \Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E…

вектор_герца

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T07:49:10+00:00

Что такое вектор Герца? Как мы помним, векторный и скалярный потенциалы удовлетворяют уравнениям Даламбера: $$\Delta\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}= \square \varphi =-4\pi\rho,$$ $$\Delta\vec{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}= \square \vec{A} =-\frac{4\pi}{c}\vec{j},$$ которые получаются и уравнений Максвелла при наложении на потенциалы Лоренцевой калибровки $$\text{div}\vec{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.$$$\v…

k3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-05T06:20:23+00:00

Как и в задаче «4.52. Две решетки из N синфазных вибраторов...» но рассмотреть не 2, а 3 решётки?

optics

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-24T04:15:03+00:00

Задачи по электродинамике и оптике * Кинематика электромагнитной волны. Поляризация. * Граничные условия. Формулы Френеля. * Фурье-анализ. * Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости * Соотношение неопределенностей * Резонаторы и волноводы * Матричный метод расчета оптических систем * Временная и пространственная когерентность. Контрастность. Автокорреляционная функция * Линии равного наклона и равной толщины. Интерферометры * Дифракция Френеля. Зоны Френеля. * …

res_fr

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-12T10:31:50+00:00

Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей под углом $\varphi_{1}$ на плоскую границу между средами с диэлектрическими $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$$\mu_{1},\mu_{2}.$$$E+E_{1}=E_{2}, \ \ \ H\sin\varphi+H_{1}\sin\varphi_{1}=H_{2}\sin\varphi_{2},$$$\varphi$$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H},$$$k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$$$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{…

res1.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-02-03T14:36:13+00:00

1) Доказать поперечность любой электромагнитной волны, имеющей вид $\vec E=\vec E_0 (t-x\cdot \frac{\sqrt{\varepsilon \mu}}{c}).$ Показать, что $\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu} H.$ 2) Найти поток энергии, плотность импульса и момента импульса электромагнитной волны. $$\text{rot}\boldsymbol{E}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z}\\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{array}\right|$$$\partial_{x}=\frac{\partial}{\partial x}.$…

res1.6

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-02-05T05:17:32+00:00

1.6. Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной частоты распространяются вдоль оси $Z.$ Одна с амплитудой $a$ поляризована по оси $X,$$b$$Y,$$\chi .$$$\vec{E}=a\vec{e_{x}}\cos\left(\omega t-kz\right)+b\vec{e_{y}}\cos\left(\omega t-kz+\chi\right).$$$\frac{\pi}{2}$$E_{min}$$E_{max}.$$\varphi$$E_{min}$$E_{max}:$$$E^{2}=a^{2}\cos^{2}\left(\omega t-kz\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\omega t-kz+\chi\right)=a^{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\varphi+\chi\right).$$$$0=…

res1.10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-23T06:44:55+00:00

1.10. С какой скоростью должен ехать автомобилист, чтобы спутать красный светофор с зеленым (анекдот о Вуде)? ---------- В соответствии с СТО произвольный четырёхвектор $A^{\mu}=\left(A^{0},\vec{A}\right)$$$ L_{\nu}^{\mu}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), $$$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}.$$$k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},\vec{k}\right)$$$\left(\begin{array}{c} …

res1.11

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-23T06:45:17+00:00

1.11. Найти частоту световой волны, наблюдаемой при поперечном эффекте Доплера (в системе, связанной с приемником, свет распространяется перпендикулярно направлению движения источника). Каково направление распространения света в системе, связанной с источником?$$k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},k_{x},k_{y},k_{z}\right)=\left(\frac{\omega}{c},0,k,0\right)$$$$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\cos\theta'\\ k'\sin\theta'\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c…

res1.17

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-03-12T03:09:59+00:00

Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей нормально на плоскую границу между вакуумом и средой с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$$\mu.$$Ee^{i(kz-\omega t)},$$E_{1}e^{i(-kz-\omega t)}$$E_{2}e^{i(k_{2}z-\omega t)}$$$E+E_{1}=E_{2}, \ \ H+H_{1}=H_{2}.$$$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H},$$$k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$$$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\v…

res1.20

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-10T08:53:04+00:00

res1.21

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-19T02:13:01+00:00

1.21. На диэлектрическую пленку с показателем преломления $n=\sqrt{\varepsilon}$ по нормали к поверхности падает монохроматическая волна. Толщина пленки $d \ll \lambda.$ Найти коэффициент отражения волны.$Ee^{i(kz-\omega t)}$$E_{1}e^{i(-kz-\omega t)}$$E_{2}e^{i(kz-\omega t)}$$Ae^{i(k_{2}z-\omega t)}$$A_{1}e^{i(-k_{2}z-\omega t)}$$E+E_{1}=A+A_{1}$$H+H_{1}=B+B_{1}$$t=0$$z=0$$z=d$$Ae^{ik_{2}d}+A_{1}e^{-ik_{2}d}=E_{2}$$Be^{ik_{2}d}+B_{1}e^{-ik_{2}d}=H_{2}$$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\ve…

res1.25

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-21T14:14:09+00:00

1.25. Луч света падает на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной $d,$ под углом $\alpha ,$ большим угла полного внутреннего отражения. Найти интенсивность света, прошедшего через пластинку. Электрическое поле волны параллельно поверхности пластинки.$E\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$$E_{1}\exp\left(-i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$$E_{2}\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$$A_{1}\exp\left(i\vec{k}_{2}\vec{r}-i\omega t\right)$$A_{2}\exp\left(i\vec{k}_{2}\v…

res1.30-2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-11T16:40:17+00:00

Найти матрицы перехода сферической границы двух сред в параксиальном приближении и пустого пространства. ---------- Пусть световой луч падает на сферическую границу раздела сред: из среды с показателем преломления $n_{1}$$n_{2}.$$\theta_{1},$$\theta_{1}+\theta$$\text{tg}\ \theta=\frac{x}{R}$$x$$R$$\beta$$$n_{2}\sin\beta=n_{1}\sin\left(\theta_{1}+\theta\right).$$$\theta_{2}=\beta-\theta$$\theta_{1},\theta\ll\pi$$$ \theta_{2}=\beta-\theta\approx\frac{n_{1}}{n_{2}}\cdot\left(\theta_{1}+\theta\rig…

res1.31

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-11T16:42:08+00:00

1.31. Эффективным методом расчета оптических систем является матричный формализм (смотри предыдущую задачу). В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$$\alpha = \frac{dx}{dz},$$(x_1, \alpha_1)$$(x_2 , \alpha_2),$$M_{12}$$\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$$d$$$\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$$n = 1,$$$M_f=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac 1f & 1 \end{array}\right).$$$\frac 1a + \frac 1b = \frac 1f,$…

res1.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-13T06:43:15+00:00

1.33. У тонкой двояковыпуклой линзы серебрится одна из поверхностей с радиусом кривизны $R_2.$ Радиус чистой поверхности $R_1.$ Найти фокусное расстояние полученного таким образом зеркала, если показатель преломления стекла линзы $n.$$\theta_{1},$$\theta_{1}-\theta$$\text{tg}\theta=\frac{x}{R}$$x$$R$$\beta=\theta_{2}+\theta$$$\theta_{2}=\theta_{1}-2\theta\approx\theta_{1}-\frac{2x}{R},$$$$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{2}{R} & 1 \end{array}\right). $$$n=1$$n\neq1$$$\left(\begin{array}{…

res1.37

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-20T15:22:21+00:00

1.37. Имеются две системы $N$ линз с одинаковыми фокусными расстояниями $|f|$ каждой линзы. Найти траекторию луча в каждой из систем, если расстояние между линзами $d.$$\frac df$$$ M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{1}{f} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right), $$$N$$$ M_{N}=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)^{N}. $$$m$$$ \le…

res2.2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-08T06:48:00+00:00

2.2. Найти спектры следующих сигналов: а) $f(t) = \text{cos}(\omega _0 t);$ б) $f(t) = \text{exp}(−\beta ^2 t^2);$ в) $f (t) = 0$ при $|t| > \frac 12 \tau$ и $f (t) = 1$ при $|t| \leq \frac 12 \tau ;$ г) $f (t) = 0$ при $t > \frac 12 \tau$ и $f (t) = \text{cos}(\frac{\pi t}{\tau})$ при $|t| \leq \frac 12 \tau ;$ д) $f (t) = 0$ при $|t| > \frac 12 \tau$ и $1-2|\frac{t}{\tau}|$ при $|t|\leqslant\frac{\tau}{2}$. ---------- а) Для функции $f(t)=\cos(\omega_{0}t)$ рассмотрим её образ: $$ f_…

res2.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-10T05:26:11+00:00

2.3. Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье полей и потенциалов в однородной изотропной диспергирующей среде (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).$$ \left[\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right]_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial\left(\mathbf{B}e^{i\omega t}\right)}{\partial t}-i\omega\mathbf{B}e^{i\omega t}dt=…

res2.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-10T14:31:01+00:00

2.4. Найти связь между компонентами Фурье полей и потенциалов (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).$$\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}],$$$$\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$$$$ \mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\…

res2.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-10T15:41:00+00:00

2.5. а) Разложить по плоским волнам кулоновский потенциал неподвижного точечного заряда; б) то же для векторного потенциала прямого тока $J$$J = j\delta (x)\delta (y) ).$$$\Delta\varphi=-4\pi q\delta(\mathbf{r}).$$$$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$$$ \delta(\mathbf{r})=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} .$$$\varphi$$$ \Delta\varphi=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{k…

res2.10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-22T15:28:34+00:00

2.10. Найти волновой пакет для момента времени $t = 0,$ если его амплитудная функция имеет гауссовский вид $a(k)=a_{0}\exp\left(-\left(\frac{k-k_{0}}{\Delta k}\right)^{2}\right).$ ---------- Волновой пакет --- это результирующее поле, полученное путем суммирования гармонических волн с непрерывно меняющимся волновым вектором $k$$k$$t = 0$$$ E\left(z,0\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}a(k)e^{ikz}\,dk=a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\left(\frac{k-k_{0}}{\Delta k}\right)^{2}+ikz\right)\,dk…

res2.13

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-23T09:30:13+00:00

2.13. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета с гауссовской амплитудной кривой $a(k)=a_{0}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}\right),$ учитывая и квадратичные члены в дисперсии.$$\omega\left(k\right)\approx\omega_{0}+\left.\frac{\partial\omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2}\left.\frac{\partial^{2}\omega}{\partial k^{2}}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)^{2}=\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}.$$$$ E\left(z,t\right)=\intop_{-\infty}^{\inft…

res2.17

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-02-13T11:49:49+00:00

2.17. Вывести формулу Рэлея для связи групповой и фазовой скоростей через $\frac{dv}{d\lambda}$, а также через $\frac{dn}{d\lambda}$. ---------- Продифференцируем фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$ по длине волны: $$ \frac{dv}{d\lambda}=\frac{d\frac{\omega}{k}}{dk}\frac{dk}{d\lambda}= \left(\frac{1}{k}\frac{d\omega}{dk}-\frac{\omega}{k^{2}}\right)\frac{dk}{d\lambda}= $$$$ \left(\frac{1}{k}u-\frac{v}{k}\right)\frac{dk}{d\lambda}= \left(\frac{1}{k}u-\frac{v}{k}\right)\left(-\frac{k}{\lambda}\…

res2.18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-24T12:28:55+00:00

2.18. Вычислить групповую скорость для различных законов дисперсии ($v$ --- фазовая скорость): а) $v=const$ --- звук в воздухе; б) $v=a\sqrt{\lambda}$ --- гравитационные волны на воде; $v=\frac{a}{\sqrt{\lambda}}$$v=\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}$$c$$\lambda$$v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$$\varepsilon=\varepsilon(\omega)$$\mu=\mu(\omega)$$c$$\alpha$$v=\frac{\omega}{k}$$u=\frac{d\omega}{dk}$$v=\text{const},$$$u=\frac{d\left(vk\right)}{dk}=v.$$$\omega=vk$$\om…

res2.22

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-27T13:20:02+00:00

2.22. Пользуясь соотношением неопределенностей, найти минимально возможный размер объекта при наблюдении его в микроскоп в отраженном свете с длиной волны $\lambda .$$2\theta $$k_x$$k_x\cdot x \sim \pi$$\frac{k_x}{k}\sim \sin \theta $$$ x\sim \frac{\pi}{k \sin \theta} = \frac{\lambda }{2 \sin \theta}.$$

res2.25

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-27T13:25:15+00:00

2.25. Оценить диаметр отверстия камеры--обскуры длиной $\ell ,$ при котором изображение получится самым резким (длина волны $\lambda $). ---------- При перпендикулярном падении света на отверстие вырезается только часть пучка света и появляется разброс волновых векторов в соответствии с соотношением неопределенностей: $$k_x d \sim \pi.$$$\theta =\frac{k_x}{k},$$$ D=d+2\ell \theta\sim d+2\ell \frac{\pi}{d k}=d+\ell \frac{\lambda }{d}. $$$$ \frac{\partial \ D}{\partial\ d}=1-\ell \frac{\lambda }…

res2.26

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-27T13:30:05+00:00

2.26. Плоская волна падает на щель в экране шириной $d,$ образуя угол $\theta $ с нормалью к плоскости экрана. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину световой полосы на втором экране, расположенном на расстоянии $\ell $$\lambda .$$d,$$d'=d \cos \theta. $$k_x$$d'\cdot k_x \sim \pi$$ k_x\sim \frac{\pi}{d'}.$$$ \theta \sim \frac{k_x}{k}\sim \frac{\lambda }{2 d \cos \theta}. $$$\frac{\ell}{\cos\theta},$$\frac{1}{\cos \theta}$$$ D\sim d+\ell \frac{\lambda }{d \cos ^3\theta }. $$…

res2.28

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-27T13:43:35+00:00

2.28. Используя соотношения неопределенностей, оценить размер пятна на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы (фокусное расстояние $F$$d,$$\lambda $$\Delta k_x$$$ \Delta k_x d \sim \pi, $$$$ \theta = \frac{\Delta k_x}{k}\sim \frac{\lambda}{2d}, $$$$ D\approx 2\theta F=\frac{F \lambda}{d}. $$

res2.29

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-02-28T13:42:31+00:00

2.29. Используя соотношение неопределенностей и вводя размер своего зрачка $d,$ оценить в виде кружка или яркой звезды Вы увидели бы Солнце с орбиты Плутона ($\ell_{\text{Пл}} \sim 6 \cdot 10^9$$θ \approx 0,01,$$\ell = 1, 5 \cdot 10^8$$\lambda = 5 \cdot 10^{-5}$$$ D\sim F \frac{\lambda}d. $$$$ L\approx F\alpha \approx F \frac{R}{\ell_{Пл}}\approx F\theta \frac{\ell}{\ell_{Пл}}. $$$L \gg D,$$L\lesssim D$$\theta $$$\frac{\lambda \cdot \ell_{Пл}}{d \cdot \ell}=\frac{5\cdot 10^{-5}\cdot 6 \cdot 1…

res2.31

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-05T10:15:49+00:00

2.31. Показать, что в идеальный проводник электромагнитная волна не проникает, и вывести граничные условия для векторов поля электромагнитной волны на границе с идеальным проводником.$\sigma $$\sigma \to \infty$$\vec E$$\vec E_{in}=0$$E_t=0$$\vec B$$B_n=0.$

res2.32

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-04T05:04:25+00:00

2.32. Найти связь между поперечными компонентами полей и продольной составляющей электрического поля $E_z$ для монохроматической $E$--волны (или TM$E_z.$$H$$a$$b,$$Z$$\varepsilon $$\mu .$$$ \Delta \vec E = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} \ \ \text{ и } \ \ \Delta \vec H = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec H}{\partial t^2}, $$$v=\frac c{\sqrt{\varepsilon \mu}}$$Z$$$ \vec E=\vec E_0(x,y)e^{i(\omega t - k_z z)} \ \ \text{ и } \ \ \vec H=\vec H_0(x,y)e^{i(\omega t - k_z z)}. $$…

res2.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-09T14:54:04+00:00

2.33. Показать, что для $E$--волны ($H$--волны), распространяющейся вдоль прямоугольного пустого волновода, граничные условия для $\vec{E}$ и $\vec{H}$ выполнены, если на стенках волновода $E_{z}=0$$\frac{\partial H_{z}}{\partial n}=0$$$ H_{x0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right), \hspace{10pt} E_{x0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\mu\omega}{c}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+k_{z}\frac{…

res2.34

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-03-10T03:57:49+00:00

2.34. Определить $E$--волны ($H$--волны), которые могут распространяться вдоль пустого волновода прямоугольного сечения $a \times b.$ Найти критическую (наименьшую) частоту этих волн.$E_{z}(x,y)$$$\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}E_{z}$$$E_{z}|_{\Gamma}=0.$$E_{z}=X(x)\cdot Y(y).$$$Y\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+X\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}XY$$$XY,$$$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+\frac{1}…

res3.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-08T14:04:36+00:00

3.1. Два узких щелевых монохроматических источника света (длина волны $\lambda $) расположены на расстоянии $L$ от экрана и на расстоянии $2d$ друг от друга. Найти расстояние между полосами на экране.$$I\sim E^{2}=\left|E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right|^{2}=$$$$ \left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)^{*}=$…

res3.2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-22T08:15:21+00:00

3.2. В схеме опыта Юнга найти распределение интенсивности на экране. ---------- Так как щели являются когерентными источниками света, то можно воспользоваться результатами $$I=4I_{0}\cos^{2}\frac{kxd}{L},$$$I_0$

res3.3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-22T08:39:21+00:00

3.3. Определить показатель преломления стекла, если интерференционные полосы в схеме Юнга смещаются на величину $\Delta x$ при помещении стеклянной пластинки толщиной $h$$d.$$2d$$d$$n$$\Delta\varphi_{1}=k(l_{2}-l_{1})$$$l_{2}-l_{1}=\frac{xd}{L}$$$\Delta\varphi_{2}=k(n-1)h$$$I=2I_{0}\left(1+\cos\left(\Delta\varphi_{1}+\Delta\varphi_{2}\right)\right)=2I_{0}\left(1+\cos k\left(\frac{xd}{L}+(n-1)h\right)\right)$$$2\cos^{2}\alpha=1+\cos2\alpha :$$$I=4I_{0}\cos^{2}\frac{k}{2}\left(\frac{xd}{L}+(n-1)h\…

res3.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-22T08:58:36+00:00

3.4. В схеме зеркала Ллойда найти распределение интенсивности на экране. Источник света --- узкий, щелевой, монохроматический. ---------- Что бы рассчитать расстояние $r_2$$\frac \lambda 2$$\pi $$$ I=I_0\cos^2\left( \frac{kxh}{L} +\frac \pi 2\right)=I_0\sin^2\left( \frac{kxh}{L}\right). $$

res3.7

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-22T15:54:04+00:00

3.7. Схема Юнга (см. задачу 3.2) освещается двумя узкими щелевыми монохроматическими источниками (длина волны --- $\lambda $), расположенными на прямой, параллельной экрану со щелями на расстоянии $a$$h$

res3.11

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-09T10:26:31+00:00

3.11. $N$ некогерентных линейных источников света расположены эквидистантно с интервалом $d.$ На расстоянии $a$ от них $(N d \ll a)$ находится экран с двумя узкими щелями, параллельными источникам. Расстояние между щелями $l.$$b$$d$$V$$n$$$ \phi_{n}(x,d)=\frac{klx}{b}+\frac{kl}{a}\left(nd-h\right), $$$h$$$ I={\displaystyle \sum_{n=1}^{N}I_{n}}=2I_{0}\left(N+{\displaystyle \sum_{n=1}^{N}}\cos\phi_{n}\left(x,d\right)\right). $$$$V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=1,$$$I_{min}=0,$$x$$\cos\ph…

res3.12

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-11T06:06:27+00:00

3.12. Рассчитать изменение видности интерференционных полос в схеме Юнга по мере увеличения ширины источника. ---------- На экране наблюдается картина интерференции от двух параллельных щелей, расположенных на расстоянии $d$$\alpha_{0}\ll 1.$$P$$S$$y$$$ \phi_{n}(x,d)=\frac{kdx}{b}+\frac{kdy}{a}=kd\left(\alpha+\beta\right), $$$$\frac{x}{b}=\text{tg}\beta\approx\beta,\,\frac{y}{a}=\text{tg}\alpha\approx\alpha.$$$$I={\displaystyle \int dI}={\displaystyle \intop_{-\frac{1}{2}\alpha_{0}}^{\frac{1}{…

res3.16

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-11T06:12:03+00:00

3.16. Бипризма Френеля с углом при вершине $\alpha \ll 1,$ показателем преломления $n$ и расстоянием до экрана $a$ освещается узким щелевым источником $S,$ расположенным на расстоянии $b$$\lambda $$\lambda + \Delta \lambda $$\alpha\ll1.$$\alpha,$$\beta=n\alpha.$$$\gamma=\beta-\alpha=\left(n-1\right)\alpha .$$$$d=|AC|=b\theta-b(\theta-\gamma)=b\gamma=b\left(n-1\right)\alpha .$$$a+b.$$x_{m}$$$\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m ,$$$$\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m-\frac{\pi}{2}.$$$\lambda$$\lambda+\Delta\lambda$$$\p…

res3.18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-15T10:21:35+00:00

3.18. a) Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой интерференционную схему Юнга, в которой расстояние $d$ между отверстиями может изменяться. Найти зависимость видности интерференционных полос в интерферометре Майкельсона от расстояния между отверстиями и длины волны $\lambda $$\alpha $$$V=|\cos\frac{kdh}{a}|=|\cos kd\alpha|,$$$$ \alpha \approx \text{tg } \alpha = \frac ha.$$…

res3.33

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-11T06:14:28+00:00

3.33. Под углом $\alpha $ на стеклянную пластинку толщиной $d$ с показателем преломления $n$ падает плоская волна (длина волны $\lambda ).$ Найти условия образования интерференционных максимумов и минимумов отраженного света.$$\ell_{1}=\frac{\lambda}{2}+\delta_{1},$$$\delta_{1}=\delta\sin\alpha$$\delta=2d\text{tg}\beta$$$\ell_{1}=\frac{\lambda}{2}+2d\text{tg}\beta\sin\alpha.$$$$\ell_{2}=\frac{2nd}{\cos\beta}.$$$$\Delta=\ell_{2}-\ell_{1}=\frac{2nd}{\cos\beta}-2d\text{tg}\beta\sin\alpha-\frac{\lam…

res3.34

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-11T06:17:49+00:00

3.34. Принимая интенсивность падающего пучка за единицу, найти интенсивность проходящего и отраженного пучков при многократной интерференции на плоскопараллельной пластинке (поглощение света отсутствует).$I_{0}$$R.$$$I_{1'}=\left(1-R\right)^{2}I_{0},$$$$I_{2'}=R^{2}I_{1'}=R^{2}\left(1-R\right)^{2}I_{0},$$$$I_{3'}=R^{2}I_{2'}=R^{4}\left(1-R\right)^{2}I_{0},$$$m+1$$$I_{m+1}=R^{2m}\left(1-R\right)^{2}I_{0}.$$$E\sim\sqrt{I}$$$E_{m+1}=R^{m}\left(1-R\right)E_{0}.$$$$\Delta=2nd\cos\beta,$$$$\varphi=k\D…

res3.35

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-15T10:39:49+00:00

Диэлектрический слой с проницаемостью $\varepsilon _2,$ ограниченный плоскостями $z = 0$ и $z = a,$ разделяет диэлектрические среды с проницаемостями $\varepsilon _1$ и $\varepsilon _3$ ($\mu _1 = \mu _2 = \mu _3 = 1$). На этот слой из области $z < 0$$\varepsilon _1,$$\varepsilon _2,$$\varepsilon _3$$I_{0}$$$R_{1}=\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_{1}}-\sqrt{\varepsilon_{2}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}}\right)^{2},$$$$R_{2}=\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}…

res3.37

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-15T10:47:35+00:00

3.37. Найти радиусы интерференционных колец (колец Ньютона) в проходящем (а) и отраженном (б) свете на воздушном клине между зеркалом и плосковыпуклой линзой (её радиус $R \gg h$$\lambda .$$\Delta=2\delta$$$\left(R-\delta\right)^{2}+x^{2}=R^{2},$$$x\ll R$$\delta^{2}\ll x^{2}$$$\delta=\frac{x^{2}}{2R}$$$$\Delta=\frac{x^{2}}{R}.$$$\Delta=m\lambda,$$\Delta=m\lambda-\frac{1}{2}\lambda.$$$r_{m}=\sqrt{m\lambda R},$$$$r_{m}=\sqrt{\left(m-\frac{1}{2}\right)\lambda R}$$$\frac{1}{2}\lambda$…

res3.44

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-15T10:54:08+00:00

3.44. Эталон Фабри--Перо представляет собой плоскопараллельную пластину, обычно воздушную, образующуюся между двумя плоскими поверхностями тщательно отшлифованных и отполированных стеклянных или кварцевых пластинок, установленных так, чтобы поверхности, обращенные друг к другу, были строго параллельны. Интерференционные полосы при этом имеют вид концентрических колец. $h$$$\Delta=\ell_{2}-\ell_{1}=\frac{2nd}{\cos\beta}-2d\,\text{tg}\beta\sin\alpha-\frac{\lambda}{2} $$$$\Delta=\ell_{2}-\ell_{1}=\…

res3.53

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-18T05:39:50+00:00

3.53. Найти радиус $r_m$ для $m$--й зоны Френеля. Чему он будет равен, если падающая волна плоская? Доказать, что площади зон Френеля равны. Найти вклад в амплитуду колебания в точке B от $m$$$E_{B}=\frac{k}{2\pi i}\int E_{C}\frac{e^{ikr}}{r}\vec{n}\,d\vec{S}=\frac{1}{i\lambda}\int E_{C}\frac{e^{ikr}}{r}\cos\psi\,dS$$$\vec{n}$$B$$dS$$\psi$$B.$$A$$B$$A$$C$$C$$B.$$B$$C$\[ E_{B}=\frac{kE_{A}}{2\pi i}\int\frac{e^{ika}}{a}\frac{e^{ikR}}{R}\cos\psi\,dS=\frac{kE_{A}}{2\pi i}{\displaystyle \intop_{0}^{r…

res3.54

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-18T05:43:14+00:00

3.54. Получить оценку вклада в колебание в точке B при открытии и закрытии произвольного числа зон Френеля. В частности, когда: а) закрыты все зоны, кроме первой;$\pi .$$$E_{B}\approx 2 E_0 \sum_{m=1}^{N} (-1)^{m-1} \cos \psi _m $$$$E_{B}\approx 2 E_0 \sum_{m=1}^{N} \cos \psi _{2m-1} ; $$$\pi $$-1$$$E_{B}\approx 2 E_0 \sum_{m=1}^{N} \cos \psi _m . $$

res3.55

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-18T05:44:32+00:00

3.55. Определить максимальное фокусное расстояние зонной пластинки Френеля, если её $m$-й радиус равен $r_m$ ($m = 5,$ длина волны $\lambda = 5 \cdot 10^{-5}$ см; $r_5 = 1,5$ мм). Что произойдет, если пространство между зонной пластинкой и экраном заполнено средой с показателем преломления $n$$n > 1$$m$$$ r_m=\sqrt{\frac{ab}{a+b}m\lambda }. $$$$ \frac{m\lambda}{r^2_m}=\frac 1a + \frac 1b = \frac 1f $$$f=\frac{r_m^2}{m\lambda}.$$$f=\frac{15^2\cdot 10^{-8}}{5 \cdot 5 \cdot 10^{-7}}\text{ м}=0,9 \t…

res3.56

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-18T05:49:28+00:00

3.56. Какова интенсивность $I$ света в фокусе зонной пластинки Френеля, если закрыть все зоны, кроме: а) первой? б) верхней половины первой зоны? Интенсивность света без пластинки равна $I_0.$$I\sim E^2$$I_1=4I_0$$I_{\frac 12}=I_0$

res3.67

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-18T05:55:39+00:00

3.67. Посередине между точечным источником и экраном помещен непрозрачный диск радиусом $R.$ Плоскость диска параллельна экрану, а его ось проходит через источник. На экране в точке $$E_{O}=\frac{kE_{S}}{i\left(a+b\right)}{\displaystyle e^{ik\left(a+b\right)}\intop_{0}^{\Delta}} \cos \psi e^{ikR}\,dR. $$$\Delta \to \infty$$$ E_{O}=\frac{kE_{S}}{i\left(a+b\right)}e^{ik\left(a+b\right)} \left( {\displaystyle \intop_{0}^{R_1}} \cos \psi e^{ikR}\,dR + {\displaystyle \intop_{R_1}^{\infty}} \cos \psi …

res3.71

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-22T07:37:56+00:00

3.71. Условие того, что френелева дифракция на отверстии практически совпадает с фраунгоферовой, заключается в том, что максимальная разность фаз двух лучей, идущих от разных точек отверстия к экрану, на котором наблюдается дифракционная картина, мала по сравнению с $\pi .$$d,$$\lambda $$r.$$\pi .$$d,$$\lambda $$r.$$$r=\sqrt{\frac{ab\Delta}{a+b}},$$$\Delta=R-b$$$\Delta\ll\lambda.$$$a\to\infty,$$$r^{2}=b\Delta.$$$$\frac{r^{2}}{b}=\Delta\ll\lambda,$$$b\gg\frac{r^{2}}{\lambda}.$$r\to d$$b\to r$$$r\…

res3.72

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-12T06:42:51+00:00

3.72. Найти угловое распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера на экране: а) с одной щелью шириной $b;$ Оценить относительные интенсивности максимумов, ближайших к главному.$b$$a$$$dE=\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-k\Delta)}dx,$$$\Delta=x\sin\varphi.$$\varphi,$$$ E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=\left.\frac{E_{0}}{b}\frac{e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}}{\text{-}ik\sin\varphi}\right|_{0}^{b}= $$$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1…

res3.73

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-26T07:36:28+00:00

3.73. Найти угловое распределение интенсивности при дифракции Фраунгофера в случае нормального падения света на решетку из $N$ щелей с периодом $d.$$b$$d = a + b$$N$$N$$$E=\sum_{n=0}^{N-1}\int_{dn}^{dn+b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx.$$$n$$x_{n}=x-dn$$$E=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-inkd\sin\varphi}\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=$$$$ \frac{1-e^{-iNkd\sin\varphi}}{1-e^{-ikd\sin\varphi}}\frac{E_{0}}{2b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)…

res3.74

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-26T07:37:33+00:00

3.74. Показать, что если период решетки $d$ и ширина щели $b$ соизмеримы ($d = nb$), то в спектре решетки исчезают все максимумы, номера которых кратны числу $n.$$$I=I_{0}\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nkd\sin\varphi\right)}{N\sin\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)}\right)^{2}\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)$$$I_{0}$$d=nb$$n$$$\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$$n=2$…

res3.75

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-22T07:49:44+00:00

3.75. Как изменится угловое распределение интенсивности, если на решетку из задачи 3.73 свет падает под углом $\alpha $? Под каким углом проходит максимальное изучение?$$E_{0}=E_{0}^{'}e^{ikx\sin\alpha}.$$$$E=\sum_{n=0}^{N-1}\int_{dn}^{dn+b}\frac{E_{0}^{'}e^{ikx\sin\alpha}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=$$$$\sum_{n=0}^{N-1}\int_{dn}^{dn+b}\frac{E_{0}^{'}}{b}e^{i(\omega t\text{-}ux)}dx,$$$u=k\left(\sin\varphi-\sin\alpha\right).$$n$$x_{n}=x-dn$$$E=\frac{e^{-i\frac{1}{2}Ndu}}{e^{-i\frac{…

res3.76

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-22T07:48:40+00:00

3.76. На дифракционную отражающую решетку, параметры которой даны на рисунке, свет падает под углом $\theta .$ Каков порядок спектра, имеющего максимальную интенсивность? Какая ширина $\Delta \lambda $$\lambda $$d$$\Delta$$\alpha$$\theta'=\theta+\alpha$$\varphi'=\varphi-\alpha,$$x'=\frac{x}{\cos\alpha}.$$$\Delta=x'\left(\sin\varphi'-\sin\theta'\right)=\frac{x}{\cos\alpha}\left(\sin\left(\varphi-\alpha\right)-\sin\left(\theta+\alpha\right)\right).$$$$\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\righ…

res3.101

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T05:41:54+00:00

3.101. Прозрачная периодическая структура с показателем преломления $n$ освещается плоской монохроматической волной, падающей нормально на верхнюю границу. Подобрать глубину $h$$$dE=\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-k\Delta)}dx,$$$\Delta=x\sin\varphi.$$\varphi,$$$E_{1}=\int_{0}^{a}\frac{E_{0}}{a}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=\left.\frac{E_{0}}{a}\frac{e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}}{\text{-}ik\sin\varphi}\right|_{0}^{a}=$$$$ \frac{E_{0}}{a}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}ka\sin\varphi)…

res3.107

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T05:46:00+00:00

3.107. Плоская волна (длина волны --- $\lambda $) падает почти нормально на боковую поверхность тонкой призмы с углом $\alpha \ll 1$ при вершине и показателем преломления $n.$$x$$X$$\ell=x\text{tg }\alpha\approx x\alpha,$$\Delta h=n\ell-\ell=(n-1)x\alpha,$$$\Delta\varphi=k\Delta h=k(n-1)x\alpha.$$

res3.108

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T05:54:04+00:00

3.108. Плоская волна падает на прямоугольный плоский сосуд с газом, плотность которого с высотой $y$ падает, так что показатель преломления меняется по закону: $n(y) = n_0 (1 -\frac{y^2}{2L^2}).$$d.$$$\Delta\varphi=kd\left((n-1)-(n_{0}-1)\right)=$$$$kd\left((n_{0}(1-\frac{y^{2}}{2L^{2}})-1)-(n_{0}-1)\right)=$$$$-kdn_{0}\frac{y^{2}}{2L^{2}}.$$$$\Delta\varphi=-k\frac{y^{2}}{2f}.$$$$f=\frac{L^{2}}{dn_{0}},$$$f,$…

res3.109

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T05:48:07+00:00

3.109. Плоская волна падает на тонкую собирающую или рассеивающую линзу с радиусами кривизны $R_1$ и $R_2$ и показателем преломления $n.$ Длина волны $\lambda ,$ угол между волновым вектором и оптической осью линзы мал. Найти зависимость от $x$$h\ll R$$R$$$h=h_{0}-\left(R-\sqrt{R^{2}-y^{2}}\right)\approx h_{0}-\frac{y^{2}}{2R}$$$y.$$$h\approx h_{0}-\frac{y^{2}}{2R_{1}}-\frac{y^{2}}{2R_{2}}.$$$$h\approx h_{0}-\frac{y^{2}}{2(n-1)f},$$$f$$$f^{-1}=\left(n-1\right)\left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}\right),$…

res3.114

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T05:57:36+00:00

3.114. Найти распределение интенсивности $I$ по поверхности голограммы, полученной при перекрытии опорной плоской волны (попавшей на голограмму после прохождения тонкой призмы с углом преломления $\alpha \ll 1$$f$$\gamma=(n-1)\alpha$$$E_{1}=E_{0}e^{ik\left(z\cos\gamma+x\sin\gamma\right)-i\omega t}\approx E_{0}e^{ik\left(z+x(n-1)\alpha\right)-i\omega t},$$$$E_{1}\approx E_{0}e^{ikx(n-1)\alpha-i\omega t}$$$$E_{2}\approx Ee^{ik\frac{x^{2}}{2f}-i\omega t}.$$$$I_{\text{а)}}\sim\left(E_{1}+E_{2}\right…

res3.115

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T06:04:42+00:00

3.115. Найти пропускание $T$ голограмм, полученных в предыдущей задаче (голограммы проявлены до коэффициента контрастности $\gamma = -2,$ где $T \sim I^{-\frac \gamma 2};$ считать, что при экспонировании голограмм интенсивность опорной волны была много больше интенсивности предметной волны). Найти волновое поле за голограммами в обоих случаях при освещении ее нормально падающей плоской волной (той же длины волны).$T\sim I^{-\frac{1}{2}\gamma}$$\gamma=-2$$T\sim I$$$E=Ae^{ikz-i\omega t}$$$$E_{\tex…

res3.121

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-25T06:08:28+00:00

3.121. Фурье--голограмму точечного предмета регистрируют на фотопластинке в пучке света длиной волны $\lambda ,$ а восстанавливают в пучке света длиной волны $\lambda ' .$$f.$$E=Ae^{ik'z-i\omega't}$$$\psi=k\frac{x^{2}}{2f}-kx\beta ,$$$k.$$k'$$$\psi=k'\frac{x^{2}}{2f'}-k'x\beta'.$$$$\frac{k}{2f}=\frac{k'}{2f'} \text{ и } k\beta=k'\beta',$$$$f'=f\frac{k'}{k},$$$$\delta'=f'\beta'=f\beta=\delta .$$…

res3.555

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-10T06:35:13+00:00

В схеме Юнга используется не один, а два некогерентных источника, расположенных симметрично по обе стороны от оси на расстоянии $h$ друг от друга. Найти, как зависит видность интерференционной картины от расстояния $h$$h$$x, h \ll a, L$$$ \phi(x,h)=\frac{2kxd}{L}+\frac{2kdh}{a}. $$$\frac{1}{2}h$$$I_{1}=2I_{0}\left(1+\cos\phi(x,\frac{h}{2})\right)$$$$I_{2}=2I_{0}\left(1+\cos\phi(x,-\frac{h}{2})\right).$$$E_{1}+E_{2},$$$I=I_{1}+I_{2}=2I_{0}\left(2+\cos\phi(x,\frac{h}{2})+\cos\phi(x,-\frac{h}{2})\r…

res4.4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T08:17:56+00:00

4.4. Найти поля излучения $\vec E$ и $\vec H$ для точечного диполя с дипольным моментом: а) $\vec p = \vec p_0 e^{i\omega t}$; б) $\vec m = \vec m_0 e^{i\omega t}$; Указание: использовать результаты двух предыдущих задач. $\vec{r}=(x,y,z)$$\vec{r}'=(x',y',z'),$$$\vec{A}(x,y,z,t)=\frac{\mu}{c}\int\frac{\vec{j}(x',y',z',t')}{R}dx'dy'dz',$$$$R=\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}.$$$r\gg r'$$$R\approx r\left(1-\frac{\left(\vec{r}\cdot\vec{r}'\right)}{r^{2}}\right)=r-\left(\vec{n}\cdot\vec{r}…

res4.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T08:31:42+00:00

4.5. Из решения предыдущей задачи найти поле в ближней (квазистационарной) зоне $r\ll \lambda .$ Показать, что для магнитного поля получается формула закона Био$$B_{\alpha}=\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta\approx$$$$ -\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega t}\sin\theta=-\frac{1}{cr^{2}}\frac{\partial}{\partial t}p_{0}e^{i\omega t}\sin\theta=-\frac{1}{cr^{2}}\frac{\partial}{\partial t}q\ell_{0}e^{i\omega t}\sin\theta=$$$…

res4.6

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T08:34:35+00:00

4.6. Из решения задачи 4.4 найти поле в дальней (волновой) зоне $r\gg \lambda .$ ---------- $$B_{\alpha}=\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta\approx$$ $$ \frac{\omega^{2}}{c^{2}r}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta.$$ Электрическое поле $$E_{r}=-2\left(\frac{1}{r}+\frac{i\omega}{c}\right)\frac{p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta}{r^{2}}\approx 0,$$ $$ E_{\theta}=\left(\frac{1}{r^{2}}+…

res4.7

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T08:38:10+00:00

4.7. Найти: а) угловое распределение интенсивности излучения $\frac{dI}{d\theta}$ от диполя; б) полное излучение $\frac{dW}{d t}$ от дипольного излучателя. ---------- $$B_{\alpha}=\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta\approx\frac{\omega^{2}}{c^{2}r}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta.$$ Интенсивность излучения в телесный угол $d\Omega$$$ds=r^{2}d\Omega.$$$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}\left[\vec{E}\times\vec{H}…

res4.18

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-15T12:15:56+00:00

4.18. Найти электромагнитное поле, угловое распределение и полную интенсивность, а также исследовать поляризацию при равномерном движении по окружности радиуса $a$$\omega $$q$$v \ll c$$XY$$Z$$YZ.$$p=qr_{0}$$$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t,$$$$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t,$$$$\ddot{p}_{z}=0.$$$$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{cH^{2}}{4\pi}r^{2}=\frac{1}{4\pi c^{3}}\left(\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\right)^{2}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}\left(\left[\vec{p}\times\…

res4.27

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T08:49:59+00:00

4.27. Показать, что при столкновении двух заряженных частиц с одинаковым отношением $\frac{e_i}{m_i}$ электрическое дипольное излучение отсутствует. ---------- $I=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}$$\vec{p}=\sum q_{i}\vec{r}_{i}$$$\ddot{\vec{p}}=\sum q_{i}\ddot{\vec{r}}_{i}=\sum q_{i}\vec{a}_{i}=q_{1}\vec{a}_{1}+q_{2}\vec{a}_{2}=$$$$q_{1}\frac{q_{1}q_{2}\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right)}{m_{1}\left|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right|^{3}}+q_{2}\frac{q_{1}q_{2}\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)}{m_{2}…

res4.31

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T08:53:01+00:00

4.31. Оценить энергию излучения электрона, пролетающего на большом расстоянии от тяжелого ядра с зарядом $Ze$ ($v \ll c$). ---------- Будем считать, что энергия излучения много меньше кинетической энергии электрона и он практически не отклонится от прямолинейного движения. Тогда$$I=\frac{dW}{dt}=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\left(\frac{Ze^{2}}{mr^{2}}\right)^{2}.$$$$ W=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\intop\frac{dt}{r^{4}}=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{…

res4.37

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-16T14:15:10+00:00

4.37. Найти сопротивление излучения симметричного полуволнового вибратора. ---------- Рассмотрим излучатель как набор диполей, каждый из которых излучает со своей амплитудой и фазой и будем учитывать, что излучение от каждого элемента антенны будет достигать конечной точки за разное время и с разными фазами.$dx$$r_{p}:$$$d\vec{A}\left(r_{p},t\right)=\frac{\vec{e}_{x}}{cr_{p}}e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)-i\varphi\left(x\right)}I_{0}\cos kx\cdot dx$$$$\varphi\left(x\right)=kx\cos\th…

res4.38

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-16T14:17:05+00:00

4.38. а) Построить полярную диаграмму направленности для излучения диполя в плоскости, проходящей через ось диполя, и в плоскости, перпендикулярной оси. $a = \frac \lambda 2$$a = \frac \lambda 2$$a = \lambda $$a = \frac \lambda 4$$\frac \pi 2$$$\frac{dI}{d\theta}=\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{3}\theta}{2c^{3}}.$$$\theta $$0$$\pi .$$0\leq \alpha \leq \pi$$$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{I_{0}^{2}}{2\pi c}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right)^{2}$$…

res4.41

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-16T11:46:40+00:00

4.41. Найти поляризацию, угловое распределение и интенсивность излучения системы двух нерелятивистских одинаковых зарядов, вращающихся равномерно с частотой $\omega $$a$$$\vec{d}=\vec{r}_{1}q_{1}+\vec{r}_{2}q_{2}=q\left(\vec{r}_{1}+\vec{r}_{2}\right)=q\left(\left(\vec{r}+\vec{a}\right)+\left(\vec{r}-\vec{a}\right)\right)=2q\vec{r},$$$\vec{r}_{i}=\vec{r}+\epsilon_{i}\vec{a}$$\vec{r}$$\vec{a}$$-\vec{a}$$\ddot{\vec{d}}=2q\ddot{\vec{r}}=0$$$\vec{m}=\frac{1}{2c}\sum\left[\vec{r}_{i}\times q_{i}\vec{v…

res4.46

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-16T11:49:25+00:00

4.46. При каком сдвиге фаз $\alpha $ и расстоянии $\ell $ между двумя штыревыми антеннами 1 и 2, вставленными в бесконечный прямоугольный волновод сечением $a \times b,$$\omega $$H_{10}$$z$$H_{10}$$$k_{z}=\sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}-\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}}.$$$z$$$H\sim H_{0}e^{-i\omega t+ik_{z}z}\left(1+e^{i\phi+ik_{z}\ell}\right)\sim\cos\left(\frac{\phi+k_{z}\ell}{2}\right)$$$$H\sim H_{0}e^{-i\omega t-ik_{z}z}\left(1+e^{i\phi-ik_{z}\ell}\right)\sim\cos\left(\frac{\phi-k_{z}…

res4.49

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-16T12:02:16+00:00

4.49. Антенна из четырех полуволновых вибраторов возбуждена так, что токи в проводниках имеют одинаковые амплитуды и фазы. Найти распределение интенсивности от угла $I(\alpha )$$h \ll \frac \lambda 2.$$h\ll\lambda$$$E=E_{0}e^{i\omega t}\left(e^{-ik\Delta }+2+e^{ik\Delta }\right)=E_{0}e^{i\omega t}\left(e^{-\frac{ik\Delta }{2}}+e^{\frac{ik\Delta }{2}}\right)^{2}=4E_{0}\cos^{2}\frac{k\Delta }{2},$$$\Delta=\frac{\lambda}{2}\cos\alpha,$$$E=4E_{0}\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}\cos\alpha\right),$$$I\sim…

res4.66

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-20T12:03:00+00:00

4.66. Определить эффективное сечение рассеяния свободным зарядом поляризованной волны с поляризацией: а) линейной; б) круговой; в) эллиптической.$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle }{\left\langle S_{0}\right\rangle },$$$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle $$\left\langle S_{0}\right\rangle $$z,$$x.$$$ m\ddot{x}=eE_{0}e^{-i\omega t}, $$$$\ddot{p}=e\ddot{x}=\frac{e^{2}E_{0}}{m}e^{-i\omega t}.$$$$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle = \frac{\…

res4.67

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-20T12:06:52+00:00

4.67. Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический осциллятор. Скорость электрона $v \ll c.$ Найти дифференциальное $\frac{d\sigma}{d\Omega }$ и полное $\sigma $ сечение рассеяния волны с учетом силы лучистого трения.$$m\ddot{x}+kx=eE_{0}e^{-i\omega t}+f_{t} $$$$\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{e}{m}E_{0}e^{-i\omega t}+\frac{1}{m}f_{t}, $$$$f_{t}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\dddot{x}=\frac{2m}{3c}\frac{e^{2}}{mc^{2}}\dddot{x}$$$$-\frac{2r_{e}}{3c}\dddot{x}+\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=\fra…

res4.69

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-05-19T16:17:18+00:00

4.69. Найти дифференциальное сечение рассеяния плоской линейно поляризованной монохроматической волны на маленьком шаре ($\lambda \gg a$). В поле электромагнитной волны у шара возникают дипольный электрический $\vec d = \alpha \vec E$$\vec m = \beta \vec H$$$E_{x}=E_{0}e^{ikz-i\omega t},\,H_{y}=H_{0}e^{ikz-i\omega t}$$$$d_{x}=\alpha E_{0}e^{ikz-i\omega t},\,m_{y}=\beta H_{0}e^{ikz-i\omega t}$$$$\ddot{d}_{x}=-\omega^{2}\alpha E_{0}e^{ikz-i\omega t},\,\ddot{m}_{y}=-\omega^{2}\beta H_{0}e^{ikz-i\om…

res4.70

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-23T06:25:01+00:00

4.70. Плоская волна длиной $\lambda $ падает на систему двух свободных зарядов так, как показано на рисунке. Найти дифференциальное сечение рассеяния в зависимости от расстояния $d$$\frac \lambda d$$\Delta \lambda $$$\vec{H}=\vec{H}_{1}+\vec{H}_{2}=\vec{H}_{1}+\vec{H}_{1}e^{-ik\Delta}=\vec{H}_{1}+\vec{H}_{1}e^{-ikd\cos\theta}=$$$$\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\left(1+e^{ikd\cos\theta}\right)=$$$$\frac{2e^{i\frac{1}{2}kd\cos\theta}}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{…

res4.71

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-20T12:13:58+00:00

4.71. Плоская монохроматическая волна с круговой поляризацией и длиной волны $\lambda $ рассеивается на двух электронах, находящихся на расстоянии $\frac \lambda 4$$$E_{x}=E_{0}\cos\omega t,\,E_{y}=E_{0}\sin\omega t$$$$\ddot{d}_{x}=-\frac{\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\cos\omega t,\,\ddot{d}_{y}=-\frac{\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\sin\omega t.$$$$ \frac{\overline{dI}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{8\pi c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right). $$$\theta=\frac{\pi}{2}$$\ddot{d}_{x}$$$H=H_{1}+H_{2}=\frac{…

res4.81

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-20T12:15:21+00:00

4.81. Определить силу, действующую на стенку, от которой отражается (с коэффициентом отражения $R$) падающая на неё плоская электромагнитная волна.$$\vec{p}=\frac{wV}{c}\cdot\vec{n}$$$$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=wS$$$$P_{1}=\frac{F\cos\theta}{\frac{S}{\cos\theta}}=w\cos^{2}\theta$$$$P=P_{1}+RP_{2}=\left(1+R\right)w\cos^{2}\theta$$

res4.86

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-23T06:26:58+00:00

4.86 Оценить, при каком размере пылинки сила давления солнечного света на неё в космосе превысит силу тяготения. ---------- Давление электромагнитной волны связано с плотностью энергии$$w=\frac{H^{2}}{4\pi},$$$$F= w\left(\pi r^{2}\right)= G\frac{mM}{R^{2}}= G\frac{\rho\frac{4}{3}\pi r^{3}M}{R^{2}}$$$$G\frac{4\rho rM}{R^{2}}=3w$$$$r=\frac{3wR^{2}}{4\pi cG\rho M}=\frac{3\cdot10^{3}\cdot(1,5\cdot10^{11})^{2}}{12\cdot3\cdot10^{8}\cdot7\cdot10^{-11}\cdot10^{3}\cdot2\cdot10^{30}}\sim10^{-7}\text{м}.…

res5.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-23T06:51:37+00:00

5.5. а) Свет частоты $\omega _0$ падает по нормали к поверхности плоскости зеркала, движущегося со скоростью $\vec v$ в направлении падающего света. Найти частоту отраженного света. $\theta $$\vec v$$$k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},k_{x},k_{y},k_{z}\right)=\left(\frac{\omega}{c},-k,0,0\right)$$$$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ -k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &…

res5.11

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-23T06:43:26+00:00

5.11. Найти инвариант $F^{ik} F_{ik}$ электромагнитного поля. Используя формулы преобразования полей $\vec E$ и $\vec H$, найденные в предыдущей задаче, доказать инвариантность величины $(\vec E \cdot \vec H)$$$F^{\mu\nu}=\frac{\partial A^{\nu}}{\partial x_{\mu}}-\frac{\partial A^{\mu}}{\partial x_{\nu}}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}=-F^{\nu\mu}$$$$F^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -E_{x} & -E_{y} & -E_{z}\\ E_{x} & 0 & -H_{z} & H_{y}\\ E_{y} & H_{z} & 0 & -H_{x}\\ E_{z} & …

res5.24

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-24T17:06:14+00:00

5.24. Переходом из системы, где частица покоится, а ускорение её $\vec a,$ в систему, где её скорость $v\sim c,$ получить формулу полного излучения $4$--импульса: $$ \Delta p^i=-\frac{2e^4}{3m^2c^5}\int F_{k\ell}u^{\ell}F^{km}u_m \, dx^i. $$ В частности, $$ \Delta W=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{a^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left[\vec{v}\times\vec{a}\right]^{2}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{3}}dt $$$$ \Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\v…

res5.30

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-24T17:09:42+00:00

5.30. Найти интенсивность излучения заряженной частицы, равномерно движущейся по окружности в поле со скоростью $\sim c.$ б) Показать, что основная часть излучения сосредоточена в области частот, где $\omega \sim \omega \gamma^3=e\frac{H\gamma ^2}{mc}.$$$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop\frac{\left(\frac{v}{c}…

res5.41a

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-24T17:12:41+00:00

5.41. а) Определить полное излучение релятивистской частицы с зарядом $e,$ пролетающей на прицельном расстоянии $\rho $ без изменения траектории в следующих полях: а) ядра $Ze.$$$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt.$$$$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\vec{E}^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\ve…